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Forum "Abbildungen und Matrizen" - Matrizendiagonalisierung
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Matrizendiagonalisierung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:30 Mo 03.12.2012
Autor: Basser92

Aufgabe
Gegeben ist die Matrix [mm] A=\pmat{ 3 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 3 } [/mm]
a) Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix A
b) Bestimmen Sie die normierten Eigenvektoren der Matrix A
c) Bestimmen Sie die Transformationsmatrix Q mit der A auf Diagonalform gebracht werden kann. Hier gilt, da A symmetrisch ist, [mm] Q^{-1}=Q^{T}, [/mm] dies gilt nicht allgemein.
d) Überzeugen Sie sich, dass durch die Transformation die Matrix diagonalisiert wird, also dass gilt [mm] Q^{-1}AQ=\pmat{ \lambda_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_{3} }, [/mm] wobei [mm] \lambda_{i} [/mm] die Eigenwerte sind.


Bisher habe ich folgendes berechnet:

Bestimmung der Eigenwerte:
[mm] det(A-\lambda [/mm] E)=0
det [mm] \pmat{ (3-\lambda) & 0 & 2 \\ 0 & (4-\lambda) & 0 \\ 2 & 0 & (3-\lambda) }=(3-\lambda)^{2}*(4-\lambda)-4*(4-\lambda)=0 [/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=5, \lambda_{3}=1 [/mm]

Bestimmung der Eigenvektoren:
[mm] (A-\lambda E)\vec{x}=\vec{0} [/mm]
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & 0 & 2 }*\vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm]
[mm] \Rightarrow \vektor{2x+2z \\ 3y \\ 2x+2z}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x=-z, y=0
[mm] \to x_{1}=\vektor{d \\ 0 \\ -d}, x_{3}=\vektor{-d \\ 0 \\ d} [/mm]
[mm] \pmat{ -2 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & -2 }*\vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm]
[mm] \Rightarrow \vektor{-2x+2z \\ -y \\ 2x-2z}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] y=0, x=z
[mm] \to x_{2}=\vektor{d \\ 0 \\ d} [/mm]
mit [mm] d=\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] Transformationsmatrix Q
[mm] Q=\pmat{ d & d & -d \\ 0 & 0 & 0 \\ -d & d & d } [/mm]

Wenn ich jetzt aber die Transformation durchführe komme ich auf keine diagonalisierte Matrix. Die Rechnund dazu sieht folgendermaßen aus:
[mm] Q^{-1}=Q^{T} [/mm]
[mm] Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ [/mm]
[mm] \pmat{ -d & 0 & d \\ d & 0 & d \\ d & 0 & -d }*\pmat{ 3 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 3 }*\pmat{ d & d & -d \\ 0 & 0 & 0 \\ -d & d & d }=\pmat{ -d & 0 & d \\ d & 0 & d \\ d & 0 & -d }*\pmat{ d & 5d & -d \\ 0 & 0 & 0 \\ -d & 5d & d }=\pmat{ -2d^{2} & 0 & 2d^{2} \\ 0 & 10d^{2} & 0 \\ 2d^{2} & 0 & 0 } [/mm]

Da sieht man ja schon, dass irgendwo ein Fehler sein muss, den ich aber leider nicht finde... Kann mir jemand sagen, wo ich den Fehler gemacht hab?
Danke schonmal im Voraus :)

        
Bezug
Matrizendiagonalisierung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:41 Mo 03.12.2012
Autor: MathePower

Hallo Basser92,

> Gegeben ist die Matrix [mm]A=\pmat{ 3 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 3 }[/mm]
>  
> a) Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix A
>  b) Bestimmen Sie die normierten Eigenvektoren der Matrix
> A
>  c) Bestimmen Sie die Transformationsmatrix Q mit der A auf
> Diagonalform gebracht werden kann. Hier gilt, da A
> symmetrisch ist, [mm]Q^{-1}=Q^{T},[/mm] dies gilt nicht allgemein.
>  d) Überzeugen Sie sich, dass durch die Transformation die
> Matrix diagonalisiert wird, also dass gilt [mm]Q^{-1}AQ=\pmat{ \lambda_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_{3} },[/mm]
> wobei [mm]\lambda_{i}[/mm] die Eigenwerte sind.
>  Bisher habe ich folgendes berechnet:
>  
> Bestimmung der Eigenwerte:
>  [mm]det(A-\lambda[/mm] E)=0
>  det [mm]\pmat{ (3-\lambda) & 0 & 2 \\ 0 & (4-\lambda) & 0 \\ 2 & 0 & (3-\lambda) }=(3-\lambda)^{2}*(4-\lambda)-4*(4-\lambda)=0[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=5, \lambda_{3}=1[/mm]
>  


Hier muss doch [mm]\lambda_{3}=\blue{4}[/mm] sein.



> Bestimmung der Eigenvektoren:
>  [mm](A-\lambda E)\vec{x}=\vec{0}[/mm]
>  [mm]\pmat{ 2 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & 0 & 2 }*\vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow \vektor{2x+2z \\ 3y \\ 2x+2z}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] x=-z, y=0
>  [mm]\to x_{1}=\vektor{d \\ 0 \\ -d}, x_{3}=\vektor{-d \\ 0 \\ d}[/mm]
>  


[mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{3}[/mm] sind linear abhängig.


> [mm]\pmat{ -2 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & -2 }*\vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow \vektor{-2x+2z \\ -y \\ 2x-2z}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] y=0, x=z
>  [mm]\to x_{2}=\vektor{d \\ 0 \\ d}[/mm]
>  mit
> [mm]d=\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] Transformationsmatrix Q
>  [mm]Q=\pmat{ d & d & -d \\ 0 & 0 & 0 \\ -d & d & d }[/mm]
>  
> Wenn ich jetzt aber die Transformation durchführe komme
> ich auf keine diagonalisierte Matrix. Die Rechnund dazu
> sieht folgendermaßen aus:
>  [mm]Q^{-1}=Q^{T}[/mm]
>  [mm]Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ[/mm]
>  [mm]\pmat{ -d & 0 & d \\ d & 0 & d \\ d & 0 & -d }*\pmat{ 3 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 3 }*\pmat{ d & d & -d \\ 0 & 0 & 0 \\ -d & d & d }=\pmat{ -d & 0 & d \\ d & 0 & d \\ d & 0 & -d }*\pmat{ d & 5d & -d \\ 0 & 0 & 0 \\ -d & 5d & d }=\pmat{ -2d^{2} & 0 & 2d^{2} \\ 0 & 10d^{2} & 0 \\ 2d^{2} & 0 & 0 }[/mm]
>  
> Da sieht man ja schon, dass irgendwo ein Fehler sein muss,
> den ich aber leider nicht finde... Kann mir jemand sagen,
> wo ich den Fehler gemacht hab?
>  Danke schonmal im Voraus :)


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Matrizendiagonalisierung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:47 Mo 03.12.2012
Autor: Basser92

Ah, danke :) hab gar net gemerkt, dass mir da auf dem Weg ein [mm] \lambda [/mm] abhanden gekommen ist... Dann hab ich ja jetzt noch was zu tun :D

Bezug
                
Bezug
Matrizendiagonalisierung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:07 Mo 03.12.2012
Autor: Basser92

Wenn ich den Eigenvektor für [mm] \lambda=4 [/mm] ausrechne bekomme ich folgendes Gleichungssystem:

[mm] \pmat{ -1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -1 }*\vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm]
[mm] \vektor{2z-x \\ 0 \\ 2x-z}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm]

Das Gleichungssystem lässt sich nur durch x=z=0 lösen, was dann aber kein Eigenvektor mehr sein kann... Hab ich irgendwas nicht beachtet oder warum bekomm ich kein sinnvolles Ergebnis?

Bezug
                        
Bezug
Matrizendiagonalisierung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:13 Mo 03.12.2012
Autor: MathePower

Hallo Basser92,

> Wenn ich den Eigenvektor für [mm]\lambda=4[/mm] ausrechne bekomme
> ich folgendes Gleichungssystem:
>  
> [mm]\pmat{ -1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -1 }*\vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>  
> [mm]\vektor{2z-x \\ 0 \\ 2x-z}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>  
> Das Gleichungssystem lässt sich nur durch x=z=0 lösen,
> was dann aber kein Eigenvektor mehr sein kann... Hab ich
> irgendwas nicht beachtet oder warum bekomm ich kein
> sinnvolles Ergebnis?


Nun, die Variable y ist doch frei wählbar.


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Matrizendiagonalisierung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:45 Mo 03.12.2012
Autor: Basser92

Oh, da hab ich mich vom Nullvektor irritieren lassen und net auf die wahre Aussage im Gleichungssystem geachtet, danke :)
Da gibt es aber noch ein kleines Problem...

[mm] \pmat{ -d & 0 & d \\ 0 & 1 & 0 \\ d & 0 & d}*\pmat{ 3 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 3 }*\pmat{ d & 0 & d \\ 0 & 1 & 0 \\ -d & 0 & d }=\pmat{ -d & 0 & d \\ 0 & 1 & 0 \\ d & 0 & d}*\pmat{ d & 0 & 5d \\ 0 & 4 & 0 \\ -d & 0 & 5d}=\pmat{ -2d^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 10d^{2}} [/mm]

Warum hab ich plötzlich -1 als Eigenwert in der Matrix stehn?

Bezug
                                        
Bezug
Matrizendiagonalisierung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:49 Mo 03.12.2012
Autor: leduart

Hallo
1. der Eigenvektor (d,0,-d) und (-d,0,d) sind doch dieselben bis auf den Faktor -1.
du brauchst 3 lin unabh. Eigenvektoren zu den 3 verschiedenen Eigenwerten.in der Aufgabe war nach normierten EV gefragt, nur (0,1,0) ist bisher normiert.
Gruss leduart


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Bezug
Matrizendiagonalisierung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:21 Mo 03.12.2012
Autor: Basser92

mit [mm] d=\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] sind die Vektoren doch normiert, oder lieg ich da falsch?
[mm] \wurzel{(\bruch{1}{\wurzel{2}})^{2}+(-\bruch{1}{\wurzel{2}})^{2}}=\wurzel{\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}}=\wurzel{1}=1 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Vektor ist normiert

Und zu den unabhängigen Vektoren:
Meine Vektoren sind: (-d,0,d), (0,1,0) und (d,0,d)
Die sollten eigentlich unabhängig sein...

Bezug
                                                        
Bezug
Matrizendiagonalisierung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:02 Di 04.12.2012
Autor: leduart

sorry, ja ich hatte mich verlesen.
Gruss leduart

Bezug
                                                                
Bezug
Matrizendiagonalisierung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:12 Di 04.12.2012
Autor: Basser92

Ich versteh aber immer noch nicht, wo auf einmal der Vorzeichenwechsel her kommt... Ich hab das jetzt 5 mal nachgerechnet, kann aber keinen Fehler finden...

Bezug
                                                                        
Bezug
Matrizendiagonalisierung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:14 Di 04.12.2012
Autor: angela.h.b.

Hallo,

Du hastQ falsch transponiert.

LG Angela


Bezug
                                                                                
Bezug
Matrizendiagonalisierung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:21 Di 04.12.2012
Autor: Basser92

Ah, jetzt weiß ich, was ich beim transponieren falsch gemacht hab.

[mm] Q=\pmat{ d & 0 & d\\ 0 & 1 & 0 \\ -d & 0 & d } \Rightarrow Q^{T}=\pmat{ d & 0 & -d\\ 0 & 1 & 0 \\ d & 0 & d } [/mm]

So müsste es jetzt aber stimmen

Viele Dank für die Hilfe :)

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