Matrizengleichung < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 So 14.08.2011 | | Autor: | Haiti |
| Aufgabe | Gegeben seien die Matrizen
A= 2 1
3 2
B= -1 1
0 -1
C= 1 2
2 0
die Bestandteile folgender Gleichungen sind:
2A*X+BY=C
3A*X-2Y=B
Berechnen Sie die Matrizen X und Y. |
Ich schaffe es nicht die Gleichungen richtig aufzulösen, wollte eigentlich die eine nach X umstellen und dann in die andere Gleichung einsetzen... Hat jemand ne gute Idee? Bin für jede sehr dankbar!
Lösung zur Kontrolle habe ich auch:
X= -22 -3
35 5
Y= -13 -2
6 2
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Haiti und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Gegeben seien die Matrizen
> A= 2 1
> 3 2
>
> B= -1 1
> 0 -1
>
> C= 1 2
> 2 0
> die Bestandteile folgender Gleichungen sind:
> 2A*X+BY=C
> 3A*X-2Y=B
> Berechnen Sie die Matrizen X und Y.
> Ich schaffe es nicht die Gleichungen richtig aufzulösen,
> wollte eigentlich die eine nach X umstellen und dann in die
> andere Gleichung einsetzen... Hat jemand ne gute Idee? Bin
> für jede sehr dankbar!
Deine Idee ist doch in Ordnung, du kommst doch sicher auf
[mm]A\cdot{}X=\frac{1}{2}\cdot{}\left(C-B\cdot{}Y)[/mm]
Nun überzeuge dich davon, dass [mm]A[/mm] invertierbar ist, dass also [mm]A^{-1}[/mm] existiert.
Dann kannst du die Gleichung von links mit [mm]A^{-1}[/mm] multiplizieren:
[mm]A^{-1}\cdot{}(A\cdot{}X)=A^{-1}\cdot{}\left[\frac{1}{2}\cdot{}(C-B\cdot{}Y)}\right][/mm]
Dann kannst du linkerhand die Assoziativität nutzen und die Tatsache, dass [mm]AA^{-1}=\mathbb{E}_2[/mm] ([mm]2\times 2[/mm]-Einheitsmatrix)
>
> Lösung zur Kontrolle habe ich auch:
> X= -22 -3
> 35 5
>
> Y= -13 -2
> 6 2
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:04 Mo 15.08.2011 | | Autor: | Haiti |
Danke für deine Antwort schachuzipus!
Soweit ist es klar, aber wenn ich das nun in die andere Gleichung einsetze, komme ich einfach nicht weiter. Ich weiß einfach nicht, wie ich diese lange Gleichung dann richtig auflöse, um auf die Lösung zu kommen... Könntest du mir vielleicht die ersten 2-3 Schritte nach dem Einsetzen zeigen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:29 Mo 15.08.2011 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Du hast doch
(*) $ X=A^{-1}\cdot{}\left[\frac{1}{2}\cdot{}(C-B\cdot{}Y)}\right] $
Setze dies in die 2. Gleichung ein und löse dann nach BY auf. B ist ebenfalls invertierbar. Wenn Du also noch von links mit B^{-1} multiplizierst, bekommst Du Y.
Wenn Du diese Y dann in (*) einträgst, bekommst Du X.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:18 Mi 17.08.2011 | | Autor: | Haiti |
Ich habe ein generelles Problem, wenn ich Matrizengleichungen habe, wo
das X sowohl einmal rechts und einmal links steht, wie kann ich dann sinnvoll invertieren/auflösen?
Bsp:
A*X- X*B= C
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:36 Mi 17.08.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich fürchte, diese Gleichung kannst du analytisch nicht nach der Materix X auflösen, die fehlende Kommutativität der Miatrizenmultiplikation verhindert dieses hier. Oder ist über A, B oder C noch etwas ausgesagt?
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Mi 17.08.2011 | | Autor: | Haiti |
OK, aber wie gehts es bei dieser Aufgabe?
2X(E-A)= [mm] (CX^t)^t [/mm] + X -B
2X(E-A)= C^tX +X-B *(2X)^-1
E-A= ???
wie muss ich weiter machen?
bei c^tX ist das X rechts, aber ich muss wegen dem X auf der linken Seite ja nach rechts interventieren...
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Hallo Haiti,
> OK, aber wie gehts es bei dieser Aufgabe?
>
> 2X(E-A)= [mm](CX^t)^t[/mm] + X -B
[mm]\left(CX^{t}\right)^{t}[/mm] ist doch [mm]\left(X^{t}\right)^{t}C^{t}=XC^{t}[/mm]
> 2X(E-A)= C^tX +X-B *(2X)^-1
> E-A= ???
>
> wie muss ich weiter machen?
> bei c^tX ist das X rechts, aber ich muss wegen dem X auf
> der linken Seite ja nach rechts interventieren...
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 Mi 17.08.2011 | | Autor: | Haiti |
2X(E-A) = [mm] XC^t [/mm] +X -B *(2X)^-1
E-A = (2X)^-1 * [mm] (XC^t [/mm] +X -B)
E-A = [mm] 2EC^t [/mm] + 2E -2X^-1*B [mm] -2EC^t [/mm] -2E
[mm] -2EC^t [/mm] -E -A = -2X^-1*B
so?? und nun??
... diesen Text hier...
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Hallo Haiti,
> 2X(E-A) = [mm]XC^t[/mm] +X -B *(2X)^-1
> E-A = (2X)^-1 * [mm](XC^t[/mm] +X -B)
> E-A = [mm]2EC^t[/mm] + 2E -2X^-1*B [mm]-2EC^t[/mm] -2E
Die Inverse von [mm]2X[/mm] ist doch:
[mm]\left(2X\right)^{-1}=2^{-1}X^{-1}=\bruch{1}{2}X^{-1}[/mm]
> [mm]-2EC^t[/mm] -E -A = -2X^-1*B
>
> so?? und nun??
>
Poste doch mal, was gegeben und was gesucht ist.
>
> ... diesen Text hier...
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:00 Mi 17.08.2011 | | Autor: | Haiti |
A= 1 1
1 1
B= 1 2
2 1
C= 3 0
0 3
gesucht ist X
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Hallo Haiti,
> 2X(E-A) = [mm]XC^t[/mm] +X -B *(2X)^-1
> E-A = (2X)^-1 * [mm](XC^t[/mm] +X -B)
> E-A = [mm]2EC^t[/mm] + 2E -2X^-1*B [mm]-2EC^t[/mm] -2E
> [mm]-2EC^t[/mm] -E -A = -2X^-1*B
Das sieht richtig aus, wenn auch nicht leicht zu lesen und ziemlich kompliziert
>
> so?? und nun??
'Ich' würde es so machen:
[mm]2X(E-A)=(CX^t)^t+X-B[/mm]
[mm]\gdw 2EX-2XA=XC^t+X-B[/mm]
Nun alles mit [mm]X[/mm] nach links:
[mm]\gdw 2X-2XA-XC^t-X=-B[/mm]
Also [mm]X(\underbrace{E-2A-C^t}_{=:D})=-B[/mm]
Nun rechne mal den Klammerausdruck [mm]D[/mm] aus und schaue, ob [mm]D[/mm] invertierbar ist.
Falls dem so ist, kannst du die Gleichung auf beiden Seiten mit [mm]D^{-1}[/mm] multiplizieren ...
Falls nicht - schade 
>
>
> ... diesen Text hier...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:16 Mi 17.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Haiti,
>
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> > 2X(E-A) = [mm]XC^t[/mm] +X -B *(2X)^-1
> > E-A = (2X)^-1 * [mm](XC^t[/mm] +X -B)
> > E-A = [mm]2EC^t[/mm] + 2E -2X^-1*B [mm]-2EC^t[/mm] -2E
> > [mm]-2EC^t[/mm] -E -A = -2X^-1*B
>
> Das sieht richtig aus, wenn auch nicht leicht zu lesen und
> ziemlich kompliziert
>
> >
> > so?? und nun??
>
> 'Ich' würde es so machen:
>
> [mm]2X(E-A)=(CX^t)^t+X-B[/mm]
>
> [mm]\gdw 2EX-2XA=XC^t+X-B[/mm]
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> Nun alles mit [mm]X[/mm] nach links:
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> [mm]\gdw 2X-2XA-XC^t-X=-B[/mm]
>
> Also [mm]X(\underbrace{E-2A-C^t}_{=:D})=-B[/mm]
>
> Nun rechne mal den Klammerausdruck [mm]D[/mm] aus und schaue, ob [mm]D[/mm]
> invertierbar ist.
>
> Falls dem so ist
Es ist so, denn nun hat Haiti endlich preisgegeben, was A, B, ... sind
FRED
> , kannst du die Gleichung auf beiden Seiten
> mit [mm]D^7-1[/mm] multiplizieren ...
Du meinst sicher [mm] D^{-1}
[/mm]
>
> Falls nicht - schade
>
> >
> >
> > ... diesen Text hier...
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
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Hallo Fred,
> Es ist so, denn nun hat Haiti endlich preisgegeben, was A,
> B, ... sind
Dachte, das seinen diese Matrizenstücke aus der Ausgangsaufgabe ..
>
> FRED
>
>
> > , kannst du die Gleichung auf beiden Seiten
> > mit [mm]D^7-1[/mm] multiplizieren ...
>
> Du meinst sicher [mm]D^{-1}[/mm]
Ja, habe ne alte Tastatur, da geht in 3 v. 5 Fällen die Kombi "AltGr+7" daneben, und es wird nur eine 7.
Ist mir durchgegangen ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:38 Mi 17.08.2011 | | Autor: | Haiti |
super, danke!! jetzt hab ichs endlich!!! :-D
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