Matrizengleichungen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:48 So 15.02.2009 | | Autor: | unR34L |
| Aufgabe | Aufgabe 5.20 Man stelle die folgenden Matrizengleichungen gegebenenfalls
nach X um! Man gebe eine hinreichende Bedingung für die Auflösbarkeit
nach X an!
(a) 2A · X − B · X = X + C
(b) 2X + A · X = B − 2D
(c) A · X − 3X = X + B
(d) 3X − A · X = X · B |
Hab zu diesen Aufgaben leider keine Lösung und würde meine deshalb hier gerne überprüfen lassen.
E = Einheitsmatrix
zu a)
$ 2AX - BX = X + C $
$ 2AX - BX - X = C $
$ (2A -B -E)X = C $
$ X = (2A -B -E) ^{-1}C $
(2A - B - E) muss invertierbar sein.
zu b)
$ 2X + AX = B - 2D $
$ (2E + A)X = B - 2D $
$ X = (2E + A) ^{-1}(B-2D) $
(2E + A) muss invertierbar sein.
zu c)
$ AX - 3X = X + B $
$ AX - 3X - X = B $
$ AX - 4X = B $
$ (A - 4E)X = B $
$ X= (A - 4E) ^{-1}B $
(A - 4E) muss invertierbar sein.
zu d)
$ 3X - AX = XB $
$ (3E - A)X = XB $
hier weiß ich nicht weiter, da X einmal "von rechts" und einmal "von links" an etwas dran-multipliziert wird :(
Danke für jeden Tip!
|
|
| |
|
Hallo !!!
> E = Einheitsmatrix
>
> zu a)
>
> [mm]2AX - BX = X + C [/mm]
> [mm]2AX - BX - X = C [/mm]
> [mm]X(2A -B -E) = C [/mm]
Vorsicht !!! Dieser Schritt ist im allgemeinen nicht richtig. Matrizenrechnung ist nicht in einem Körper. Bei Matrizen $A,B$ gilt nicht immer [mm] $A\cdot B=B\cdot [/mm] A$.
Somit lautet der dritte Rechnungsweg: $(2A-B-E)X=C$.
Außerdem darfst du nicht Matrizen durch Matrizen teilen.
Du musst das Inverse von $(2A-B-E)$ von links multiplizieren, soll heissen
[mm] $(2A-B-E)^{-1}(2A-B-E)X=(2A-B-E)^{-1}C$
[/mm]
[mm] $E\cdot X=(2A-B-E)^{-1}C$
[/mm]
[mm] $X=(2A-B-E)^{-1}C$
[/mm]
Folglich muss $(2A-B-E)$ invertierbar sein.
Gruß Mark
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:08 So 15.02.2009 | | Autor: | unR34L |
Ja richtig, danke. Jetzt wo du's sagst, ist es mir auch aufgefallen, dummer fehler :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:10 So 15.02.2009 | | Autor: | Mathmark |
O.K.
Dann überarbeite nochmal und poste die Ergebnisse zu Kontrolle.
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:52 So 15.02.2009 | | Autor: | sam_dessus |
Hallo
ich könnte dir eine lösung vorschlagen aber was sind genau die Matrizen A,B,C ... soll ich für meine rechnerei eine 2-dimensionale Matrix nehmen?
danke für die erklärung
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:55 So 15.02.2009 | | Autor: | Mathmark |
Ich denke mal, dass die Aufgabe den Umgang mir Matrizen trainieren soll.
A,B,C... sind einfach irgendwelche Matrizen.
Gru?
|
|
|
| |
|
Die Formulierung in der Aufgabe ist ja sehr vorsichtig: "gegebenenfalls nach X umstellen". Dies ist für mich ein Hinweis, dass es zumindest eine Aufgabe gibt, die man eben nicht nach X umstellen kann. Das wäre für mich eine denkbare "Lösung".
Alternative: du formulierst in den Aufgaben a)-c) jeweils die Invertierbarkeit einer Matrix als hinreichende Bedingung, hier kannst du zusätzlich die Kommutativität der angegebenen Matrizen als Bedingung einfordern.
Von daher würde ich sagen: Aufgabe d) hast du genau durchschaut - und dies hier sind meiner Ansicht nach zwei Möglichkeiten, das in "ordentlicher" Form aufzuschreiben.
|
|
|
|
