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Ich soll hier die Diagonalmatriy berechnen.
[mm] D_n=S*A*S^{1}
[/mm]
Allerdings bin ich mir nicht sicher ob ich das richtige Ergebnis heraus habe.
[mm] A=\pmat{ 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & -3 \\ -1 & 1 & -2 }
[/mm]
[mm] S=\pmat{ 1 & -1-i & -1+i \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 }
[/mm]
[mm] S^{-1}=A=\pmat{ 0 & 1 & -1 \\ \bruch{1}{2i} & - \bruch{1}{2i} & \bruch{1}{2+i}\\ -\bruch{1}{2i} & \bruch{1}{2i} & \bruch{1}{2-i}}
[/mm]
[mm] S*A=\pmat{ 1 & -1-i & -1+i \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 }*\pmat{ 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & -3 \\ -1 & 1 & -2 }=\pmat{ 3 & -3+i & 7+i \\ -1 & 2 & -3 \\ -2 & 3 & -5 }
[/mm]
Und nun noch mit [mm] S^{-1} [/mm] multiplizieren
[mm] \pmat{ 3 & -3+i & 7+i \\ -1 & 2 & -3 \\ -2 & 3 & -5 }*\pmat{ 0 & 1 & -1 \\ \bruch{1}{2i} & - \bruch{1}{2i} & \bruch{1}{2+i}\\ -\bruch{1}{2i} & \bruch{1}{2i} & \bruch{1}{2-i}}= [/mm] ....
Kann mir jemand einen online Rechner empfehlen, wo ich die Matrix nachprüfen kann? Bei den Matrizen verrechnet man sich schnell mal und ich hab noch keinen online Rechner gefunden der das mit komplexen Zahlen berechnet.
MfG
Mathegirl
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> Ich soll hier die Diagonalmatriy berechnen.
> [mm]D_n=S*A*S^{-1}[/mm]
Hallo,
so, wie Du es hier aufschreibst, ist [mm] S^{-1} [/mm] die Matrix, welche den Übergang von der Eigenbasis zur Standardbasis beschreibt, also ist [mm] S^{-1} [/mm] die Matix, die die Eigenbasis in in den Spalten enthält.
Damit sollte klar sein, was weiter unten schiefgelaufen ist:
wenn Du [mm] $D_n=S*A*S^{-1}$ [/mm] verwenden möchtest, mußt Du [mm] S^{-1}=$\pmat{ 1 & -1-i & -1+i \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 }$ [/mm] nehmen.
>
> Allerdings bin ich mir nicht sicher ob ich das richtige
> Ergebnis heraus habe.
>
> [mm]A=\pmat{ 1 & 0 & 2 \\
-1 & 2 & -3 \\
-1 & 1 & -2 }[/mm]
Wenn die Aufgabe hier einfach nur lautet, daß Du die Diagonalmatrix sagen sollst, bist Du ohne großartige Rechnungen schnell fertig: die 3 verschiedenen Eigenwerte hast Du ja bestimmt, und die stehen auf der Diagonalen der zu A ähnlichen Dreiecksmatrix.
Falls Du als nicht unbedingt die Transformationsmatrix angeben mußt, bist Du fertig.
An so einem online-Rechner, wie Du ihn suchst, der auch komplexe Matrizen multipliziert und invertiert, hätte ich auch Interesse.
LG Angela
>
> [mm]S=\pmat{ 1 & -1-i & -1+i \\
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 }[/mm]
>
> [mm]S^{-1}=A=\pmat{ 0 & 1 & -1 \\
\bruch{1}{2i} & - \bruch{1}{2i} & \bruch{1}{2+i}\\
-\bruch{1}{2i} & \bruch{1}{2i} & \bruch{1}{2-i}}[/mm]
>
> [mm]S*A=\pmat{ 1 & -1-i & -1+i \\
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 }*\pmat{ 1 & 0 & 2 \\
-1 & 2 & -3 \\
-1 & 1 & -2 }=\pmat{ 3 & -3+i & 7+i \\
-1 & 2 & -3 \\
-2 & 3 & -5 }[/mm]
>
> Und nun noch mit [mm]S^{-1}[/mm] multiplizieren
>
> [mm]\pmat{ 3 & -3+i & 7+i \\
-1 & 2 & -3 \\
-2 & 3 & -5 }*\pmat{ 0 & 1 & -1 \\
\bruch{1}{2i} & - \bruch{1}{2i} & \bruch{1}{2+i}\\
-\bruch{1}{2i} & \bruch{1}{2i} & \bruch{1}{2-i}}=[/mm]
> ....
>
> Kann mir jemand einen online Rechner empfehlen, wo ich die
> Matrix nachprüfen kann? Bei den Matrizen verrechnet man
> sich schnell mal und ich hab noch keinen online Rechner
> gefunden der das mit komplexen Zahlen berechnet.
>
>
> MfG
> Mathegirl
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Da hab ich mich wohl in der Formel vertan:
[mm] S^{-1}*A*S=D_n
[/mm]
[mm] A=\pmat{ 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & -3 \\ -1 & 1 & -2 }
[/mm]
[mm] S=\pmat{ 1 & -1-i & -1+i \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 }
[/mm]
[mm] S^{-1}*A*S=diag(1 [/mm] i [mm] -i)=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & i & 0 \\ 0 & 0 & -i }
[/mm]
Kann ich das so schreiben?
Die Matrix ist diagonalisierbar, da die geometrische Vielfachheit gleich der algebraischen Vielfachheit ist.
MfG
Mathegirl
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> Da hab ich mich wohl in der Formel vertan:
Hallo,
nein, in der Formel hattest Du Dich nicht vertan. Beide Formeln sind an sich richtig. Aber es sind bloß Buchstaben, und man muß wissen, was sie bedeuten.
>
> [mm]S^{-1}*A*S=D_n[/mm]
Wenn man diese Formel benutzt, dann ist halt S so, wie Du unten schreibst, nimmst Du [mm] T*A*T^{-1}=D_n, [/mm] dann ist [mm] T^{-1} [/mm] das, was bei Dir unten S heißt.
>
> [mm]A=\pmat{ 1 & 0 & 2 \\
-1 & 2 & -3 \\
-1 & 1 & -2 }[/mm]
>
> [mm]S=\pmat{ 1 & -1-i & -1+i \\
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 }[/mm]
>
> [mm]S^{-1}*A*S=diag(1[/mm] i [mm]-i)=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\
0 & i & 0 \\
0 & 0 & -i }[/mm]
>
> Kann ich das so schreiben?
Ja, so ist es richtig.
> Die Matrix ist diagonalisierbar, da die geometrische
> Vielfachheit gleich der algebraischen Vielfachheit ist.
Die Argumentation ist richtig.
Aber wie gesagt, wenn es nur um Diagonalisierbarkeit und die Diagonalmatrix geht, reicht bei dieser Aufgabe das Ausrechnen der Eigenwerte. 3 verschiedene Eigenwerte bei einer [mm] 3\times [/mm] 3-Matrix - da müssen die Eigenräume die Dimension 1 haben und folglich die Matrix diagonalisierbar sein.
LG Angela
>
> MfG
> Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:44 So 25.03.2012 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Kann mir jemand einen online Rechner empfehlen, wo ich die
> Matrix nachprüfen kann? Bei den Matrizen verrechnet man
> sich schnell mal und ich hab noch keinen online Rechner
> gefunden der das mit komplexen Zahlen berechnet.
das müsste hiermit möglich sein: ![[]](/images/popup.gif) http://www.wolframalpha.com/
Ich finde das zwar nicht gerade komfortabel für die Eingabe großer Matrizen, aber mit komplexen Zahlen dürfte es dort keine Probleme geben. Dass dort neuerdings die Möglichkeiten stark eingeschränkt sind für nichtregistrierte Nutzer und nach jeder Eingabe auf eine Registrierung aufmerksam gemacht wird, nervt, aber zum kurzen Verifizieren einer Lösung reicht's.
Gruß
barsch
> MfG
> Mathegirl
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