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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass es keine reelen matrizen A und B gibt für die AB-BA die Einheitsmatrix ist. |
Ich wünsche allen Matheraumbesuchern und Mitgliedern ein frohes neue Jahr.
Und nun zur Frage:
Die Aufgabe ist ein klarer Widerspruchsbeweis:
Also angenommen es gäbe zwei Matrizen A und B, deren Produkte subtrahiert voneinandern die Einheitsmatrix ergeben (Dabei sind A und B quadratisch weil ansonsten funktioniert das nicht)
Sei A [mm] =\pmat{ a_{1,1} & . . . . . . &a_{1,j} \\ .\\.\\.\\a_{i,1}& . . . . . . & a_{i,j} }
[/mm]
Sei B = [mm] \pmat{ b_{1,1} & . . . . . . &b_{1,j} \\ .\\.\\.\\b_{i,1}& . . . . . . & b_{i,j} }
[/mm]
Zu zeigen ist nun, dass die Differenz der Einträge auf den jeweiligen Hauptdiagonalen von AB und BA niemals die gleiche Zahl ergeben.
Nun zur eigentlichen Frage:
Der erste diagonaleneintrag von AB ergibt sich jeweils als Summe [mm] \summe_{j=1}^{n} a_{1,j}*b_{i=j,1} [/mm] (müsste so richtig sein)
Der Zweite diagonaleintrag ergibt sich aus
[mm] \summe_{j=1}^{n} a_{2,j}*b_{i=j,2} [/mm] und so weiter
Wie kann man das noch allgemeiner Aufschreiben, das heißt, dass die Zeilen von a bzw die Spalten von b auch hochzählen ohne Doppelsumme, da ich ja nicht summieren will(oder bin ich völlig schief gewickelt).
Ich hoffe ich habe mein Problem verständlich dargestellt. Wenn jemand noch einen anderen Ansatz hat, bin ich dafür dankbar.
Mir ist gerade noch was eingefallen:
Ich habe ja schon bewiesen, dass für jede quadratische Matrix die Spur von AB = Sp BA ist. würde das nicht heißen, dass die Spur AB-BA der Differenzmatrix = Null sein müsste, was ja bei einer einheitsmatrix nicht eintreten kann?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:58 Mo 01.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Zeigen Sie, dass es keine reelen matrizen A und B gibt für
> die AB-BA die Einheitsmatrix ist.
> Ich wünsche allen Matheraumbesuchern und Mitgliedern ein
> frohes neue Jahr.
>
> Und nun zur Frage:
>
> Die Aufgabe ist ein klarer Widerspruchsbeweis:
>
> Also angenommen es gäbe zwei Matrizen A und B, deren
> Produkte subtrahiert voneinandern die Einheitsmatrix
> ergeben (Dabei sind A und B quadratisch weil ansonsten
> funktioniert das nicht)
>
> Sei A [mm]=\pmat{ a_{1,1} & . . . . . . &a_{1,j} \\ .\\.\\.\\a_{i,1}& . . . . . . & a_{i,j} }[/mm]
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> Sei B = [mm]\pmat{ b_{1,1} & . . . . . . &b_{1,j} \\ .\\.\\.\\b_{i,1}& . . . . . . & b_{i,j} }[/mm]
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> Zu zeigen ist nun, dass die Differenz der Einträge auf den
> jeweiligen Hauptdiagonalen von AB und BA niemals die
> gleiche Zahl ergeben.
>
> Nun zur eigentlichen Frage:
> Der erste diagonaleneintrag von AB ergibt sich jeweils als
> Summe [mm]\summe_{j=1}^{n} a_{1,j}*b_{i=j,1}[/mm] (müsste so richtig
> sein)
> Der Zweite diagonaleintrag ergibt sich aus
> [mm]\summe_{j=1}^{n} a_{2,j}*b_{i=j,2}[/mm] und so weiter
> Wie kann man das noch allgemeiner Aufschreiben, das heißt,
> dass die Zeilen von a bzw die Spalten von b auch hochzählen
> ohne Doppelsumme, da ich ja nicht summieren will(oder bin
> ich völlig schief gewickelt).
>
> Ich hoffe ich habe mein Problem verständlich dargestellt.
> Wenn jemand noch einen anderen Ansatz hat, bin ich dafür
> dankbar.
>
> Mir ist gerade noch was eingefallen:
> Ich habe ja schon bewiesen, dass für jede quadratische
> Matrix die Spur von AB = Sp BA ist. würde das nicht heißen,
> dass die Spur AB-BA der Differenzmatrix = Null sein müsste,
> was ja bei einer einheitsmatrix nicht eintreten kann?
Wenn du das so gezeigt hast, ist das der deutlich elegantere Weg.
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum
> gestellt
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Fr 05.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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