Max-Likelihood-Schätzer < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:28 So 24.11.2013 | | Autor: | CaNi |
| Aufgabe | | Eine Zahl X werde aus {1,2,...,M} gemäß der Gleichverteilung [mm] P_{M} [/mm] ausgewählt. M [mm] \in \IN [/mm] sein unbekannt. Bestimmen sie unter der Vorraussetzung, das die Wahl auf X = x fällt, einen Maximum-Likelihood-Schätzer für M! |
Hallo zusammen,
nochmal ich... Max-Likelihood denke ich meistens zuerst an log Funktion und Differenzieren und dann schauen ob die 2.Ableitung kleiner 0 ist. Jedoch verstehe ich bei dieser Aufgabe nicht ganz was zu tun ist... Ich weiss nur das sie Gleichverteilt ist also [mm] P[X]=\bruch{1}{M} [/mm] das kann man zwar ableiten, aber bringen tut das auch nicht so viel... stehe hier irgendwie auf dem Schlauch
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 So 24.11.2013 | | Autor: | vivo |
Hallo,
der Maximum-Liklehood-Schätzer maximiert die Wahrscheinlichkeit der Beobachtung. Beobachtet man [mm]X=x[/mm] so muss [mm]M \ge x[/mm] sein. Wann wird die Wahrscheinlichkeit [mm]X=x[/mm] zu beobachten nun maximal?
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 So 24.11.2013 | | Autor: | CaNi |
hmmm, also:
[mm] L_{x} [/mm] = P[X=x] = [mm] \bruch{1}{M} [/mm] soll maximal sein, dann muss
L' = [mm] \bruch{-1}{M^{²}} [/mm] = 0 sein oder wie? dann wäre M Ja unendlich groß? Irgendwie schein ich es noch nicht ganz verstanden zu haben :D
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 So 24.11.2013 | | Autor: | Fry |
Hey CaNi,
die Methode mit dem Ableiten funktioniert hier nicht, da ja der Parameterraum
= Menge der Werte, die für M in Frage kommen = [mm] $\mathbb [/mm] N$ eine diskrete Menge ist. Um Ableitungen an den Stellen von 1,2,3,... bilden zu können, bräuchtest du ja links- und rechtsseitige Limiten
(Bei der Binomialverteilung funktioniert zum Beispiel die Methode, wenn man den ML für die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ sucht, da ja dort der Parameterraum ein Intervall ist, nämlich $(0,1)$. Für alle [mm] $p\in(0,1)$ [/mm] kann man die Ableitung der Likelihood-Funktion bilden.
Hier musst du mit nem Monotonieargument arbeiten.
Für die Likelihoodfunktion [mm] $M\mapsto [/mm] L(M)$ gilt:
[mm] $L(M)=P(X=x)=\frac{1}{M}$ [/mm] für [mm] $M\ge [/mm] x$
$L(M)=0$ für $M<x$
An welcher Stelle hat diese Funktion nur ihr Maximum?
Gruß
Fry
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 So 24.11.2013 | | Autor: | CaNi |
Hi,
mensch, danke für deine viele Hilfe Fry... Komme mir nun etwas doof vor... Ich verstehe zwar was du schreibst, wirklich super erklärt! Genau für die Binomialverteilung war ich es nur gewohnt den MLE zu berechnen.
Nach meinem Verständnis bleibe ich dabei das das max für #M = x gelten muss, nur so wir 1/M ja möglichst groß... Trotzdem ist mir das ganze irgendwie suspekt und ich fürchte das ich bei einer anderen/ähnlichen Aufgabe erstmal wieder vor einem Rätsel stehe :D
Super vielen Dank aber für deine viele HilfE!!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 So 24.11.2013 | | Autor: | Fry |
Stimmt, das Maximumm liegt an der $M=x$. Die Funktion [mm] $M\mapsto \frac{1}{M}$ [/mm] ist ja streng monoton fallend.
D.h. dein ML-Schätzer für N ist also X.
Ja, verstehe ich total, dass es suspekt ist,
im Grunde kann dieses Problem aber dann nur noch in abgewandelter Form kommen, also dass du z.B. Ziehen ohne Zurücklegen hast oder dass du mehrmals zieht, aber stets läufts auf ne Argumentation über Monotonie hinaus.
Eine andere Aufgabe wäre also z.B.
Ich ziehe m Mal mit Zurücklegen aus ner Urne mit Kugeln, die durchnummiert sind von -N,....,-1,0,1,...,N. Die m gezogenen Nummern (Stichprobe) seien [mm] x=(x_1,...,x_m). [/mm] Gesucht ML-Schätzer für N:
Dann ist der Parameterraum wieder [mm] $\mathbb [/mm] N$ und [mm] $L(N)=P(X_1=x_1,...,X_m=x_m)=\frac{1}{(2N+1)^m}$
[/mm]
für [mm] $|x_1|\le [/mm] N$, [mm] $|x_2|\le N$,...,$|x_m|\le [/mm] N$ und 0, sonst.
(wobei die [mm] $X_i$ [/mm] stoch unabhängig und gleichverteilt auf -N,...,N seien).
Letztere Bedingung mit den [mm] $x_i$ [/mm] ist äquivalent dazu, dass [mm] $N\ge\max_{1\le i\le m}|x_i|$
[/mm]
(das muss man sich einfach für beide Richtungen einmal klar machen).
L ist hier wieder streng monoton fallend,
also hat L sein Maximum an der Stelle [mm] N=\max_{1\le i\le m}|x_i|.
[/mm]
D.h. dein ML Schätzer für N ist [mm] max_{1\le i\le m}|X_i|
[/mm]
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:29 So 24.11.2013 | | Autor: | CaNi |
super, vielen vielen Dank für deine Mühen!! Hast mir wirklich viel geholfen :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 So 24.11.2013 | | Autor: | CaNi |
also man könnte ja sagen das es Max. ist wenn #M = x ist, aber wie zeigt man das mathematisch korrekt mit dem Max-Likelihood "Verfahren"...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 Mo 25.11.2013 | | Autor: | vivo |
Hallo,
versteif Dich nicht zu sehr auf "Schema-F-Vorgehensweisen". Maximum-Liklehood-Schätzer heißt nur, dass Du die Paramter so schätzt, dass die Beobachtung die maximale Wahrscheinlichkeit und somit Dichte erhält.
In dem konkreten Beispiel:
Es gilt [mm]M \ge x[/mm] da [mm]x[/mm] sonst nicht hätte beobachtet werden können. Da [mm]\frac{1}{M}[/mm] monoton fallend ist wird das Maximum bei [mm]M = x[/mm] angenommen.
|
|
|
|
