Max. Fläche Dreieck < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben ist [mm] f(x)=(2+t+x)*e^{-0,5x} [/mm] mit [mm] x\in [/mm] R und [mm] t\in [/mm] R. K ist das Schaubild von f.
Der Punkt P(u/v) mit -4 [mm] \le [/mm] u [mm] \le [/mm] -1 liegt auf K2 (also t=2).
Der Ursprung, P (0/-1) und der Punkt Q (u/f(u)) bilden ein Dreieck.
Bestimmen Sie u so, dass die Fläche des Dreiecks ein absolutes Maximum annimmt und berechnen Sie diesen Flächeninhalt. |
Hallo,
ich habe als Hauptbedingung für den Flächeninhalt folgendes:
A = Ages - A2 => Da es ein stumpfwinkliges Dreieck ist
A = [mm] \bruch{u*(f2(u)+1)}{2}-\bruch{u*(f2(u))}{2}
[/mm]
Die Nebenbedingungen sind:
[mm] f2(u)=(2+2+u)*e^{-0,5u}
[/mm]
Die Zielfunktion:
A(u)= [mm] \bruch{u*((4+u)*e^{-0,5u}+1)}{2}-\bruch{u*((2+2+u)*e^{-0,5u})}{2}
[/mm]
Stimmt diese Zielfunktion?
Denn mein Problem ist, dass wenn ich sie ableite folgendes erhalte:
A'(u)=0,5 (???)
Wäre wehr nett, wenn mir jemand helfen könnte.
Viele Grüße,
Anna
|
|
| |
|
Hi, Anna,
> Gegeben ist [mm]f(x)=(2+t+x)*e^{-0,5x}[/mm] mit [mm]x\in[/mm] R und [mm]t\in[/mm] R. K
> ist das Schaubild von f.
> Der Punkt P(u/v) mit -4 [mm]\le[/mm] u [mm]\le[/mm] -1 liegt auf K2 (also
> t=2).
> Der Ursprung, P (0/-1) und der Punkt Q (u/f(u)) bilden ein
> Dreieck.
> Bestimmen Sie u so, dass die Fläche des Dreiecks ein
> absolutes Maximum annimmt und berechnen Sie diesen
> Flächeninhalt.
Sag mal: Bist Du sicher, das Du die Punkte richtig angegeben hast?
Erst liegt P auf [mm] K_{2}, [/mm] dann hat er die Koordinaten (0; -1).
Wenn ich mir die von Dir beschriebene Situation anschaue, dann brauch' ich gar nichts zu rechnen, um zu wissen, dass das Dreieck für u=-4 maximalen Flächeninhalt hat.
Also irgendwas kommt mir da seltsam vor!
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
Hallo,
also die Aufgabe wurde exakt so gestellt (da bin ich leider diesesmal unschuldig). Mit dem P habe ich mich auch gewundert, wollte aber erstmal die Aufgabe exakt so formulieren, wie sie mir auch vorgelegt wurde. (Ich gehe mal davon aus das P mit Q einfach vertauscht wurde).
Jedenfalls: Gäbe es nun einfach diesen Graphen K2 (also t=2) im Intervall -4 [mm] \le [/mm] u [mm] \le [/mm] -1 und die 3 Punkte O(0/0), P(0/-1), und Q(u/f(u)). Wie kommst du auf u = -4 und stimmt das was ich da gerechnet habe mit der Zielfunktion ansatzweise?
Viele Grüße,
Anna
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:08 So 28.01.2007 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Anna,
> also die Aufgabe wurde exakt so gestellt (da bin ich leider
> diesesmal unschuldig). Mit dem P habe ich mich auch
> gewundert, wollte aber erstmal die Aufgabe exakt so
> formulieren, wie sie mir auch vorgelegt wurde. (Ich gehe
> mal davon aus das P mit Q einfach vertauscht wurde).
>
> Jedenfalls: Gäbe es nun einfach diesen Graphen K2 (also
> t=2) im Intervall -4 [mm]\le[/mm] u [mm]\le[/mm] -1 und die 3 Punkte O(0/0),
> P(0/-1), und Q(u/f(u)). Wie kommst du auf u = -4 und stimmt
> das was ich da gerechnet habe mit der Zielfunktion
> ansatzweise?
Also: Wenn die Punkte so stimmen, dann haben alle Dreiecke (unabhängig von u) dieselbe Grundlinie |OP| = 1.
Wegen der Flächenformel eines Dreiecks hat demnach dasjenige Dreieck die größte Fläche, das die größte Höhe hat. Und da brauch' ich nicht zu rechnen! Das ist für Q(-4; 0) der Fall!
Die Aufgabenstellung KANN so nicht stimmen - und das muss was mit dem Punkt P zu tun haben.
Vorstellen könnt' ich mir folgende Punkte:
O(0;0), P(u;0) und Q(u;f(u)).
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
Hallo,
verständlich ist das schon, dass das Dreieck mit der längsten Höhe auch den größen Flächeninhalt haben muss.
Nur kann man das auch mathematisch beweisen?
Viele Grüße,
Anna
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:33 So 28.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo,
> verständlich ist das schon, dass das Dreieck mit der
> längsten Höhe auch den größen Flächeninhalt haben muss.
> Nur kann man das auch mathematisch beweisen?
> Viele Grüße,
> Anna
Hallo
Ja, man kann. Und zwar, indem du die Formel für den Flächeninhalt als Funktion auffasst, dessen Hochpunkt du suchst. Mit Hilfe der Ableitungen funktioniert das relativ einfach.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:40 So 28.01.2007 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Anna und M.Rex,
> > Hallo,
> > verständlich ist das schon, dass das Dreieck mit der
> > längsten Höhe auch den größen Flächeninhalt haben muss.
> > Nur kann man das auch mathematisch beweisen?
>
> Hallo
>
> Ja, man kann. Und zwar, indem du die Formel für den
> Flächeninhalt als Funktion auffasst, dessen Hochpunkt du
> suchst. Mit Hilfe der Ableitungen funktioniert das relativ
> einfach.
Hier sogar viel zu einfach, da die Fäche des Dreiecks nur von der x-Koordinate des Punktes Q abhängt:
A = 0,5*1*(-u)
Und damit ist - wie Anna ja richtig (wenn auch SEEEHR umständlich) ausgerechnet hat:
A'(u) = -0,5
Heißt: Da gibt es keine Nullstelle der 1. Ableitung!
Das gesuchte Maximum liegt demnach auf einem der beiden Ränder - hier bei u = -4.
Aber wozu die Umstände!
Bin mir 100%ig sicher, dass die Aufgabenstellung nicht stimmt.
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich danke euch schonmal für eure Hilfe!
Eine Frage noch @ zwerglein:
Wenn es also keine Nullstelle von der 1.Ableitung gibt, wie kann man dann einfach sagen, man nimmt die Nullstellen der Funktion selbst? Kann man das bei Exremwertaufgaben immer machen, falls die 1.Ableitung keine Nullstellen besitzt?
Viele Grüße,
Anna
|
|
|
| |
|
Hi, Anna,
> Wenn es also keine Nullstelle von der 1.Ableitung gibt,
> wie kann man dann einfach sagen, man nimmt die Nullstellen
> der Funktion selbst? Kann man das bei Exremwertaufgaben
> immer machen, falls die 1.Ableitung keine Nullstellen
> besitzt?
Nein!
Die Sache ist so:
(1) Bei solchen Aufgaben besitzt die Definitionsmenge immer RÄNDER.
(2) Extremstellen können
a) dort liegen, wo die 1. Ableitung =0 ist ("relative Extremstellen")
oder
b) auf den Rändern ("Randextremstellen").
(3) Um zu entscheiden, welche der in Frage kommenden Stellen die gesuchte ist, muss man die Funktionswerte der relativen und der Rand-Extremstellen miteinander vergleichen:
Der größte Wert ergibt das abs. Max., der kleinste analog das abs. Min.
(4) Gibt es gar keine Nullstellen von f'(x), können die Extremstellen nur auf dem Rand der Definitionsmenge liegen. (In Deinem Beispiel bei u=-1 oder bei u=-4.)
mfG!
Zwerglein
|
|
|
|
