Max / Min - Nebenbedingung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:02 Fr 04.07.2008 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | Gegeben sei eine vierseitige geschlossene Kurve Q deren 4 Seiten aus Kreisringen bestehen, aus Kreisen deren Radius 1 und deren Mittelpunkt in den Punkten (1,1), (-1,1), (-1,-1),(1,-1) liegt und im Quadrat [-1,1]x[-1,1] entahlten sind.
Auf Q sind die absoluten Max / Min der Funktion f(x,y)=x+2y zu finden. |
Hallo alle zusammen.
Also eigentlich komme ich schon aufs richtige Ergebnis, meine Frage ist wohl eher allgemein gerichtet.
Ich nehme jetzt nur einen Kreis, für die anderen erübrigt sich das ganze ja dann. Also der Kreis im I Quadrant mit x und y positiv, hat das Zentrum 1,1 und somit die Funktion: (x-1)²+(y-1)²=1. Die Begrenzung geht hier in folgende Richtung: y=1 wenn ich mir die Funktion bis dorthin anschauen will.
Das würde ja dann so aussehen:
x+2y+ l*((x-1)²+(y-1)²-1) + g*(y-1)
Ich betrachte mir jetzt aber nur die [mm] \partial [/mm] g = 0
welches in y=1 resultiert. Somit habe ich ja schon direkt meinen Punkt vorgeben. Das kann doch irgendwie nicht gehen, wenn es ist ja nicht immer so, dass in Eckpunkten zwangsweise ein Maximum für meine Funktion ist.
Wenn ich hier einen Lagrange nur auf dem Kreis machen würde, dann würde es mir ja den ganzen Rand meines Kreises verwenden und nicht nur den Rand, welchen ich betrachten möchte.
Muss man die Granzen des Quadrates anders definieren, kann das sein?
Wenn ich mir die so definiere dann finde ich natürlich alle Eckpunkte und zwar P(1,0),(0,1) und (-1,0),(0,-1). Aber irgendwie stehen diese ja nicht in direktem Zusammenhang mit meiner Funktion sondern nur mit der Begrenzung y=1 bzw x=1.
lg
Zuggel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:46 Fr 04.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
irgendwas machst du falsch. dein Quadrat ist doch gar nicht Teil der Randkurve, sondern der Rand sind die 4 Viertelkreisbögen (nicht Kreisringe) die ein nach innen gewölbtes 4 Eck mit den Ecken (1,0)(0,1)(-1,0)(0,-1) bilden.
Deine Funktion ist ne Gerade! Natürlich nimmt ne Gerade ihr max und Min auf dem Rand an, d.h. da, wo sie den Rand schneidet. dazu braucht man keinerlei Formalismus! zeichne es einfach auf. (die vier Kreisbögen und die Gerade!
Gruss leduart
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> Gegeben sei eine vierseitige geschlossene Kurve Q deren 4
> Seiten aus Kreisringen bestehen,
es sind natürlich keine Kreisringe, sondern Kreisbögen...
> aus Kreisen deren Radius 1
> und deren Mittelpunkt in den Punkten (1,1), (-1,1),
> (-1,-1),(1,-1) liegt und im Quadrat [-1,1]x[-1,1] entahlten
> sind.
gemeint ist wohl, dass die Kreisbögen (nicht bloss
deren Mittelpunkte) im Quadrat liegen sollen
> Auf Q sind die absoluten Max / Min der Funktion
> f(x,y)=x+2y zu finden.
> Deine Funktion ist ne Gerade! Natürlich nimmt ne Gerade
> ihr max und Min auf dem Rand an, d.h. da, wo sie den Rand
> schneidet. dazu braucht man keinerlei Formalismus! zeichne
> es einfach auf. (die vier Kreisbögen und die Gerade!
> Gruss leduart
Hallo leduart und zuggel,
ich denke, man muss sich die Funktion z=f(x,y)eher als eine schief
im Raum liegende Ebene denken (und nicht als eine Gerade !).
Für die Lösung ist tatsächlich keine Differentialrechnung erforderlich,
man überlegt sich dies am besten geometrisch.
Als Zusatzfrage könnte man sich noch vorstellen: "Wo auf Q nimmt
die Funktion |f(x,y)| ihr Minimum an ?"
LG al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Fr 04.07.2008 | | Autor: | Zuggel |
Dass für diese Aufgabe keinerlei Lagrange nötig wäre, war mir auch klar.
Nur, nehmen wir ein vielleicht anderes Bsp her, welches nicht so einfach zu zeichnen ist:
f(x,y)= -x²+x-y+xy auf dem Rechteck:
[mm] 0\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 3
[mm] 0\le [/mm] y [mm] \le [/mm] 2
Hier habe ich auch den Fall des Rechteckes - nun dass es immer die Eckpunkte dein müssen, kann doch auch nicht sein. Ich hoffe das stimmt jetzt: Wenn ich zB die Funktion [mm] z=x^2-2x [/mm] hernehme für y zwischen 0 und 3 und x zwischen 0 und 3, dann habe ich doch auch einen Tiefpunkt der Funktion nicht genau über dem Eckpunkt meines Randgebietes.
lg
Zuggel
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> Nur, nehmen wir ein vielleicht anderes Bsp her, welches
> nicht so einfach zu zeichnen ist:
>
> f(x,y)= -x²+x-y+xy auf dem Rechteck:
>
> [mm]0\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 3
> [mm]0\le[/mm] y [mm]\le[/mm] 2
>
> Hier habe ich auch den Fall des Rechteckes - nun dass es
> immer die Eckpunkte dein müssen, kann doch auch nicht sein.
> Ich hoffe das stimmt jetzt: Wenn ich zB die Funktion
> [mm]z=x^2-2x[/mm] hernehme für y zwischen 0 und 3 und x zwischen 0
> und 3, dann habe ich doch auch einen Tiefpunkt der Funktion
> nicht genau über dem Eckpunkt meines Randgebietes.
hallo Zuggel,
wenn ich es richtig sehe, bringst du hier gleich zwei neue
Beispiele mit verschiedenen Funktionen über verschiedenen
Rechtecken in der x-y-Ebene.
Und sehe ich es auch richtig, dass du im Moment nur an den
Maxima und Minima auf dem Rand des Rechtecks
interessiert bist ?
Natürlich müssen solche Randextrema nicht immer in den
Ecken liegen. Du kannst ja für jede Seitenkante eine kleine
Untersuchung anstellen. Beispiel: die Funktion [mm]f(x,y)= -x²+x-y+xy[/mm]
beschränkt auf die obere Querkante des Rechtecks bedeutet:
[mm]\ f(x,y)[/mm] mit [mm]\ y=2[/mm] und [mm]0 \le x \le 3[/mm] , also
[mm] f(x,2)=-x^2+x-2+2x [/mm] = [mm] -x^2+3x-2\quad[/mm] [mm](0\le x\le 3)[/mm]
Es ergibt sich ein Maximum im Mittelpunkt der Kante.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Fr 04.07.2008 | | Autor: | Zuggel |
> > Nur, nehmen wir ein vielleicht anderes Bsp her, welches
> > nicht so einfach zu zeichnen ist:
> >
> > f(x,y)= -x²+x-y+xy auf dem Rechteck:
> >
> > [mm]0\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 3
> > [mm]0\le[/mm] y [mm]\le[/mm] 2
> >
> > Hier habe ich auch den Fall des Rechteckes - nun dass es
> > immer die Eckpunkte dein müssen, kann doch auch nicht sein.
> > Ich hoffe das stimmt jetzt: Wenn ich zB die Funktion
> > [mm]z=x^2-2x[/mm] hernehme für y zwischen 0 und 3 und x zwischen 0
> > und 3, dann habe ich doch auch einen Tiefpunkt der Funktion
> > nicht genau über dem Eckpunkt meines Randgebietes.
>
>
> hallo Zuggel,
>
> wenn ich es richtig sehe, bringst du hier gleich zwei neue
> Beispiele mit verschiedenen Funktionen über verschiedenen
> Rechtecken in der x-y-Ebene.
>
> Und sehe ich es auch richtig, dass du im Moment nur an den
> Maxima und Minima auf dem Rand des Rechtecks
> interessiert bist ?
>
> Natürlich müssen solche Randextrema nicht immer in den
> Ecken liegen. Du kannst ja für jede Seitenkante eine
> kleine
> Untersuchung anstellen. Beispiel: die Funktion [mm]f(x,y)= -x²+x-y+xy[/mm]
>
> beschränkt auf die obere Querkante des Rechtecks bedeutet:
>
> [mm]\ f(x,y)[/mm] mit [mm]\ y=2[/mm] und [mm]0 \le x \le 3[/mm] , also
>
> [mm]f(x,2)=-x^2+x-2+2x[/mm] = [mm]-x^2+3x-2\quad[/mm] [mm](0\le x\le 3)[/mm]
>
> Es ergibt sich ein Maximum im Mittelpunkt der Kante.
>
> LG
Du hast meine Frage vollkommen richtig interpretiert, Danke.
Also so einfach geht das nun. Ich dachte immer ich hätte mit der Querkante einen Rand gegeben welchen ich mit Lagrange zu untersuchen habe.
Wie würde man denn jetzt das eben angesprochene auf das ursprüngliche Beispiel anwenden? Wir hatten ja diese Kreisbögen welche wie leduart bereits beschrieben hat, ein nach innen gewölbtes Viereck ergeben.
Angenommen unsere Funktion ist nicht einfach geometerisch untersuchbar sondern ich muss mit Lagrange arbeiten, wie würde hier ein Ansatz ausschauen.
Ich denke andauernd daran, in die Funktion x+2y für zB den oberen Rand y=1 einzusetzen und dann eine Funktionsstudie mit Lagrange auf dem Rand von (x-1)²+(y-1)²=1 durchzuführen, nur ich denke ich lande dort nicht auf dem Rand den ich will, sondern untersuche die Hälfte des Kreises zwischen y=0 und y=1 und nicht den gewünschten Kreisbogen in meinem Quadrat.
Danke für eure Antworten
lg
Zuggel
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> Du hast meine Frage vollkommen richtig interpretiert,
> Danke.
> Also so einfach geht das nun. Ich dachte immer ich hätte
> mit der Querkante einen Rand gegeben welchen ich mit
> Lagrange zu untersuchen habe.
1.) natürlich solltest du die drei weiteren Kanten
ebenfalls noch nach Extremalstellen untersuchen
2.) möglicherweise wird von euch eine Lösung mittels
der Lagrange-Methode erwartet; nur kann ich da
im Moment nicht mitreden: irgendwann hatten wir
das im Studium wohl auch, aber vielleicht war ich
da gerade krank, und es ist auch schon zu lange her...
> Wie würde man denn jetzt das eben angesprochene auf das
> ursprüngliche Beispiel anwenden? Wir hatten ja diese
> Kreisbögen welche wie leduart bereits beschrieben hat, ein
> nach innen gewölbtes Viereck ergeben.
Die Niveaulinien der linearen Funktion z(x,y)=x+2*y, die
wir dort hatten, sind Parallelen mit der gemeinsamen
Steigung [mm] m=-\bruch{1}{2}. [/mm] Schiebt man diese Niveaulinie
(mit zunehmendem z-Wert) quer über die Sternfigur, so
ist anschaulich klar, dass sie die Figur zuerst in der unteren
Spitze trifft --->Minimum bei x=0,y=-1, [mm] z_{min}=-2
[/mm]
und zuletzt an der oberen Spitze verlässt --->Maximum bei x=0,y=1, [mm] z_{max}=2
[/mm]
> Angenommen unsere Funktion ist nicht einfach geometrisch
> untersuchbar sondern ich muss mit Lagrange arbeiten, wie
> würde hier ein Ansatz ausschauen.
..... da bin ich eben im Moment überfragt und warte auf Beiträge anderer ...
LG
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