Maximale Fläche Errechnung < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:11 Do 27.11.2014 | | Autor: | kylare |
| Aufgabe | Ein Gärtner plant den Bau eines Gewächshauses. Das Grundstück soll viereckig werden.
1 Meter Außenwand kostet 900€, 1 Meter Innenwand 200€. Der Gärtner hat 160 000€ zur Verfügung. (Wandhöhe und Dach werden nicht berücksichtigt) Welche Länge und Breite muss das Gewächshaus haben um eine maximale Gesamtfläche zu erhalten? |
Ich habe Probleme mit dem Errechnen der Gesamtfläche, da keine Maße gegeben sind. Ich weiß, dass da der Gärtner nur 160 000€ zur Verfügung hat, er nur eine bestimmte "Meteranzahl" an Wand bezahlen kann. Und da 2a+2b=Umfang u des Vierecks ergibt, muss der Umfang ja 160 000€ entsprechen/kosten. 1 Meter Wand insgesamt kostet 1100€. Also muss 160 000= 1100*(2a+2b) entsprechen. Da 2a+2b=u ist, muss ich das durch u ersetzen, weshalb dann doch 160 000= 1100u ergibt? Umgestellt ergibt das dann u= ca. 145, 45 [€]. Und ab da, habe ich keine Ahnung mehr, wie ich weitermachen soll. Kann mir jemand ab da weiterhelfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 Do 27.11.2014 | | Autor: | chrisno |
Ich habe ein paar Probleme, die Aufgabe zu verstehen. Lautet sie wirklich so?
> Ein Gärtner plant den Bau eines Gewächshauses.
verstehe ich
> Das Grundstück soll viereckig werden.
Er will doch ein Gewächshaus bauen und nicht ein Grundstück einzäunen?
Ich gehe davon aus, dass es sich bei dem Viereck um ein Rechteck handeln soll. Sonst müsste man auch noch beweisen, dass das Rechteck in diesem Fall das optimale Viereck ist. Weiterhin soll der Grundriss des Gewächshauses rechteckig werden.
> 1 Meter Außenwand kostet 900€, 1 Meter Innenwand 200€.
Wenn nicht angegeben ist, wie dick die Wand ist, dann hast Du wohl recht, indem Du daraus schließt, dass ein Meter Wand 1100 € kostet. Das hätte aber auch direkt da stehen können.
> Der Gärtner hat 160 000€ zur Verfügung.
verstehe ich
> (Wandhöhe und Dach werden nicht berücksichtigt) Welche
> Länge und Breite muss das Gewächshaus haben um eine
> maximale Gesamtfläche zu erhalten?
versteh ich auch
> Ich habe Probleme mit dem Errechnen der Gesamtfläche, da
> keine Maße gegeben sind. Ich weiß, dass da der Gärtner
> nur 160 000€ zur Verfügung hat, er nur eine bestimmte
> "Meteranzahl" an Wand bezahlen kann. Und da 2a+2b=Umfang u
> des Vierecks ergibt, muss der Umfang ja 160 000€
> entsprechen/kosten. 1 Meter Wand insgesamt kostet 1100€.
> Also muss 160 000= 1100*(2a+2b) entsprechen. Da 2a+2b=u
> ist, muss ich das durch u ersetzen, weshalb dann doch 160
> 000= 1100u ergibt? Umgestellt ergibt das dann u= ca. 145,
> 45 [€]. Und ab da, habe ich keine Ahnung mehr, wie ich
> weitermachen soll. Kann mir jemand ab da weiterhelfen?
Klar doch:
Du bist ein wenig in die falsche Richtung gelaufen. Bei $2a + 2b = [mm] \br{1600}{11}$ [/mm] bist Du mit der Nebenbedingung fertig. Die Umformung zu $a + b = [mm] \br{800}{11}$ [/mm] lohnt sich noch.
Nun soll die Grundfläche maximal werden. Wie berechnet man die Fläche eines Rechteck aus den Längen seiner Seiten, A = ...?
Da stehen auch a und b. Wenn Du nun die Nebenbedingung umformst in a = ... b, dann kannst Du alles rechts vom Gleichheitszeichen anstelle von a in den Ausdruck A = ... einsetzen. Dann ableiten ...
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