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Maximale abelsche Untergruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:12 Sa 24.11.2012
Autor: Loko

Aufgabe
G nicht-abelsche Gruppe.
Z.z.: G hat mindestens drei maximale abelsche Untergruppen.
+ Beispiel.

Hallo!
Ich hab ein paar Ideen zu der Aufgabe:
1) Zeigen, dass eine Gruppe nicht funktioniert.
Aus einer anderen Aufgabe wissen wir, dass die Vereinigung aller maximalen Untergruppen G ergibt.
Wenn es also nur eine maximale Untergruppe gibt, dann wäre G abelsch. [mm] $\lightning$ [/mm]

2) Ich versuche zwei maximale Untergruppen zu konstruieren, sodass G abelsch ist. Wir wissen auch, dass der Schnitt der maximalen Untergruppen Z(G) ist.
Es gibt also
[mm] A_{1} [/mm] = [mm] Z(G)\cup \{x_{1}\} [/mm] und
[mm] A_{2} [/mm] = [mm] Z(G)\cup \{x_{2}\}. (x_{1} \not= x_{2}) [/mm]
Dann enthält [mm] A_{1} [/mm] weder [mm] A_{2} [/mm] noch anders herum.
Und wir sagen das sind die maximalen Untergrupen einer Gruppe G.
G ist also abelsch, wenn [mm] x_{a}:= x_{1}x_{2}=x_{2}x_{1}=: x_{b} [/mm] ist.
Sei [mm] x_{a} \not\in [/mm] Z(G). Dann kann [mm] x_{a} [/mm] aber nur [mm] x_{1} [/mm] oder [mm] x_{2} [/mm] sein, da es sonst keine Elemente außerhalb des Zentrums gibt.
[mm] \Rightarrow x_{a}=x_{1}x_{2}=x_{1} \Rightarrow x_{2}=e, [/mm] geht nicht, oder [mm] x_{a}=x_{1}x_{2}=x_{2} \Rightarrow x_{1}=e. [/mm] geht auch nicht.
Dasselbe gilt für [mm] x_{b}. [/mm]
Also sind [mm] x_{a},x_{b} \in [/mm] Z(G) und also [mm] x_{a}x_{b}=x_{b}x_{a} [/mm]
[mm] \gdw x_{1}x_{2}x_{2}x_{1} [/mm] = [mm] x_{2}x_{1}x_{1}x_{2} [/mm]
[mm] \gdw x_{1}x_{2} [/mm] = [mm] x_{2}x_{1} [/mm]
und also G abelsch.

3) G = [mm] A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}. (A_{i} [/mm] maximal. abelsche UG).
Hier weiß ich nicht genau wie ich das angehen soll. Funktioniert das auch mit dem [mm] Z(G)\cup x_{i}? [/mm]
Das hab ich nämlich bisher nicht gut hinbekommen.

Als Beispiel hab ich [mm] Q_{8} [/mm] gefunden.
G = [mm] \{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}. [/mm]
Dann sind die abelschen Untergruppen:
[mm] \{1,-1,i,-i\}, \{1,-1,j,-j\} [/mm] und [mm] \{1,-1,k,-k\} [/mm]

Lg und ich hoffe jemand hat ein paar Tips :)

Loko

        
Bezug
Maximale abelsche Untergruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:45 Sa 24.11.2012
Autor: hippias


> G nicht-abelsche Gruppe.
>  Z.z.: G hat mindestens drei maximale abelsche
> Untergruppen.
>  + Beispiel.
>  Hallo!
>  Ich hab ein paar Ideen zu der Aufgabe:
>  1) Zeigen, dass eine Gruppe nicht funktioniert.

Verstehe ich nicht.

>  Aus einer anderen Aufgabe wissen wir, dass die Vereinigung
> aller maximalen Untergruppen G ergibt.

Das ist falsch : z.B. fuer $G$ zyklische Gruppe der Ordnung $4$.

>  Wenn es also nur eine maximale Untergruppe gibt, dann
> wäre G abelsch. [mm]\lightning[/mm]

Richtig.

>  
> 2) Ich versuche zwei maximale Untergruppen zu konstruieren,
> sodass G abelsch ist. Wir wissen auch, dass der Schnitt der
> maximalen Untergruppen Z(G) ist.

Das ist falsch: zyklische Gruppe der Ordnung $4$.

>  Es gibt also
> [mm]A_{1}[/mm] = [mm]Z(G)\cup \{x_{1}\}[/mm] und
>  [mm]A_{2}[/mm] = [mm]Z(G)\cup \{x_{2}\}. (x_{1} \not= x_{2})[/mm]

So kannst Du doch keine Gruppen konstruieren; Deine [mm] $A_{i}$ [/mm] sind nur in trivialen Faellen Untergruppen [mm] ($x_{i}= [/mm] 1$ oder [mm] $x_{i}^{2}= [/mm] 1$und $Z(G)= 1$).

>  Dann
> enthält [mm]A_{1}[/mm] weder [mm]A_{2}[/mm] noch anders herum.
>  Und wir sagen das sind die maximalen Untergrupen einer
> Gruppe G.
>  G ist also abelsch, wenn [mm]x_{a}:= x_{1}x_{2}=x_{2}x_{1}=: x_{b}[/mm]
> ist.
>  Sei [mm]x_{a} \not\in[/mm] Z(G). Dann kann [mm]x_{a}[/mm] aber nur [mm]x_{1}[/mm]
> oder [mm]x_{2}[/mm] sein, da es sonst keine Elemente außerhalb des
> Zentrums gibt.
>  [mm]\Rightarrow x_{a}=x_{1}x_{2}=x_{1} \Rightarrow x_{2}=e,[/mm]
> geht nicht, oder [mm]x_{a}=x_{1}x_{2}=x_{2} \Rightarrow x_{1}=e.[/mm]
> geht auch nicht.
>  Dasselbe gilt für [mm]x_{b}.[/mm]
>  Also sind [mm]x_{a},x_{b} \in[/mm] Z(G) und also
> [mm]x_{a}x_{b}=x_{b}x_{a}[/mm]
>  [mm]\gdw x_{1}x_{2}x_{2}x_{1}[/mm] = [mm]x_{2}x_{1}x_{1}x_{2}[/mm]
>  [mm]\gdw x_{1}x_{2}[/mm] = [mm]x_{2}x_{1}[/mm]
>  und also G abelsch.
>  
> 3) G = [mm]A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}. (A_{i}[/mm] maximal.
> abelsche UG).
>  Hier weiß ich nicht genau wie ich das angehen soll.
> Funktioniert das auch mit dem [mm]Z(G)\cup x_{i}?[/mm]
>  Das hab ich
> nämlich bisher nicht gut hinbekommen.
>  
> Als Beispiel hab ich [mm]Q_{8}[/mm] gefunden.
>  G = [mm]\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}.[/mm]
>  Dann sind die abelschen Untergruppen:
>  [mm]\{1,-1,i,-i\}, \{1,-1,j,-j\}[/mm] und [mm]\{1,-1,k,-k\}[/mm]
>  
> Lg und ich hoffe jemand hat ein paar Tips :)
>  
> Loko

Damit keine Missverstaendnisse auftreten: Du hast zu zeigen, dass wenn $G$ eine endliche, nicht abelsche Gruppe ist und $A$ die Menge aller abelschen Untergruppen von $G$, und ist [mm] $A^{\star}$ [/mm] die Menge der bezueglich Inklusion maximalen Elemente von $A$, dann enthaelt [mm] $A^{\star}$ [/mm] mindestens $3$ Elemente.

Dazu ueberlege Dir, dass die Faelle [mm] $|A^{\star}|= [/mm] 0,1,2$ nicht eintreten koennen. Z.B. fuer [mm] $|A^{\star}|= [/mm] 1$ koennte man etwa so argumentieren: Besaesse $G$ genau eine abelsche Untergruppe $H$, so enhielte $H$ alle abelschen Untergruppen von $G$. Insbesondere enthielte $H$ dann alle zyklischen Untergruppen, woraus $H= G$ folgen wuede, was der Voraussetzung widerspraeche.

Bezug
                
Bezug
Maximale abelsche Untergruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:59 Sa 24.11.2012
Autor: Loko

Vielen Dank schonmal für die Antwort!!

Ich hab gesehen ich war ein bisschen schlampig in meinem Artikel. Wo maximale Untergruppe steht sollte maximal-abelsche-Untergruppe stehen.

Dann ist G gleich der Vereinigung der maximalen-abelschen Untergruppen und der Schnitt derer das Zentrum. (Ist so durch eine andere Aufgabe gegeben..)

G muss nicht endlich sein. Das ist nicht gegeben..
Ich weiß also nur, dass es nicht-abelsch ist.

Maximal abelsche Untergruppe hatten wir defniniert, dass A die einzige abelsche UG von G ist die A enthält.

Die genaue Aufgabenstellung ist:
Zeige, G hat mindestens 3 maximale abelsche Untergruppen.

Ich werd mich nochmal weiter daran versuchen.
danke schonmal für die Kommentare!

Loko

Bezug
                        
Bezug
Maximale abelsche Untergruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:06 So 25.11.2012
Autor: felixf

Moin!

> Vielen Dank schonmal für die Antwort!!
>  
> Ich hab gesehen ich war ein bisschen schlampig in meinem
> Artikel. Wo maximale Untergruppe steht sollte
> maximal-abelsche-Untergruppe stehen.

Gut :)

> Dann ist G gleich der Vereinigung der maximalen-abelschen
> Untergruppen und der Schnitt derer das Zentrum. (Ist so
> durch eine andere Aufgabe gegeben..)

[ok]

> G muss nicht endlich sein. Das ist nicht gegeben..
>  Ich weiß also nur, dass es nicht-abelsch ist.

Das reicht auch. Solange man an das Auswahlaxiom glaubt ;-)

> Maximal abelsche Untergruppe hatten wir defniniert, dass A
> die einzige abelsche UG von G ist die A enthält.
>  
> Die genaue Aufgabenstellung ist:
>  Zeige, G hat mindestens 3 maximale abelsche Untergruppen.
>  
> Ich werd mich nochmal weiter daran versuchen.
>  danke schonmal für die Kommentare!

Mach es so wie hippias schreibt. Es muss mindestens eine maximale abelsche UG geben (Auswahlaxiom), es kann nicht nur eine geben (sonst ist diese bereits ganz $G$, folgt aus dem was du oben schon schreibst), und dann musst du noch zeigen dass es nicht genau zwei maximale UG geben kann. (Du kennst evtl. die Aussage, dass die Vereinigung zweier Untergruppen nur dann eine Untergruppe ist, wenn die eine in der anderen enthalten ist.)

LG Felix


Bezug
                                
Bezug
Maximale abelsche Untergruppe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:08 Do 29.11.2012
Autor: Loko

Dankeschön euch beiden noch :)

Bezug
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