Maximales Element < axiomatisch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:04 Mo 12.12.2011 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich verstehe nicht den Unterschied zwischen dem maximalen Element einer Menge und dem größten Element einer Menge.
Ich habe folgende Defintionen:
P eine partiell geordnete Menge, X eine nichtleere Teilmenge, $a [mm] \in [/mm] P$
1) a ist ein maximales Element von X, wenn $a [mm] \in [/mm] X$ und [mm] $\forall [/mm] x (x [mm] \in [/mm] X [mm] \to [/mm] a [mm] \not< [/mm] x)$
2) a ist das größte Element von X, wenn $a [mm] \in [/mm] X$ und [mm] $\forall [/mm] x (x [mm] \in [/mm] X [mm] \to [/mm] x [mm] \le [/mm] a)$
Ich sehe irgendwie keinen Unterschied zwischen $a [mm] \not< [/mm] x$ und $x [mm] \le [/mm] a$. $a [mm] \not< [/mm] x$ heißt doch, dass a nicht kleiner sein soll als x, also entweder größer oder gleich. Und $x [mm] \le [/mm] a$ ist ja $a [mm] \ge [/mm] x$ und somit dasselbe.
Ich lese auch überall, dass im Fall einer linearen Ordnung maximales und größtes Element gleich sind, wohl aber nicht bei partieller Ordnung.
Aber irgendwie verstehe ich nicht warum.
Bei ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia ist da so ein komisches Beispiel mit Teilbarkeit, allerdings verstehe ich es nicht. Ich verstehe auch nicht, warum diese Menge nicht linear geordnet ist.
Hat vielleicht jemand ein verständliches Beispiel?
Bin für jede Hilfe dankbar.
LG Nadine
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> Hallo zusammen!
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> Ich verstehe nicht den Unterschied zwischen dem maximalen
> Element einer Menge und dem größten Element einer Menge.
>
> Ich habe folgende Defintionen:
>
> P eine partiell geordnete Menge, X eine nichtleere
> Teilmenge, [mm]a \in P[/mm]
> 1) a ist ein maximales Element von X,
> wenn [mm]a \in X[/mm] und [mm]\forall x (x \in X \to a \not< x)[/mm]
> 2) a
> ist das größte Element von X, wenn [mm]a \in X[/mm] und [mm]\forall x (x \in X \to x \le a)[/mm]
>
> Ich sehe irgendwie keinen Unterschied zwischen [mm]a \not< x[/mm]
> und [mm]x \le a[/mm]. [mm]a \not< x[/mm] heißt doch, dass a nicht kleiner
> sein soll als x, also entweder größer oder gleich. Und [mm]x \le a[/mm]
> ist ja [mm]a \ge x[/mm] und somit dasselbe.
>
> Ich lese auch überall, dass im Fall einer linearen Ordnung
> maximales und größtes Element gleich sind, wohl aber
> nicht bei partieller Ordnung.
>
> Aber irgendwie verstehe ich nicht warum.
>
> Bei
> Wikipedia
> ist da so ein komisches Beispiel mit Teilbarkeit,
> allerdings verstehe ich es nicht. Ich verstehe auch nicht,
> warum diese Menge nicht linear geordnet ist.
>
> Hat vielleicht jemand ein verständliches Beispiel?
Hallo,
ich habe das vor Urzeiten mal dort erklärt.
Gruß v. Angela
>
> Bin für jede Hilfe dankbar.
>
> LG Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Mo 12.12.2011 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela!
Leider blicke ich immer noch nicht durch.
Ich sehe in deinen Definitionen von größtem Element (alle anderen sind kleiner gleich diesem) und maximalem Element (kein Element ist größer) absolut keinen Unterschied.
Ich verstehe auch das Teilbarkeitsbeispiel überhaupt nicht.
Wenn wir mit Teilbarkeit messen, was bedeutet dann größer/kleiner usw. wenn es nicht mehr das normale größergleich ist?
Wie muss ich an dieses Beispiel rangehen?
Ich kann leider keine konkreten Fragen stellen, weil ich grad einfach überhaupt nix verstehe :(
LG Nadine
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> Hallo Angela!
>
> Leider blicke ich immer noch nicht durch.
>
> Ich sehe in deinen Definitionen von größtem Element (alle
> anderen sind kleiner gleich diesem) und maximalem Element
> (kein Element ist größer) absolut keinen Unterschied.
>
> Ich verstehe auch das Teilbarkeitsbeispiel überhaupt
> nicht.
>
> Wenn wir mit Teilbarkeit messen, was bedeutet dann
> größer/kleiner usw. wenn es nicht mehr das normale
> größergleich ist?
>
> Wie muss ich an dieses Beispiel rangehen?
>
> Ich kann leider keine konkreten Fragen stellen, weil ich
> grad einfach überhaupt nix verstehe :(
>
> LG Nadine
Hallo Nadine,
ich finde zwar die Erklärung von Angela schon sehr gut.
Wir können ihr Beispiel noch einfacher machen, indem wir nur
die Menge M={2,3,6} mit der so definierten Relation [mm] "\le"
[/mm]
benützen:
$\ [mm] a\le [/mm] b$ genau dann, wenn a ein Teiler von b ist
Diese Relation versieht die Menge M mit einer Halbordnung,
denn sie ist reflexiv, transitiv und antisymmetrisch.
Die zugehörige irreflexive Relation "<" enthält nur die
2 zutreffenden Paare 2<6 und 3<6 . Die Aussage 2<3 ist
aber falsch, weil ja 2 kein Teiler von 3 ist.
Die so etablierte Halbordnung hat ein größtes Element,
nämlich die 6 , denn es gilt ja [mm] 2\le6 [/mm] und [mm] 3\le6 [/mm] und [mm] 6\le6 [/mm] .
Es ist also [mm] x\le6 [/mm] für alle [mm] x\in{M} [/mm] .
Die Elemente 2 und 3 sind zwar (jedes für sich) minimal,
aber keines davon ist "kleinstes" Element der Menge M
bezüglich dieser Relation. 2 ist nicht kleinstes Element
von M, weil die Aussage "2<3" nicht zutrifft.
Ein anderes Beispiel wäre etwa folgendes:
M sei eine Menge von Menschen (z.B. einer Großfamilie)
und wir definieren auf M die Relation "<" so:
A<B genau dann, wenn A ein direkter Nachkomme von B
ist. Nun betrachte z.B. eine Menge aus 3 Geschwistern,
ihren beiden Eltern und allen 4 Grosseltern.
(dabei schließen wir so absonderliche Fälle aus, in denen
z.B. ein Mann mit seiner eigenen Tochter Nachkommen
zeugt ...)
In dieser halbgeordneten Menge aus 9 Personen gibt
es 3 minimale und 4 maximale Elemente, aber weder
ein kleinstes noch ein größtes Element.
Dein Problem ist vermutlich folgendes:
In einer vollständigen Ordnung kann man aus
[mm] x\not
Bei einer Halbordnung darf man dies nicht. Im letzten
Beispiel: Wenn A kein direkter Nachkomme von B ist,
kann man daraus keineswegs schließen, dass dann B
direkter Nachkomme von A sein muss.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Mo 12.12.2011 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Al-Chwarizmi!
Danke für dein gutes Beispiel!
> ich finde zwar die Erklärung von Angela schon sehr gut.
> Wir können ihr Beispiel noch einfacher machen, indem wir
> nur
> die Menge M={2,3,6} mit der so definierten Relation [mm]"\le"[/mm]
> benützen:
>
> [mm]\ a\le b[/mm] genau dann, wenn a ein Teiler von b ist
>
> Diese Relation versieht die Menge M mit einer Halbordnung,
> denn sie ist reflexiv, transitiv und antisymmetrisch.
>
> Die zugehörige irreflexive Relation "<" enthält nur die
> 2 zutreffenden Paare 2<6 und 3<6 . Die Aussage 2<3 ist
> aber falsch, weil ja 2 kein Teiler von 3 ist.
6 ist Teiler von 6 fällt hier weg, da das Gleichheitszeichen weggefallen ist?
> Die so etablierte Halbordnung hat ein größtes Element,
> nämlich die 6 , denn es gilt ja [mm]2\le6[/mm] und [mm]3\le6[/mm] und [mm]6\le6[/mm]
> .
> Es ist also [mm]x\le6[/mm] für alle [mm]x\in{M}[/mm] .
> Die Elemente 2 und 3 sind zwar (jedes für sich) minimal,
> aber keines davon ist "kleinstes" Element der Menge M
> bezüglich dieser Relation. 2 ist nicht kleinstes Element
> von M, weil die Aussage "2<3" nicht zutrifft.
Also a ist ja minimal wenn $x [mm] \not< [/mm] a$, also wenn x kein Teiler von a ist für alle x, also wenn a keinen Teiler x hat für alle x. Die 2 und die 3 haben keinen Teiler, sind also minimal, richtig?
Und a ist kleinstes Element, wenn $a [mm] \le [/mm] x$ für alle x, also wenn a Teiler von allen x ist, und weder 2, noch 3, noch 6 sind Teiler aller Zahlen aus [mm] $\{2,3,6\}$, [/mm] deshalb gibt es kein kleinstes Element, richtig so?
> Ein anderes Beispiel wäre etwa folgendes:
> M sei eine Menge von Menschen (z.B. einer Großfamilie)
> und wir definieren auf M die Relation "<" so:
>
> A<B genau dann, wenn A ein direkter Nachkomme von B
> ist. Nun betrachte z.B. eine Menge aus 3 Geschwistern,
> ihren beiden Eltern und allen 4 Grosseltern.
> (dabei schließen wir so absonderliche Fälle aus, in
> denen
> z.B. ein Mann mit seiner eigenen Tochter Nachkommen
> zeugt ...)
> In dieser halbgeordneten Menge aus 9 Personen gibt
> es 3 minimale und 4 maximale Elemente, aber weder
> ein kleinstes noch ein größtes Element.
Ja, wenn ich meine Argumentation von oben anpasse, dann komme ich da auch drauf :)
> Dein Problem ist vermutlich folgendes:
> In einer vollständigen Ordnung kann man aus
> [mm]x\not
> Bei einer Halbordnung darf man dies nicht. Im letzten
> Beispiel: Wenn A kein direkter Nachkomme von B ist,
> kann man daraus keineswegs schließen, dass dann B
> direkter Nachkomme von A sein muss.
Aber aus "A kein direkter Nachkomme von B" ([mm]x\not
LG Nadine
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> Hallo Al-Chwarizmi!
>
> Danke für dein gutes Beispiel!
>
>
>
> > ich finde zwar die Erklärung von Angela schon sehr gut.
> > Wir können ihr Beispiel noch einfacher machen, indem
> wir
> > nur
> > die Menge M={2,3,6} mit der so definierten Relation
> [mm]"\le"[/mm]
> > benützen:
> >
> > [mm]\ a\le b[/mm] genau dann, wenn a ein Teiler von b ist
> >
> > Diese Relation versieht die Menge M mit einer Halbordnung,
> > denn sie ist reflexiv, transitiv und antisymmetrisch.
> >
> > Die zugehörige irreflexive Relation "<" enthält nur die
> > 2 zutreffenden Paare 2<6 und 3<6 . Die Aussage 2<3 ist
> > aber falsch, weil ja 2 kein Teiler von 3 ist.
>
> 6 ist Teiler von 6 fällt hier weg, da das
> Gleichheitszeichen weggefallen ist?
Ja.
Wenn [mm] "\le" [/mm] die Relation "ist Teiler von" ist, so ist die dazu
gehörige irreflexive Relation "<" die Relation "ist echter Teiler von".
>
> > Die so etablierte Halbordnung hat ein größtes Element,
> > nämlich die 6 , denn es gilt ja [mm]2\le6[/mm] und [mm]3\le6[/mm] und
> [mm]6\le6[/mm]
> > .
> > Es ist also [mm]x\le6[/mm] für alle [mm]x\in{M}[/mm] .
> > Die Elemente 2 und 3 sind zwar (jedes für sich)
> minimal,
> > aber keines davon ist "kleinstes" Element der Menge M
> > bezüglich dieser Relation. 2 ist nicht kleinstes
> Element
> > von M, weil die Aussage "2<3" nicht zutrifft.
>
> Also a ist ja minimal wenn [mm]x \not< a[/mm], also wenn x kein
> Teiler von a ist für alle x, also wenn a keinen Teiler x
> hat für alle x. Die 2 und die 3 haben keinen Teiler, sind
> also minimal, richtig?
Die Zahlen 2 und 3 haben zwar Teiler, nämlich jeweils sich
selbst und die 1, aber keine echten Teiler, die auch zur
vorgegebenen Menge gehören.
> Und a ist kleinstes Element, wenn [mm]a \le x[/mm] für alle x, also
> wenn a Teiler von allen x ist, und weder 2, noch 3, noch 6
> sind Teiler aller Zahlen aus [mm]\{2,3,6\}[/mm], deshalb gibt es
> kein kleinstes Element, richtig so?
Ja.
> > Ein anderes Beispiel wäre etwa folgendes:
> > M sei eine Menge von Menschen (z.B. einer Großfamilie)
> > und wir definieren auf M die Relation "<" so:
> >
> > A<B genau dann, wenn A ein direkter Nachkomme von B
> > ist. Nun betrachte z.B. eine Menge aus 3 Geschwistern,
> > ihren beiden Eltern und allen 4 Grosseltern.
> > (dabei schließen wir so absonderliche Fälle aus, in
> > denen
> > z.B. ein Mann mit seiner eigenen Tochter Nachkommen
> > zeugt ...)
> > In dieser halbgeordneten Menge aus 9 Personen gibt
> > es 3 minimale und 4 maximale Elemente, aber weder
> > ein kleinstes noch ein größtes Element.
>
> Ja, wenn ich meine Argumentation von oben anpasse, dann
> komme ich da auch drauf :)
>
>
> > Dein Problem ist vermutlich folgendes:
> > In einer vollständigen Ordnung kann man aus
> > [mm]x\not
> > Bei einer Halbordnung darf man dies nicht. Im letzten
> > Beispiel: Wenn A kein direkter Nachkomme von B ist,
> > kann man daraus keineswegs schließen, dass dann B
> > direkter Nachkomme von A sein muss.
>
> Aber aus "A kein direkter Nachkomme von B" ([mm]x\not
> ich doch schließen, dass B kein direkter Elter von A ist,
> oder?
Ja - aber das wäre wieder was anderes.
Beachte übrigens noch, dass ich mit "direkter Nachkomme" eigentlich
das gemeint habe, was man üblicherweise als "Nachkomme in gerader
Linie" bezeichnet. Ich meinte also nicht nur die "ganz direkte" Relation
von einer Person zu ihrer Mutter oder ihrem Vater.
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> LG Nadine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:06 Mo 12.12.2011 | | Autor: | Pacapear |
Super!
Danke für deine Hilfe!
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