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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Di 14.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Hallo Leute,
habe ein Problem beim Zusammenhang zwischen Primideal und maximalem Ideal in den ganzen Zahlen.
Ich habe z.B. [mm] 9\IZ, [/mm] was ein Primideal von [mm] \IZ [/mm] ist.
Wenn ich nun wissen möchte, ob dies auch ein maximales Ideal ist, muss ich ja folegenden Definition nutzen:
Ein Ideal heißt maximal, falls [mm] I\not=R [/mm] und falls I [mm] \subset [/mm] J [mm] \subset [/mm] R => J=I oder J=R
Wie wende ich das bei [mm] 9\IZ [/mm] an? Ich habe ja:
[mm] 9\IZ \subset [/mm] J [mm] \subset [/mm] R
Hierraus folgt doch aber nicht, dass J=I ist, denn J kann auch gleich [mm] 18\IZ [/mm] sein oder [mm] 27\IZ [/mm] oder [mm] 3\IZ [/mm] genauso wie R. Das geht ja ansich mit jedem Ideal, da immer ein Vielfaches von dem Ideal gleich J bzw. R sein kann, wo ist da mein Denkfehler?
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> Hallo Leute,
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> habe ein Problem beim Zusammenhang zwischen Primideal und
> maximalem Ideal in den ganzen Zahlen.
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> Ich habe z.B. [mm]9\IZ,[/mm] was ein Primideal von [mm]\IZ[/mm] ist.
Da würde mich jetzt mal ganz stark interessieren wieso?
Also nein, [mm] $9\IZ$ [/mm] ist kein Primideal in [mm] $\IZ$.
[/mm]
> Wenn ich nun wissen möchte, ob dies auch ein maximales
> Ideal ist, muss ich ja folegenden Definition nutzen:
>
> Ein Ideal heißt maximal, falls [mm]I\not=R[/mm] und falls I [mm]\subset[/mm]
> J [mm]\subset[/mm] R => J=I oder J=R
>
> Wie wende ich das bei [mm]9\IZ[/mm] an? Ich habe ja:
>
> [mm]9\IZ \subset[/mm] J [mm]\subset[/mm] R
>
> Hierraus folgt doch aber nicht, dass J=I ist, denn J kann
> auch gleich [mm]18\IZ[/mm] sein oder [mm]27\IZ[/mm] oder [mm]3\IZ[/mm] genauso wie R.
Es gilt [mm] $9\IZ \subseteq 3\IZ$, [/mm] ja.
Damit hast du auch gleich gezeigt, dass [mm] $9\IZ$ [/mm] nicht maximal ist.
Allerdings gilt weder [mm] $9\IZ \subseteq 18\IZ$ [/mm] noch [mm] $9\IZ \subseteq 27\IZ$.
[/mm]
> Das geht ja ansich mit jedem Ideal, da immer ein Vielfaches
> von dem Ideal gleich J bzw. R sein kann, wo ist da mein
> Denkfehler?
Der Denkfehler liegt darin, dass in [mm] $\IZ$ [/mm] gilt:
[mm] $a\IZ \subseteq b\IZ \gdw [/mm] b [mm] \mid [/mm] a$. Du hast hier die Annahme $a [mm] \mid [/mm] b$, also genau falsch herum.
Überdies ist [mm] $\IZ$ [/mm] für solche Fragestellungen vielleicht nicht ganz so gut geeignet, denn es gibt in [mm] $\IZ$ [/mm] nur ein einziges Primideal, das nicht maximal ist.
Interessanter für Primideale, die nicht maximal sind, wäre vielleicht [mm] $\IZ[x]$.
[/mm]
Also guck dir nochmal genau die Definition von Primideal an, mach dir klar wieso [mm] $9\IZ$ [/mm] keines ist und überlege dir, wieso deine Teilmengenrelationen ein wenig falsch waren.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Di 14.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Danke erstmal für deine Antwort!
Da habe ich anscheinend etwas missverstanden, gut, dass ich nochmal gefragt habe, erstmal zu [mm] 9\IZ, [/mm] die Definition für Primideal lautet doch wenn ab [mm] \in [/mm] I ist, dann muss folgen a [mm] \in [/mm] I oder b [mm] \in [/mm] I. Wobei a und aus dem Ring sein müssen.
[mm] R=\IZ
[/mm]
[mm] I=9\IZ
[/mm]
Ich wähle a=2 und b=9, welches Elemente aus [mm] \IZ [/mm] sind.
2*9=18 [mm] \in 9\IZ
[/mm]
Somit ist doch [mm] b=9\in 9\IZ
[/mm]
Nach der Logik wäre aber jedes Ideal ein Primideal von [mm] \IZ [/mm] was auch etwas seltsam wäre, wo ist mein Denkfehler?
Das mit den Teilmengen raffe ich gerade nicht, jedes Element aus [mm] 9\IZ [/mm] ist doch auch in [mm] 18\IZ [/mm] vorhanden oder etwa nicht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:53 Di 14.08.2012 | | Autor: | teo |
> Danke erstmal für deine Antwort!
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> Da habe ich anscheinend etwas missverstanden, gut, dass ich
> nochmal gefragt habe, erstmal zu [mm]9\IZ,[/mm] die Definition für
> Primideal lautet doch wenn ab [mm]\in[/mm] I ist, dann muss folgen a
> [mm]\in[/mm] I oder b [mm]\in[/mm] I. Wobei a und aus dem Ring sein müssen.
>
> [mm]R=\IZ[/mm]
>
> [mm]I=9\IZ[/mm]
>
> Ich wähle a=2 und b=9, welches Elemente aus [mm]\IZ[/mm] sind.
>
> 2*9=18 [mm]\in 9\IZ[/mm]
Es muss für alle a,b [mm] \in [/mm] R gelten: ab [mm] \in [/mm] I [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \in [/mm] I oder b [mm] \in [/mm] I
Was ist mit 3*6 = 18?
> Somit ist doch [mm]b=9\in 9\IZ[/mm]
>
> Nach der Logik wäre aber jedes Ideal ein Primideal von [mm]\IZ[/mm]
> was auch etwas seltsam wäre, wo ist mein Denkfehler?
>
> Das mit den Teilmengen raffe ich gerade nicht, jedes
> Element aus [mm]9\IZ[/mm] ist doch auch in [mm]18\IZ[/mm] vorhanden oder etwa
> nicht?
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:09 Di 14.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Es muss also für alle gelten, ich verstehe, das stand so im Skript nicht eindeutig drin, hier z.B. auch nicht:
http://de.wikiversity.org/wiki/Kommutative_Ringtheorie/Primideal/Definition
Danke!
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> Das mit den Teilmengen raffe ich gerade nicht, jedes
> Element aus [mm]9\IZ[/mm] ist doch auch in [mm]18\IZ[/mm] vorhanden oder etwa
> nicht?
Nehmen wir mal die 9.
Es ist $9 [mm] \in 9\IZ$. [/mm] Aber ist $9 [mm] \in 18\IZ$?
[/mm]
Für prim:
Kennst du die Definition eines Primelements?
Also nicht die Primzahlen in [mm] $\IZ$ [/mm] sondern: "Sei $R$ ein kommutativer Ring. Ein Element $p [mm] \in [/mm] R$ heißt prim..."
Es besteht ein sehr enger Zusammenhang zwischen primen Elementen und primen Idealen.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Di 14.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Stimmt, 9 ist kein Element von [mm] 18\IZ, [/mm] ok.
[mm] 3\IZ [/mm] wäre doch aber ein Primideal oder? Heißt das dann wirklich, dass etwas nur ein Primideal ist, wenn es wirklich eine Primzahl ist?
[mm] 3\IZ [/mm] wäre doch sogar ein maximales Ideal laut Definition oder?
Die Definition kenne ich leider nicht.
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> Stimmt, 9 ist kein Element von [mm]18\IZ,[/mm] ok.
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> [mm]3\IZ[/mm] wäre doch aber ein Primideal oder? Heißt das dann
> wirklich, dass etwas nur ein Primideal ist, wenn es
> wirklich eine Primzahl ist?
Jain.
Ist $p$ eine Primzahl, so ist [mm] $p\IZ$ [/mm] ein Primideal.
Allerdings gilt die Umkehrung nicht. Als Beispiel ist auch [mm] $0\IZ [/mm] = [mm] \{0\}$ [/mm] ein Primideal.
> [mm]3\IZ[/mm] wäre doch sogar ein maximales Ideal laut Definition
> oder?
Jo, ist es.
> Die Definition kenne ich leider nicht.
Es würde dir vielleicht helfen folgenden Satz einzusehen oder zu beweisen:
Ist $R$ ein kommutativer Ring und $I$ ein Ideal in $R$ so gilt:
$I$ ist prim genau dann wenn $R/I$ ein Integritätsbereich ist.
$I$ ist maximal genau dann wenn $R/I$ ein Körper ist.
Wenn du Integritätsbereiche schon kennst und schon ein wenig was über Restklassenringe weißt dürfte das helfen.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Di 14.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Das ist in meinem Skript bereits bewiesen, konnte ich auch halbwegs nachvollziehen. Ich lass das jetzt mal soweit stehen, denke ich kann nun etwas damit anfangen, danke!
Noch ein letztes, ist [mm] -3\IZ [/mm] ebenfals ein maximales Primideal?
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> Das ist in meinem Skript bereits bewiesen, konnte ich auch
> halbwegs nachvollziehen. Ich lass das jetzt mal soweit
> stehen, denke ich kann nun etwas damit anfangen, danke!
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> Noch ein letztes, ist [mm]-3\IZ[/mm] ebenfals ein maximales
> Primideal?
Jo, denn [mm] $-3\IZ [/mm] = [mm] 3\IZ$ [/mm] da $3 [mm] \in -3\IZ$ [/mm] und $-3 [mm] \in 3\IZ$.
[/mm]
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:42 Di 14.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Ok, vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:43 Di 14.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Sorry, Frage ist geklärt, hab mich wieder verklickt.
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