Maximales Rechteck in Dreieck < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:59 Mo 18.12.2006 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie den maximalen Flächeninhalt des Rechteckes, das einem gleichschenkligen Dreieck einbeschrieben werden soll. Das gleichschenklige Dreieck hat die grundseite c=12 cm und die schenkel [mm] a_{1}=a_{2}=18 [/mm] cm. |
moin,
also zuerst habe ich mir das dreieck gezeichnet. dann ein rechteck hineingezeichnet.
die eine seite des rechtecks (im folgenden länge l) ist leicht zu berechnen:
l=12-2x
nun fehlt mir noch die breite b. und da weiß ich nicht weiter.
man könnte natürlich die höhe [mm] h_{c} [/mm] ausrechnen
[mm] h_{c}^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] - [mm] (\bruch{c}{2})^2 [/mm]
und ich kann auch ein rechtwinkliges dreieck bilden mit der seitenlänge
x, b [ = [mm] h_{x} [/mm] ] und [mm] a_{x} [/mm]
muss ich jetzt den strahlensatz anwenden? fehlt mir nicht immer noch eine information? oder gibt es eine einfachere lösung?
[mm] A_{Rechteck}=l*b [/mm]
[mm] \bruch{18}{a_{x}} [/mm] = [mm] \bruch{h_{c}}{b}
[/mm]
[mm] a_{x}^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + [mm] b^2
[/mm]
oder geht das jetzt so:
1. [mm] h_{c} [/mm] berechnen
[mm] h_{c}^2 [/mm] = [mm] 18^2 [/mm] - [mm] 6^2
[/mm]
[mm] h_{c}=12* \wurzel{2}
[/mm]
2. einsetzen in
[mm] a_{x}= \bruch{18*b}{h_{c}}
[/mm]
[mm] a_{x}= \bruch{18*b}{12* \wurzel{2} }
[/mm]
[mm] a_{x}= \bruch{3*b}{2* \wurzel{2} }
[/mm]
3. einsetzen in
[mm] a_{x}^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + [mm] b^2
[/mm]
[mm] x^2 [/mm] = [mm] a_{x}^2 [/mm] - [mm] b^2
[/mm]
[mm] x^2 [/mm] = [mm] \bruch{3*b}{2* \wurzel{2} }^2 -b^2
[/mm]
[mm] x^2 [/mm] = [mm] \bruch{9b^2}{8} [/mm] - [mm] \bruch{8b^2}{8}
[/mm]
[mm] 8x^2 [/mm] = [mm] b^2
[/mm]
[mm] b=2*\wurzel{2}*x
[/mm]
4. einsetzen in
[mm] A(x)=(12-2x)*(2*\wurzel{2}*x
[/mm]
[mm] A'(x)=-8*\wurzel{2}*x [/mm] + [mm] 24*\wurzel{2}
[/mm]
[mm] 0=-8*\wurzel{2}*x [/mm] + [mm] 24*\wurzel{2}
[/mm]
x=3
[mm] A''(3)=-8*\wurzel{2} [/mm] <0 => maximum
[mm] A=(12-2x)*(2*\wurzel{2}*x)
[/mm]
[mm] A_{max} [/mm] = (12-2*3)* (2* [mm] \wurzel{2}*3)
[/mm]
[mm] A_{max} [/mm] = 6* (6* [mm] \wurzel{2})
[/mm]
[mm] A_{max} [/mm] = 36* [mm] \wurzel{2}
[/mm]
(also die Hälfte der Dreiecksfläche)
richtig?
gruß
wolfgang
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:53 Mi 20.12.2006 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | | Nachfrage. Ist das eine Gesetzmäßigkeit, dass die maximale Rechtecksfläche, die einem gleichschenkligen Dreieck einbeschrieben werden kann, die Hälfte des Flächeninhalts des Dreiecks ist? |
Moin,
kann es sein, dass das eine Gesetzmäßigkeit ist? (s.o.)
gruß
wolfgang
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:29 Mi 20.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Rechnung für ein beliebiges gleichschenkliges Dreieck ist nicht so schwer, also kannst du nachrechnen ob es stimmt.
Dann ist es ne Gesetzmäßigkeit.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 Mi 20.12.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo.
Ich habe es mit Strahlensatz gemacht und komme auf's gleiche Ergebnis!
Naja, du könntest ja die Längen der Dreiecksseiten noch durch Konstanten ersetzen und schauen, ob man immer noch auf die halbe Dreiecksfläche kommt :)
Edit: Ich habe nachgerechnet und es ist in der Tat eine Gesetzmäßigkeit! Wer es nun trotzdem nochmal nachrecnen soll, möge es tun, aber die Gleichungen werden immer länger... ;) nicht schön.
Aber es läss sich vielleicht einfach merken, dass die Grundseite vom Rechteck (die auch auf der Grundseite vom Dreieck liegt) immer halb so lang ist wie die Grundseite (wenn der Flächeninhalt maximal werden soll).
Nun denn, gute Nacht.
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