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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:23 Mo 09.01.2012 | | Autor: | MattiJo |
| Aufgabe | Sei [mm] (X_1; [/mm] ... ; [mm] X_n) [/mm] eine einfache Zufallsstichprobe. Bestimmen Sie mit der Maximum–Likelihood Methode
Punktschätzer für den Parameter [mm] \Theta, [/mm] falls [mm] X_i, [/mm] i=1, .... n die Dichte f(x; [mm] \Theta) [/mm] = [mm] \bruch{\Theta}{x^2} 1_{[\Theta, \infty)}(x), \Theta [/mm] > 0 bzw. die Dichte [mm] f(x;\Theta) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\Theta_1} exp(\bruch{-(x-\Theta_2)}{\Theta_1}) 1_{[\Theta_2, \infty)}(x) [/mm] (wobei [mm] \Theta=(\Theta_1, \Theta_2) [/mm] mit [mm] \Theta_1 [/mm] > 0 und [mm] \Theta_2 \in \IR) [/mm] hat. |
Hallo,
wie komme ich bei obigen Dichten auf die (Log-)Likelihoodfunktion, damit ich die Maximum-Likelihood-Methode anwenden kann?
In den Hinweisen habe ich meine bisherigen Stand notiert, wo ich genau hänge.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:52 Mo 09.01.2012 | | Autor: | MattiJo |
mein Ansatz:
[mm] L(\Theta) [/mm] = [mm] f(x_1,\Theta) \cdot f(x_2,\Theta) \cdot [/mm] ... [mm] \cdot f(x_n,\Theta)
[/mm]
= [mm] \bruch{\Theta}{x_1} \cdot \bruch{\Theta}{x_2} \cdot [/mm] ... [mm] \cdot \bruch{\Theta}{x_n} [/mm]
= [mm] \bruch{\Theta^n}{\produkt_{i=1}^{n} x_i^2}
[/mm]
Wenn ich jetzt die Loglikelihoodfunktion bestimme, komme ich auf
ln L = ln [mm] (\bruch{\Theta^n}{\produkt_{i=1}^{n} x_i^2}) [/mm] = n [mm] ln(\Theta) [/mm] - [mm] \summe_{i=1}^{n}ln (x_i^2) [/mm] = n [mm] ln(\Theta) [/mm] - 2 [mm] \summe_{i=1}^{n}ln (x_i)
[/mm]
Nun bestimme ich das Extremum von [mm] \Theta:
[/mm]
[mm] \bruch{\partial ln L}{\partial \Theta} [/mm] = [mm] \bruch{n}{\Theta} [/mm] = 0
Soll ich dann [mm] \hat \Theta [/mm] als [mm] \infty [/mm] schätzen oder wie gehe ich vor?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:18 Mo 09.01.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
die (Log-)Likelihoodfunktion besitzt ein Randmaximum. Du kommst
folglich mit Differentiation nicht ans Ziel.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Mo 09.01.2012 | | Autor: | MattiJo |
Wie kann ich dann vorgehen, um einen Schätzer zu erhalten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Mo 09.01.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
vielleicht kannst du hier etwas Honig saugen...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Mo 09.01.2012 | | Autor: | MattiJo |
Vielen Dank für die Anregung!
Ist dann hier [mm] \hat \Theta [/mm] = [mm] max(X_1,...,X_n) [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Mo 09.01.2012 | | Autor: | luis52 |
> Vielen Dank für die Anregung!
> Ist dann hier [mm]\hat \Theta[/mm] = [mm]max(X_1,...,X_n)[/mm] ?
Nein, das Minimum.
Bei der zweiten Verteilung koennte es etwas trickreicher werden...
vg Luis
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