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| Aufgabe | | Von einer Schmetterlingsart gebe es drei Varianten 1, 2 und 3 in den genotypischen Proportionen [mm] p_1(\theta)=\theta^2, p_2(\theta)=2\theta(1-\theta) [/mm] und [mm] p_3(\theta)=(1-\theta)^2, 0\le \theta \le [/mm] 1. Unter n gefangenen Schmetterlingen dieser Art beobachten Sie [mm] n_i [/mm] Exemplare der Variante i. Bestimmen Sie einen Maximum-Likelihood Schätzer [mm] \hat\theta [/mm] für [mm] \theta. [/mm] (Vergessen Sie nicht, die Grenzfälle [mm] n_1=n [/mm] und [mm] n_3=n [/mm] zu betrachten.) |
Hallo Matheraum,
ich habe für die Aufgabe eine Lösung, weiß aber nicht, ob die richtig ist, weil ich nicht weiß, wie ich [mm] p_1, p_2 [/mm] und [mm] p_3 [/mm] miteinander kombinieren muss ...
Also mein Ansatz ist der folgende:
[mm] p_1\cdot p_2 \cdot p_3 [/mm] = [mm] 2\theta^3(1-\theta)^3
[/mm]
[mm] ln(2\theta^3(1-\theta)^3)'=3\bruch{1-2\theta}{\theta(1-\theta)}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Nullstelle liegt bei [mm] \hat\theta=0,5, [/mm] was auch ein Maximum ist.
Jetzt noch meine Frage, ob meine Methode richtig ist, weil ja [mm] p_1, p_2 [/mm] und [mm] p_3 [/mm] unterschiedliche Dichtefunktionen sind ... hätte ich die vielleicht zusammen addieren sollen??? Die Randbedinungen in der Aufgabe verstehe ich leider nicht. Vielleicht kann mir da einer von euch helfen.
Vielen Dank und liebe Grüße,
Alex
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:02 Mi 18.01.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
> Also mein Ansatz ist der folgende:
>
> [mm]p_1\cdot p_2 \cdot p_3[/mm] = [mm]2\theta^3(1-\theta)^3[/mm]
>
Ich vermute, dass das die Likelihoodfunktion sein soll. Das ist aber falsch, sie lautet vielmehr
[mm] $p_1(\theta) ^{n_1}p_2(\theta) ^{n_2}p_3(\theta) ^{n-n_1-n_2}$.
[/mm]
vg Luis
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Hallo Luis
> Ich vermute, dass das die Likelihoodfunktion sein soll. Das
> ist aber falsch, sie lautet vielmehr
>
> [mm]p_1(\theta) ^{n_1}p_2(\theta) ^{n_2}p_3(\theta) ^{n-n_1-n_2}[/mm].
>
Nun, vielen Dank für den Hinweis. Mein Problem im Verständnis ist jetzt noch, warum ausgerechnet das die Likelihood Funktion ist, da diese Funktion doch die Wahrscheinlichkeitsverteilung darstellt. Muss ich nicht für die Likelihood-Funktion die Funktionsdichte benutzen?
Mich verwirrt eigentlich generell die Tatsache, dass man im diskreten Fall die Wahrscheinlichkeiten [mm] P_\theta[X_1=x_1]\cdot...\cdot P_\theta[X_n=x_n] [/mm] multipliziert und im absolutstetigen Fall die Funktionsdichten [mm] f_\theta(x_1)\cdot...\cdot f_\theta(x_n) [/mm] ...
Beste Grüße,
Alex
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 So 22.01.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
> Hallo Luis
> Nun, vielen Dank für den Hinweis. Mein Problem im
> Verständnis ist jetzt noch, warum ausgerechnet das die
> Likelihood Funktion ist, da diese Funktion doch die
> Wahrscheinlichkeitsverteilung darstellt. Muss ich nicht
> für die Likelihood-Funktion die Funktionsdichte benutzen?
Die L-Funktion ist nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie ist
gerade in deinem Beispiel die *Wsk* dafuer, dass in $n_$ Versuchen
[mm] $n_j$-mal [/mm] die Variante $j_$ beobachtet wid. Dass die Stichprobe so ausfaellt, wie sie tatsaechlich ausgefallen ist, muss Gruende haben. Der Verursacher ist vermutlich [mm] $\theta$, [/mm] und es gilt [mm] $\theta$ [/mm] so zu bestimmen, dass die o.g. Wsk maximal ist.
>
> Mich verwirrt eigentlich generell die Tatsache, dass man im
> diskreten Fall die Wahrscheinlichkeiten
> [mm]P_\theta[X_1=x_1]\cdot...\cdot P_\theta[X_n=x_n][/mm]
> multipliziert und im absolutstetigen Fall die
> Funktionsdichten [mm]f_\theta(x_1)\cdot...\cdot f_\theta(x_n)[/mm]
Im diskreten Fall ist die Wsk dafuer, dass sich (bei Unabhaengigkeit) Werte [mm] $x_1,\dots,x_n$ [/mm] realisieren, gegeben durch [mm] $L(\theta)=P(X_1=x_1)\cdot\ldots\cdot P(X_n=x_n)$. [/mm] Dieser Ausdruck ergibt fuer stetige Verteilungen keinen Sinn, da er dann Null ist. Die Rolle von [mm] $P(X_i=x_i)$ [/mm] uebernimmt dann [mm] $f_\theta(x_i)$. [/mm] Ist [mm] $\theta$ [/mm] korrekt gewaehlt, so ist vermutlich auch [mm] $f_\theta(x_i)$ [/mm] gross, denn [mm] $x_i$ [/mm] stammt vermutlich aus einem Bereich der Verteilung, wo viel "Wahrscheinlichkeitsmasse" zu finden ist. [mm] $\theta$ [/mm] ist also zu waehlen, dass moeglichst viele Faktoren "gross" sind.
vg Luis
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> Die L-Funktion ist nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung.
> Sie ist
> gerade in deinem Beispiel die *Wsk* dafuer, dass in [mm]n_[/mm]
> Versuchen
> [mm]n_j[/mm]-mal die Variante [mm]j_[/mm] beobachtet wid. Dass die
> Stichprobe so ausfaellt, wie sie tatsaechlich ausgefallen
> ist, muss Gruende haben. Der Verursacher ist vermutlich
> [mm]\theta[/mm], und es gilt [mm]\theta[/mm] so zu bestimmen, dass die o.g.
> Wsk maximal ist.
Aha! Das macht natürlich Sinn!
> Im diskreten Fall ist die Wsk dafuer, dass sich (bei
> Unabhaengigkeit) Werte [mm]x_1,\dots,x_n[/mm] realisieren, gegeben
> durch [mm]L(\theta)=P(X_1=x_1)\cdot\ldots\cdot P(X_n=x_n)[/mm].
> Dieser Ausdruck ergibt fuer stetige Verteilungen keinen
> Sinn, da er dann Null ist. Die Rolle von [mm]P(X_i=x_i)[/mm]
> uebernimmt dann [mm]f_\theta(x_i)[/mm]. Ist [mm]\theta[/mm] korrekt gewaehlt,
> so ist vermutlich auch [mm]f_\theta(x_i)[/mm] gross, denn [mm]x_i[/mm] stammt
> vermutlich aus einem Bereich der Verteilung, wo viel
> "Wahrscheinlichkeitsmasse" zu finden ist. [mm]\theta[/mm] ist also
> zu waehlen, dass moeglichst viele Faktoren "gross" sind.
Bei mir ist irgendwie im Kopf fest verankert, dass für den stetigen Fall die Rolle der Wahrscheinlichkeit von der Funktion F(x) übernommen wird, welches das Integral der Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) ist.
Ist dein Beitrag jetzt so gemeint, dass F(x) keinen Sinn macht und man deswegen einen anderen Weg versucht, indem man [mm] \theta [/mm] über die Maximierung der Wahrscheinlichkeitsdichte bestimmt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:45 Mo 23.01.2012 | | Autor: | luis52 |
> Bei mir ist irgendwie im Kopf fest verankert, dass für den
> stetigen Fall die Rolle der Wahrscheinlichkeit von der
> Funktion F(x) übernommen wird, welches das Integral der
> Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) ist.
Das stimmt aber nicht. ML basiert auf den Dichten.
> Ist dein Beitrag jetzt so gemeint, dass F(x) keinen Sinn
> macht und man deswegen einen anderen Weg versucht, indem
> man [mm]\theta[/mm] über die Maximierung der
> Wahrscheinlichkeitsdichte bestimmt?
>
Das will ich nicht sagen, nur ist das dann ein anderes Verfahren...
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:42 Mi 25.01.2012 | | Autor: | Quadratur |
Alles klar, dann deke ich, dass ich das Verfahren weitestgehend verstanden habe. Vielen Dank dafür!
Beste Grüße,
Alex
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