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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:22 Sa 29.06.2013 | | Autor: | KongKing |
| Aufgabe | Hi!
$N$ Schüler gehen durch ein Labyrinth. Die Kinder tragen dabei die Nummern [mm] $1,\dots [/mm] ,N$. Beim Durchlaufen des Labyrinths trifft der Lehrer auf $n$ Kinder mit den Nummern [mm] $x_1,\dots ,x_n$.
[/mm]
Schätzen Sie $N$ mithilfe der Maximum-Likelihood-Methode unter der Annahme, dass die Treffen unabhängig und identisch verteilt sind. |
Gleichverteilt bedeutet ja, dass [mm] $x_i$ [/mm] mit der W-keit [mm] $f(x_i)=\frac{1}{N}$ [/mm] angetoffen wird.
Also [mm] $L(N)=\left(\frac{1}{N}\right)^n=\frac{1}{N^n}\right$
[/mm]
bzw. [mm] $L^\ast =\ln L(N)=\ln \frac{1}{N^n}=\ln [/mm] 1 [mm] -\ln N^n [/mm] = [mm] -n\ln [/mm] N$
Aber [mm] $\frac{\partial L^\ast}{\partial N}=-\frac{n}{N}=0 \iff [/mm] N=???$
Wo liegt mein Fehler?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:19 Sa 29.06.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin Kongking
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
>
> Wo liegt mein Fehler?
Indem du annimmst, dass die Likelihoodfunktion differenzierbar ist, was nicht zutrifft, da $N$ eine natuerliche Zahl ist.
Nimm an, er trifft die Kinder $2, 5, 3, 5$. Wie sieht dann die Likelihoodfunktion $L(N)$ aus?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Sa 29.06.2013 | | Autor: | KongKing |
Danke, dass du mir hilfst.
Also [mm] $X_1=2,\ X_2=5,\ X_3=3,\ X_4=5$
[/mm]
[mm] $L(2,5,3,5,N)=P_N[X_1=2,\ X_2=5,\ X_3=3,\ X_4=5]=\frac{1}{N^4}$
[/mm]
Das Supremum davon wäre dann für $N=1$? Das ist mit Sicherheit falsch.
Hat es was mit ungeordneter Ziehung mit Zurücklegen zu tun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 Sa 29.06.2013 | | Autor: | luis52 |
> Danke, dass du mir hilfst.
Gerne.
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> Also [mm]X_1=2,\ X_2=5,\ X_3=3,\ X_4=5[/mm]
>
> [mm]L(2,5,3,5,N)=P_N[X_1=2,\ X_2=5,\ X_3=3,\ X_4=5]=\frac{1}{N^4}[/mm]
>
>
> Das Supremum davon wäre dann für [mm]N=1[/mm]? Das ist mit
> Sicherheit falsch.
Ja. Aber das ist ein beliebter Fehler. Bedenke, dass z.B. $f(3)=0$, wenn $N=2$ ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Sa 29.06.2013 | | Autor: | KongKing |
Achso, du meinst damit, das der Lehrer insgesamt mehr Kinder (bzw. Nummern) antreffen kann, als es Kinder (Nummern) gibt, weil er mache mehrfach treffen kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:55 Sa 29.06.2013 | | Autor: | luis52 |
> Achso, du meinst damit, das der Lehrer insgesamt mehr
> Kinder (bzw. Nummern) antreffen kann, als es Kinder
> (Nummern) gibt, weil er mache mehrfach treffen kann?
Nein, damit hat das nichts zu tun.
"Unsere" Likelihoodfunktion ist
[mm] $L(N)=f(2)\cdot f(5)\cdot f(3)\cdot [/mm] f(5)$.
Was ist dann z.B. $L(2)$?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 Sa 29.06.2013 | | Autor: | KongKing |
$ L(2) [mm] =\frac{1}{2}\cdot [/mm] 0 [mm] \cdot [/mm] 0 [mm] \cdot [/mm] 0$, weils keine Kinder mit Nummern 3 und 5 gibt?
Ich hoffe ich habe jetzt endlich mal was richtig hinbekommen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 Sa 29.06.2013 | | Autor: | luis52 |
> [mm]L(2) =\frac{1}{2}\cdot 0 \cdot 0 \cdot 0[/mm], weils keine
> Kinder mit Nummern 3 und 5 gibt?
>
> Ich hoffe ich habe jetzt endlich mal was richtig
> hinbekommen...
Genau. Und fuer welche $N$ ist [mm] $L(N)\ne0$?
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 Sa 29.06.2013 | | Autor: | KongKing |
für [mm] $N\ge [/mm] 5, richtig?
Also allgemein: [mm] $L(N)=\begin{cases} \frac{1}{N^n}, & \mbox{für } N\ge max\{x_1,\dots , x_n\} \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}$
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 Sa 29.06.2013 | | Autor: | luis52 |
> für [mm]$N\ge[/mm] 5, richtig?
>
> Also allgemein: [mm]L(N)=\begin{cases} \frac{1}{N^n}, & \mbox{für } N\ge max\{x_1,\dots , x_n\} \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Und wo liegt das Maximum?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Sa 29.06.2013 | | Autor: | KongKing |
Cool 
Also ich würde sagen, bei 1, wenn eben [mm] $N\ge max\{x_1,\dots , x_n\} [/mm] $ und eigentlich überall, wenn dies nicht der Fall ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Sa 29.06.2013 | | Autor: | luis52 |
> Also ich würde sagen, bei 1, wenn eben [mm]N\ge max\{x_1,\dots , x_n\}[/mm]
> und eigentlich überall, wenn dies nicht der Fall ist.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Mit KongKingschen Formel erhalte *ich*
$ [mm] L(N)=\begin{cases} \frac{1}{N^n}, & \mbox{für } N\ge max\{x_1,\dots , x_n\} \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} [/mm] $
also
$ [mm] L(N)=\begin{cases} \frac{1}{N^4}, & \mbox{für } N\ge 5 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} [/mm] $.
Somit ist beispielsweise $L(1)=0$ und [mm] $L(4711)=1/4711^4$ [/mm] ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Sa 29.06.2013 | | Autor: | KongKing |
Ohje ohje danke.
Das heißt das Maximum bzw. Supremum von $L(N)$ erhalte ich für $N= [mm] max\{x_1,\dots , x_n\} [/mm] $?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Sa 29.06.2013 | | Autor: | luis52 |
> Ohje ohje danke.
>
> Das heißt das Maximum bzw. Supremum von [mm]L(N)[/mm] erhalte ich
> für [mm]N= max\{x_1,\dots , x_n\} [/mm]?
Jawoll!
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:46 Sa 29.06.2013 | | Autor: | KongKing |
Yuhu! Danke für alles!
Greets
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