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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Maximum-Norm
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Maximum-Norm: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:46 So 18.07.2010
Autor: richardducat

Aufgabe
Es sei die Norm gegeben:
[mm] \parallel x\parallel_\infty [/mm] = [mm] \parallel x_1,...,x_m\parallel_\infty [/mm] := [mm] max\{|x_1|,...,|x_m|\} [/mm]
Geben Sie die Kugel um (0,0) mit dem Radius 1 in [mm] (\IR^2,\parallel *\parallel_\infty) [/mm] an.

Hallo Matheforumler,

ich tu mich leider schwer die Kugel im [mm] \IR^2 [/mm] zu skizzieren.
Dabei ist doch die Menge [mm] max\{|x_i|\}=1 [/mm] zu zeichnen.
Aber wie kann ich mir diese Menge vorstellen?
Nehme ich z.B. einen Vektor, dann sind die [mm] x_i's [/mm] meine Komponenten?
Also würde mir dann [mm] max\{\vektor{1\\ 2}\} [/mm] in der Maximumsnorm die Norm 2 liefern?

Wenn ich mir beispielsweise die Norm [mm] \parallel x\parallel_1:=|x|+|y| [/mm] anschaue, dann ist Menge 1=|x|+|y| zu zeichnen und ich bekomme eine Raute. Das ist mir verständlicher.

Vielleicht kann mir jemand helfen?
Viele Grüße
Richard

        
Bezug
Maximum-Norm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:51 So 18.07.2010
Autor: Gonozal_IX

Huhu,

überleg dir, dass gilt:

[mm] $\max(x_1,\ldots,x_n) \le [/mm] c [mm] \gdw x_i \le [/mm] c, [mm] 1\le [/mm] i [mm] \le [/mm] n$

Damit sollte auch das Zeichnen recht einfach gehen :-)

MFG,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Maximum-Norm: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:05 So 18.07.2010
Autor: richardducat

hallo gono,

danke für die fixe antwort.

es ist  der formalismus der mir schwierigkeiten bereitet.
kannst du bitte mal versuchen das eben von dir gepostete
auszuformulieren?

[mm] $\max(x_1,\ldots,x_n) \le [/mm] c [mm] \gdw x_i \le [/mm] c, [mm] 1\le [/mm] i [mm] \le [/mm] n$
das heißt, die größte der Zahlen aus max(...) ist kleiner oder gleich einer
Konstanten c, und zwar genau dann, wenn irgendein [mm] x_i [/mm] aus max(...)
kleiner als c ist

da bin ich sprach- und ratlos.

gruß
richard

Bezug
                        
Bezug
Maximum-Norm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:28 So 18.07.2010
Autor: schachuzipus

Hallo Richard,

> hallo gono,
>  
> danke für die fixe antwort.
>  
> es ist  der formalismus der mir schwierigkeiten bereitet.
> kannst du bitte mal versuchen das eben von dir gepostete
>  auszuformulieren?
>  
> [mm]\max(x_1,\ldots,x_n) \le c \gdw x_i \le c, 1\le i \le n[/mm]
>  
> das heißt, die größte der Zahlen aus max(...) ist
> kleiner oder gleich einer
> Konstanten c, und zwar genau dann, wenn irgendein [mm]x_i[/mm] aus
> max(...)
> kleiner als c ist
>  
> da bin ich sprach- und ratlos.

Na, wenn du n Zahlen [mm] $x_1,...x_n$ [/mm] hast und das Maximum aus allen ist $c$, dann kann doch keine der n Zahlen [mm] $x_1,...x_n>c$ [/mm] sein.

Sonst wäre c kein Maximum.

Also sind alle Zahlen [mm] $x_1,...,x_n\le [/mm] c$

Das ist also [mm] $\Rightarrow$ [/mm]

Für die andere Richtung nimm an, dass alle n Zahlen [mm] $x_1,...,x_n\le [/mm] c$ seien.

Dann könnte c schon das Maximum sein oder aber auch eine größere Zahl.

Nehmen wir als Bsp. die Menge [mm] $\{1,2\}$; [/mm] beide Zahlen sind [mm] $\le [/mm] 5=:c$, klar, aber [mm] $\max\{1,2\}=2\le [/mm] 5$

Also [mm] $\max\{x_1,...,x_n\}\le [/mm] c$


Für deine Aufgabe benötigst du aber nur [mm] $\Rightarrow$ [/mm]

Du sollst die Menge aller [mm] $(x,y)\in\IR^2$ [/mm] zeichnen mit [mm] $||(x,y)||_{\infty}=1$ [/mm]

also [mm] $\max\{|x|,|y|\}=1$ [/mm]

Dh. beide der Zahlen $|x|$ und $|y|$ müssen [mm] $\le [/mm] 1$ sein. Keine kann größer sein.

Untersuchen wir die möglichen Fälle:

1) [mm] $\max\{|x|,|y|\}=|x|=1$ [/mm]

Dann ist also $|x|=1$ und $|y|$ liegt zwischen 0 und 1.

Kannst du hier die Beträge mal aufdröseln und das weiter untersuchen?

2) [mm] $\max\{|x|,|y|\}=|y|=1$ [/mm]

Dann ist umgekehrt $|y|=1$ und [mm] $0\le|x|\le [/mm] 1$

Auch hier drösel die Beträge auf ...


>
> gruß
>  richard  

LG

schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
Maximum-Norm: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:48 So 18.07.2010
Autor: richardducat

das hat mir jetzt weitergeholfen.

vielen Dank!

richard

Bezug
                                
Bezug
Maximum-Norm: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:10 So 18.07.2010
Autor: richardducat

hallo schachuzipus,

z.B. für |x|=1
1) x>0: x=1
2) x<0: x=-1 ?

dann gibt es also die Geraden [mm] x\pm1 [/mm] und [mm] y\pm1 [/mm] die ein Quadrat mit kantenlänge 2 begrenzen



Bezug
                                        
Bezug
Maximum-Norm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:12 So 18.07.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> hallo schachuzipus,
>  
> z.B. für |x|=1
>  1) x>0: x=1 [ok]
>  2) x<0: x=-1 [ok] ?
>  
> dann gibt es also die Geraden [mm]x\pm1[/mm] und [mm]y\pm1[/mm] die ein
> Quadrat mit kantenlänge 2 begrenzen [ok]

So ist es!

Gruß

schachuzipus





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