Maximum Folgen Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:34 Mi 19.11.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | [mm] (a_n), (b_n) [/mm] seien konvergente Folgen mit Grenzwert a bzw. b. Zeige [mm] c_n =max(a_n,b_n) [/mm] konvergiert und
[mm] lim_{n->\infty} max(a_n,b_n)=max(a,b) [/mm] |
Hallo,
Ich hab das so gemacht:
lim [mm] max(a_n,b_n) [/mm] = lim [mm] \frac{a_n+b_n+|a_n-b_n|}{2}=\frac{a+b+lim|a_n-b_n|}{2}=\frac{a+b+|a-b|}{2}= [/mm] max(a,b)
[mm] lim_{n->\infty} |a_n-b_n|= |lim{n->\infty} (a_n -b_n)| [/mm] da der Grenzwert von [mm] a_n-b_n [/mm] existiert.
1) Nun ist meine Frage, wie und ob man mit der [mm] \epsilon-\delta-Definiton [/mm] dasselbe ausrechnen kann(ohne die leichte Formel für das Max zu verwenden):
[mm] \forall \epsilon_1>0 \exists N_1: \forall [/mm] n [mm] \ge N_1: |a_n [/mm] -a| < [mm] \epsilon_1
[/mm]
[mm] \forall \epsilon_2>0 \exists N_2: \forall [/mm] n [mm] \ge N_2: |b_n [/mm] -b| < [mm] \epsilon_2
[/mm]
Ich weiß, dass die Änderung von endlich vielen Folgenglieder keinen Einfluß auf die Konvergenz von der Folge hat.
2) Meine zweite Frage, ist ob auch die umkehrung des Satzes gilt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:50 Mi 19.11.2014 | | Autor: | hippias |
> [mm](a_n), (b_n)[/mm] seien konvergente Folgen mit Grenzwert a bzw.
> b. Zeige [mm]c_n =max(a_n,b_n)[/mm] konvergiert und
> [mm]lim_{n->\infty} max(a_n,b_n)=max(a,b)[/mm]
> Hallo,
> Ich hab das so gemacht:
> lim [mm]max(a_n,b_n)[/mm] = lim
> [mm]\frac{a_n+b_n+|a_n-b_n|}{2}=\frac{a+b+lim|a_n-b_n|}{2}=\frac{a+b+|a-b|}{2}=[/mm]
> max(a,b)
> [mm]lim_{n->\infty} |a_n-b_n|= |lim{n->\infty} (a_n -b_n)|[/mm] da
> der Grenzwert von [mm]a_n-b_n[/mm] existiert.
>
> 1) Nun ist meine Frage, wie und ob man mit der
> [mm]\epsilon-\delta-Definiton[/mm] dasselbe ausrechnen kann(ohne die
> leichte Formel für das Max zu verwenden):
> [mm]\forall \epsilon_1>0 \exists N_1: \forall[/mm] n [mm]\ge N_1: |a_n[/mm]
> -a| < [mm]\epsilon_1[/mm]
> [mm]\forall \epsilon_2>0 \exists N_2: \forall[/mm] n [mm]\ge N_2: |b_n[/mm]
> -b| < [mm]\epsilon_2[/mm]
> Ich weiß, dass die Änderung von endlich vielen
> Folgenglieder keinen Einfluß auf die Konvergenz von der
> Folge hat.
Fuehre dazu eine Fallunterscheidung zu machen: 1. $a<b$ und 2. $a=b$. Diese beiden Faelle lassen sich sehr gut mittels [mm] $\varepsilon-\delta>$ [/mm] behandeln.
>
> 2) Meine zweite Frage, ist ob auch die umkehrung des Satzes
> gilt.
Nein. Gegenbeispiel: [mm] $a_{n}= (-1)^{n}$ [/mm] und $b_ {n}= [mm] (-1)^{n+1}$. [/mm]
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:19 Mi 19.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> [mm](a_n), (b_n)[/mm] seien konvergente Folgen mit Grenzwert a bzw.
> b. Zeige [mm]c_n =max(a_n,b_n)[/mm] konvergiert und
> [mm]lim_{n->\infty} max(a_n,b_n)=max(a,b)[/mm]
> Hallo,
> Ich hab das so gemacht:
> lim [mm]max(a_n,b_n)[/mm] = lim
> [mm]\frac{a_n+b_n+|a_n-b_n|}{2}=\frac{a+b+lim|a_n-b_n|}{2}=\frac{a+b+|a-b|}{2}=[/mm]
> max(a,b)
> [mm]lim_{n->\infty} |a_n-b_n|= |lim{n->\infty} (a_n -b_n)|[/mm] da
> der Grenzwert von [mm]a_n-b_n[/mm] existiert.
>
> 1) Nun ist meine Frage, wie und ob man mit der
> [mm]\epsilon-\delta-Definiton[/mm] dasselbe ausrechnen kann(ohne die
> leichte Formel für das Max zu verwenden):
hippias hat es ja schon angedeutet: Du kannst Dich o.E. auf die Untersuchung
der Fälle [mm] $a=b\,$ [/mm] und $a < [mm] b\,$ [/mm] beschränken:
Im Falle [mm] $a=b\,$ [/mm] ist das Ganze eigentlich nur ein wenig Schreibarbeit: Ich
deute mal an, dass Du dabei nur das "Maximum der einzelnen [mm] $N_\epsilon$" [/mm] wählen musst.
Im Falle $a < [mm] b\,$ [/mm] betrachte mal [mm] $\epsilon:=(b-a)/2\;>0\,.$ [/mm] Die [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] von
[mm] $a\,$ [/mm] hat mit der [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] von [mm] $b\,$ [/mm] dann einen leeren Schnitt. Was
bedeutet dass "für alle genügend große [mm] $n\,$", [/mm] wenn man für diese dann
[mm] $a_n$ [/mm] und [mm] $b_n$ [/mm] vergleicht?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Mi 19.11.2014 | | Autor: | sissile |
$ [mm] \forall \epsilon_1>0 \exists N_1: \forall [/mm] $ n $ [mm] \ge N_1: |a_n [/mm] $ -a| < $ [mm] \epsilon_1 [/mm] $
$ [mm] \forall \epsilon_2>0 \exists N_2: \forall [/mm] $ n $ [mm] \ge N_2: |b_n [/mm] $ -b| < $ [mm] \epsilon_2 [/mm] $
Ich weiß nicht, ob man das im Fall 1) a=b so anschreiben darf:
Wähle [mm] \epsilon_1=\epsilon_2
[/mm]
[mm] |max(a_n,b_n)-a| =\begin{cases} |a_n-a|<\epsilon_1, & \mbox{für } n \ge N_1 \wedge max(a_n,b_n)=a_n \\ |b_n-a|<\epsilon_1, & \mbox{für } n\ge N_2 \wedge max(a_n,b_n)=b_n\end{cases}
[/mm]
Wähle [mm] N_3:= max(N_1, N_2), [/mm] dann ist [mm] |max(a_n,b_n)-a| [/mm] < [mm] \epsilon_1 [/mm] für alle [mm] n\ge N_3
[/mm]
Fall 2)a<b
=> max(a,b)=b
Wähle [mm] \epsilon:=\frac{b-a}{2}>0
[/mm]
[mm] =>\exists n_1: \forall [/mm] n [mm] \ge n_1:a-\frac{b-a}{2}
=> [mm] \exists n_2: \forall [/mm] n [mm] \ge n_2:b-\frac{b-a}{2}
d.h. [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge max(n_1, n_2): a_n [/mm] < [mm] \frac{a+b}{2} =\frac{b+a}{2} [/mm] < [mm] b_n
[/mm]
Wähle nun [mm] N_3:=max(n_1, n_2)
[/mm]
d.h. [mm] |max(a_n, b_n) -b|=|max(a_n, b_n) [/mm] +(-b)| [mm] \le |max(a_n,b_n)|+|-b| \le |b_n| [/mm] + |b|
Hier steck ich, hab ich da was falsch gemacht?
LG,
sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 Mi 19.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\forall \epsilon_1>0 \exists N_1: \forall[/mm] n [mm]\ge N_1: |a_n[/mm]
> -a| < [mm]\epsilon_1[/mm]
> [mm]\forall \epsilon_2>0 \exists N_2: \forall[/mm] n [mm]\ge N_2: |b_n[/mm]
> -b| < [mm]\epsilon_2[/mm]
>
>
> Ich weiß nicht, ob man das im Fall 1) a=b so anschreiben
> darf:
> Wähle [mm]\epsilon_1=\epsilon_2[/mm]
> [mm]|max(a_n,b_n)-a| =\begin{cases} |a_n-a|<\epsilon_1, & \mbox{für } n \ge N_1 \wedge max(a_n,b_n)=a_n \\ |b_n-a|<\epsilon_1, & \mbox{für } n\ge N_2 \wedge max(a_n,b_n)=b_n\end{cases}[/mm]
>
> Wähle [mm]N_3:= max(N_1, N_2),[/mm] dann ist [mm]|max(a_n,b_n)-a|[/mm] <
> [mm]\epsilon_1[/mm] für alle [mm]n\ge N_3[/mm]
Die Idee ist schon richtig....
Sei [mm] \epsilon [/mm] >0. Es ex. [mm] N_1,N_2 \in \IN [/mm] mit
(1) [mm] |a_n-a|< \epsilon [/mm] für n [mm] \ge N_1
[/mm]
und
(2) [mm] |b_n-b| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] für n [mm] \ge N_2.
[/mm]
Sei [mm] N_3 [/mm] :=max [mm] \{N_1,N_2\} [/mm] und [mm] c_n:==max \{a_n,b_n\}
[/mm]
Für n [mm] \ge N_3 [/mm] haben wir 2 Fälle:
1. [mm] c_n =a_n. [/mm] Dann ist [mm] |c_n-a|=|a_n-a| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] nach (1)
2. [mm] c_n=b_n. [/mm] Dann ist [mm] |c_n-a|=|b_n-a| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] nach (2)
Fazit:
[mm] |c_n-a|= [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] für alle n [mm] \ge N_3.
[/mm]
>
> Fall 2)a<b
> => max(a,b)=b
> Wähle [mm]\epsilon:=\frac{b-a}{2}>0[/mm]
Das geht schon mal in die Hose ! [mm] \epsilon [/mm] darfst Du nicht festnageln.
Wenn a<b ist, dann gibt es doch ein N [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] a_n \le b_n [/mm] für n [mm] \ge [/mm] N.
Mit [mm] c_n:=max \{a_n,b_n\} [/mm] folgt dann: [mm] c_n =b_n [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N.
Somit: [mm] c_n \to [/mm] b = max [mm] \{a,b\}.
[/mm]
FRED
> [mm]=>\exists n_1: \forall[/mm] n [mm]\ge n_1:a-\frac{b-a}{2}
>
> => [mm]\exists n_2: \forall[/mm] n [mm]\ge n_2:b-\frac{b-a}{2}
>
> d.h. [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge max(n_1, n_2): a_n[/mm] < [mm]\frac{a+b}{2} =\frac{b+a}{2}[/mm]
> < [mm]b_n[/mm]
>
> Wähle nun [mm]N_3:=max(n_1, n_2)[/mm]
> d.h. [mm]|max(a_n, b_n) -b|=|max(a_n, b_n)[/mm]
> +(-b)| [mm]\le |max(a_n,b_n)|+|-b| \le |b_n|[/mm] + |b|
> Hier steck ich, hab ich da was falsch gemacht?
>
> LG,
> sissi
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Mi 19.11.2014 | | Autor: | sissile |
Danke für deine Antwort!Der Fall a=b ist dann für mich erledigt.
> Wenn a<b ist, dann gibt es doch ein N $ [mm] \in \IN [/mm] $ mit $ [mm] a_n \le b_n [/mm] $ für n $ [mm] \ge [/mm] $ N.
Genau, dass hab ich doch in meinen Beitrag gezeigt.
Ich hab das undeutlich hingeschrieben, aber ich darf doch das [mm] \epsilon_1,\epsilon_2 [/mm] festnageln für die Konvergenz von [mm] (a_n) \rightarrow [/mm] a und [mm] (b_n) \rightarrow [/mm] b.
Und [mm] \epsilon_1 =\epsilon_2 =\frac{b-a}{2} [/mm] setze ich fest.
Daraus hab ich dann gefolgert, dass gilt [mm] a_n \le b_n [/mm] für [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge max(n_1, n_2).
[/mm]
Verstehst du jetzt was ich gemacht habe?
LG,
sissi
LG,
sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Mi 19.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Danke für deine Antwort!Der Fall a=b ist dann für mich
> erledigt.
>
> > Wenn a<b ist, dann gibt es doch ein N [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]a_n \le b_n[/mm]
> für n [mm]\ge[/mm] N.
> Genau, dass hab ich doch in meinen Beitrag gezeigt.
ich muss mir das auch nochmal angucken, wie Du das hingeschrieben hast.
Aber ja: Darauf wollte ich hinaus!
> Ich hab das undeutlich hingeschrieben, aber ich darf doch
> das [mm]\epsilon_1,\epsilon_2[/mm] festnageln für die Konvergenz
> von [mm](a_n) \rightarrow[/mm] a und [mm](b_n) \rightarrow[/mm] b.
Du darfst es nicht FÜR die Konvergenz festnageln, sondern WEGEN der
Konvergenz - das Festnageln hat den Zweck, einzusehen, dass für alle
bis auf endlich viele [mm] $n\,$ [/mm] hier [mm] $a_n \le b_n$ [/mm] gelten muss.
> Und [mm]\epsilon_1 =\epsilon_2 =\frac{b-a}{2}[/mm] setze ich fest.
> Daraus hab ich dann gefolgert, dass gilt [mm]a_n \le b_n[/mm] für
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge max(n_1, n_2).[/mm]
Genau: Das war der Zweck meines Vorschlages!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:39 Mi 19.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > [mm]\forall \epsilon_1>0 \exists N_1: \forall[/mm] n [mm]\ge N_1: |a_n[/mm]
> > -a| < [mm]\epsilon_1[/mm]
> > [mm]\forall \epsilon_2>0 \exists N_2: \forall[/mm] n [mm]\ge N_2: |b_n[/mm]
> > -b| < [mm]\epsilon_2[/mm]
> >
> >
> > Ich weiß nicht, ob man das im Fall 1) a=b so anschreiben
> > darf:
> > Wähle [mm]\epsilon_1=\epsilon_2[/mm]
> > [mm]|max(a_n,b_n)-a| =\begin{cases} |a_n-a|<\epsilon_1, & \mbox{für } n \ge N_1 \wedge max(a_n,b_n)=a_n \\ |b_n-a|<\epsilon_1, & \mbox{für } n\ge N_2 \wedge max(a_n,b_n)=b_n\end{cases}[/mm]
>
> >
> > Wähle [mm]N_3:= max(N_1, N_2),[/mm] dann ist [mm]|max(a_n,b_n)-a|[/mm] <
> > [mm]\epsilon_1[/mm] für alle [mm]n\ge N_3[/mm]
>
> Die Idee ist schon richtig....
>
> Sei [mm]\epsilon[/mm] >0. Es ex. [mm]N_1,N_2 \in \IN[/mm] mit
>
> (1) [mm]|a_n-a|< \epsilon[/mm] für n [mm]\ge N_1[/mm]
>
> und
>
> (2) [mm]|b_n-b|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm] für n [mm]\ge N_2.[/mm]
>
> Sei [mm]N_3[/mm] :=max [mm]\{N_1,N_2\}[/mm] und [mm]c_n:==max \{a_n,b_n\}[/mm]
>
> Für n [mm]\ge N_3[/mm] haben wir 2 Fälle:
>
> 1. [mm]c_n =a_n.[/mm] Dann ist [mm]|c_n-a|=|a_n-a|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm] nach (1)
>
> 2. [mm]c_n=b_n.[/mm] Dann ist [mm]|c_n-a|=|b_n-a|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm] nach (2)
>
> Fazit:
>
> [mm]|c_n-a|=[/mm] < [mm]\epsilon[/mm] für alle n [mm]\ge N_3.[/mm]
>
>
> >
> > Fall 2)a<b
> > => max(a,b)=b
> > Wähle [mm]\epsilon:=\frac{b-a}{2}>0[/mm]
>
> Das geht schon mal in die Hose ! [mm]\epsilon[/mm] darfst Du nicht
> festnageln.
warum nicht? Ich hatte das vorgeschlagen, damit man insbesondere
beweisen kann:
>
> Wenn a<b ist, dann gibt es doch ein N [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]a_n \le b_n[/mm]
> für n [mm]\ge[/mm] N.
Denn: Sei [mm] $\epsilon:=(b-a)/2 [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Dann:
[mm] $\exists N_1=N_1(\epsilon):$ $\forall [/mm] n [mm] \ge N_1$ $a_n \in U_{\epsilon}(a)\,,$
[/mm]
[mm] $\exists N_2=N_2(\epsilon):$ $\forall [/mm] n [mm] \ge N_2$ $b_n \in U_{\epsilon}(b)\,.$
[/mm]
Für alle $n [mm] \ge N_3:=\max\{N_1,\;N_2\}$
[/mm]
[mm] $a_n \in U_\epsilon(a)$ [/mm] und [mm] $a_n \notin U_{\epsilon}(b)$
[/mm]
sowie
[mm] $b_n \in U_\epsilon(b)$ [/mm] und [mm] $b_n \notin U_{\epsilon}(a)\,,$
[/mm]
daraus erkennt man dann sogar
[mm] $a_n [/mm] < [mm] b_n$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N_3\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:01 Mi 19.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > > [mm]\forall \epsilon_1>0 \exists N_1: \forall[/mm] n [mm]\ge N_1: |a_n[/mm]
> > > -a| < [mm]\epsilon_1[/mm]
> > > [mm]\forall \epsilon_2>0 \exists N_2: \forall[/mm] n [mm]\ge N_2: |b_n[/mm]
> > > -b| < [mm]\epsilon_2[/mm]
> > >
> > >
> > > Ich weiß nicht, ob man das im Fall 1) a=b so anschreiben
> > > darf:
> > > Wähle [mm]\epsilon_1=\epsilon_2[/mm]
> > > [mm]|max(a_n,b_n)-a| =\begin{cases} |a_n-a|<\epsilon_1, & \mbox{für } n \ge N_1 \wedge max(a_n,b_n)=a_n \\ |b_n-a|<\epsilon_1, & \mbox{für } n\ge N_2 \wedge max(a_n,b_n)=b_n\end{cases}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Wähle [mm]N_3:= max(N_1, N_2),[/mm] dann ist [mm]|max(a_n,b_n)-a|[/mm] <
> > > [mm]\epsilon_1[/mm] für alle [mm]n\ge N_3[/mm]
> >
> > Die Idee ist schon richtig....
> >
> > Sei [mm]\epsilon[/mm] >0. Es ex. [mm]N_1,N_2 \in \IN[/mm] mit
> >
> > (1) [mm]|a_n-a|< \epsilon[/mm] für n [mm]\ge N_1[/mm]
> >
> > und
> >
> > (2) [mm]|b_n-b|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm] für n [mm]\ge N_2.[/mm]
> >
> > Sei [mm]N_3[/mm] :=max [mm]\{N_1,N_2\}[/mm] und [mm]c_n:==max \{a_n,b_n\}[/mm]
> >
> > Für n [mm]\ge N_3[/mm] haben wir 2 Fälle:
> >
> > 1. [mm]c_n =a_n.[/mm] Dann ist [mm]|c_n-a|=|a_n-a|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm] nach (1)
> >
> > 2. [mm]c_n=b_n.[/mm] Dann ist [mm]|c_n-a|=|b_n-a|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm] nach (2)
> >
> > Fazit:
> >
> > [mm]|c_n-a|=[/mm] < [mm]\epsilon[/mm] für alle n [mm]\ge N_3.[/mm]
> >
> >
> > >
> > > Fall 2)a<b
> > > => max(a,b)=b
> > > Wähle [mm]\epsilon:=\frac{b-a}{2}>0[/mm]
> >
> > Das geht schon mal in die Hose ! [mm]\epsilon[/mm] darfst Du nicht
> > festnageln.
Hallo Marcel,
>
> warum nicht? Ich hatte das vorgeschlagen, damit man
> insbesondere
> beweisen kann:
Du hast recht. Ich war etwas voreilig.
>
> >
> > Wenn a<b ist, dann gibt es doch ein N [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]a_n \le b_n[/mm]
> > für n [mm]\ge[/mm] N.
>
> Denn: Sei [mm]\epsilon:=(b-a)/2 > 0\,.[/mm] Dann:
>
> [mm]\exists N_1=N_1(\epsilon):[/mm] [mm]\forall n \ge N_1[/mm] [mm]a_n \in U_{\epsilon}(a)\,,[/mm]
>
> [mm]\exists N_2=N_2(\epsilon):[/mm] [mm]\forall n \ge N_2[/mm] [mm]b_n \in U_{\epsilon}(b)\,.[/mm]
>
> Für alle [mm]n \ge N_3:=\max\{N_1,\;N_2\}[/mm]
>
> [mm]a_n \in U_\epsilon(a)[/mm] und [mm]a_n \notin U_{\epsilon}(b)[/mm]
>
> sowie
>
> [mm]b_n \in U_\epsilon(b)[/mm] und [mm]b_n \notin U_{\epsilon}(a)\,,[/mm]
>
> daraus erkennt man dann sogar
>
> [mm]a_n < b_n[/mm] für alle [mm]n \ge N_3\,.[/mm]
Das geht doch einfacher: sei a<b. Annahme: [mm] a_n \ge b_n [/mm] für unendlich viele n.
Dann gibt es eine Teilfolge [mm] (n_k) [/mm] von (n) mit
[mm] a_{n_k} \ge b_{n_k} [/mm] für alle k.
Mit k [mm] \to \infty [/mm] folgt a [mm] \ge [/mm] b, Widerspruch.
Gruß FRED
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:07 Mi 19.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > Hallo Fred,
> >
> > > > [mm]\forall \epsilon_1>0 \exists N_1: \forall[/mm] n [mm]\ge N_1: |a_n[/mm]
> > > > -a| < [mm]\epsilon_1[/mm]
> > > > [mm]\forall \epsilon_2>0 \exists N_2: \forall[/mm] n [mm]\ge N_2: |b_n[/mm]
> > > > -b| < [mm]\epsilon_2[/mm]
> > > >
> > > >
> > > > Ich weiß nicht, ob man das im Fall 1) a=b so anschreiben
> > > > darf:
> > > > Wähle [mm]\epsilon_1=\epsilon_2[/mm]
> > > > [mm]|max(a_n,b_n)-a| =\begin{cases} |a_n-a|<\epsilon_1, & \mbox{für } n \ge N_1 \wedge max(a_n,b_n)=a_n \\ |b_n-a|<\epsilon_1, & \mbox{für } n\ge N_2 \wedge max(a_n,b_n)=b_n\end{cases}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Wähle [mm]N_3:= max(N_1, N_2),[/mm] dann ist [mm]|max(a_n,b_n)-a|[/mm] <
> > > > [mm]\epsilon_1[/mm] für alle [mm]n\ge N_3[/mm]
> > >
> > > Die Idee ist schon richtig....
> > >
> > > Sei [mm]\epsilon[/mm] >0. Es ex. [mm]N_1,N_2 \in \IN[/mm] mit
> > >
> > > (1) [mm]|a_n-a|< \epsilon[/mm] für n [mm]\ge N_1[/mm]
> > >
> > > und
> > >
> > > (2) [mm]|b_n-b|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm] für n [mm]\ge N_2.[/mm]
> > >
> > > Sei [mm]N_3[/mm] :=max [mm]\{N_1,N_2\}[/mm] und [mm]c_n:==max \{a_n,b_n\}[/mm]
> >
> >
> > > Für n [mm]\ge N_3[/mm] haben wir 2 Fälle:
> > >
> > > 1. [mm]c_n =a_n.[/mm] Dann ist [mm]|c_n-a|=|a_n-a|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm] nach (1)
> > >
> > > 2. [mm]c_n=b_n.[/mm] Dann ist [mm]|c_n-a|=|b_n-a|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm] nach (2)
> > >
> > > Fazit:
> > >
> > > [mm]|c_n-a|=[/mm] < [mm]\epsilon[/mm] für alle n [mm]\ge N_3.[/mm]
> > >
> > >
> > > >
> > > > Fall 2)a<b
> > > > => max(a,b)=b
> > > > Wähle [mm]\epsilon:=\frac{b-a}{2}>0[/mm]
> > >
> > > Das geht schon mal in die Hose ! [mm]\epsilon[/mm] darfst Du nicht
> > > festnageln.
>
> Hallo Marcel,
>
>
> >
> > warum nicht? Ich hatte das vorgeschlagen, damit man
> > insbesondere
> > beweisen kann:
>
> Du hast recht. Ich war etwas voreilig.
>
>
> >
> > >
> > > Wenn a<b ist, dann gibt es doch ein N [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]a_n \le b_n[/mm]
> > > für n [mm]\ge[/mm] N.
> >
> > Denn: Sei [mm]\epsilon:=(b-a)/2 > 0\,.[/mm] Dann:
> >
> > [mm]\exists N_1=N_1(\epsilon):[/mm] [mm]\forall n \ge N_1[/mm] [mm]a_n \in U_{\epsilon}(a)\,,[/mm]
>
> >
> > [mm]\exists N_2=N_2(\epsilon):[/mm] [mm]\forall n \ge N_2[/mm] [mm]b_n \in U_{\epsilon}(b)\,.[/mm]
>
> >
> > Für alle [mm]n \ge N_3:=\max\{N_1,\;N_2\}[/mm]
> >
> > [mm]a_n \in U_\epsilon(a)[/mm] und [mm]a_n \notin U_{\epsilon}(b)[/mm]
> >
> > sowie
> >
> > [mm]b_n \in U_\epsilon(b)[/mm] und [mm]b_n \notin U_{\epsilon}(a)\,,[/mm]
>
> >
> > daraus erkennt man dann sogar
> >
> > [mm]a_n < b_n[/mm] für alle [mm]n \ge N_3\,.[/mm]
>
> Das geht doch einfacher: sei a<b. Annahme: [mm]a_n \ge b_n[/mm] für
> unendlich viele n.
>
> Dann gibt es eine Teilfolge [mm](n_k)[/mm] von (n) mit
>
> [mm]a_{n_k} \ge b_{n_k}[/mm] für alle k.
>
> Mit k [mm]\to \infty[/mm] folgt a [mm]\ge[/mm] b, Widerspruch.
dann wiederum benutzt Du, dass aus
[mm] $x_n \ge y_n$ [/mm] für alle [mm] $n\,$
[/mm]
und [mm] $x_n \to [/mm] x$ und [mm] $y_n \to [/mm] y$ folgt
$x [mm] \ge y\,.$
[/mm]
Aber Du hast auch irgendwie recht: Man kann ja nicht immer bei Adam und
Eva anfangen. 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:14 Mi 19.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > > Hallo Fred,
> > >
> > > > > [mm]\forall \epsilon_1>0 \exists N_1: \forall[/mm] n [mm]\ge N_1: |a_n[/mm]
> > > > > -a| < [mm]\epsilon_1[/mm]
> > > > > [mm]\forall \epsilon_2>0 \exists N_2: \forall[/mm] n
> [mm]\ge N_2: |b_n[/mm]
> > > > > -b| < [mm]\epsilon_2[/mm]
> > > > >
> > > > >
> > > > > Ich weiß nicht, ob man das im Fall 1) a=b so anschreiben
> > > > > darf:
> > > > > Wähle [mm]\epsilon_1=\epsilon_2[/mm]
> > > > > [mm]|max(a_n,b_n)-a| =\begin{cases} |a_n-a|<\epsilon_1, & \mbox{für } n \ge N_1 \wedge max(a_n,b_n)=a_n \\ |b_n-a|<\epsilon_1, & \mbox{für } n\ge N_2 \wedge max(a_n,b_n)=b_n\end{cases}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Wähle [mm]N_3:= max(N_1, N_2),[/mm] dann ist [mm]|max(a_n,b_n)-a|[/mm] <
> > > > > [mm]\epsilon_1[/mm] für alle [mm]n\ge N_3[/mm]
> > > >
> > > > Die Idee ist schon richtig....
> > > >
> > > > Sei [mm]\epsilon[/mm] >0. Es ex. [mm]N_1,N_2 \in \IN[/mm] mit
> > > >
> > > > (1) [mm]|a_n-a|< \epsilon[/mm] für n [mm]\ge N_1[/mm]
> > > >
> > > > und
> > > >
> > > > (2) [mm]|b_n-b|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm] für n [mm]\ge N_2.[/mm]
> > > >
> > > > Sei [mm]N_3[/mm] :=max [mm]\{N_1,N_2\}[/mm] und [mm]c_n:==max \{a_n,b_n\}[/mm]
>
> > >
> > >
> > > > Für n [mm]\ge N_3[/mm] haben wir 2 Fälle:
> > > >
> > > > 1. [mm]c_n =a_n.[/mm] Dann ist [mm]|c_n-a|=|a_n-a|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm] nach (1)
> > > >
> > > > 2. [mm]c_n=b_n.[/mm] Dann ist [mm]|c_n-a|=|b_n-a|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm] nach (2)
> > > >
> > > > Fazit:
> > > >
> > > > [mm]|c_n-a|=[/mm] < [mm]\epsilon[/mm] für alle n [mm]\ge N_3.[/mm]
> > > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Fall 2)a<b
> > > > > => max(a,b)=b
> > > > > Wähle [mm]\epsilon:=\frac{b-a}{2}>0[/mm]
> > > >
> > > > Das geht schon mal in die Hose ! [mm]\epsilon[/mm] darfst Du nicht
> > > > festnageln.
> >
> > Hallo Marcel,
> >
> >
> > >
> > > warum nicht? Ich hatte das vorgeschlagen, damit man
> > > insbesondere
> > > beweisen kann:
> >
> > Du hast recht. Ich war etwas voreilig.
> >
> >
> > >
> > > >
> > > > Wenn a<b ist, dann gibt es doch ein N [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]a_n \le b_n[/mm]
> > > > für n [mm]\ge[/mm] N.
> > >
> > > Denn: Sei [mm]\epsilon:=(b-a)/2 > 0\,.[/mm] Dann:
> > >
> > > [mm]\exists N_1=N_1(\epsilon):[/mm] [mm]\forall n \ge N_1[/mm] [mm]a_n \in U_{\epsilon}(a)\,,[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\exists N_2=N_2(\epsilon):[/mm] [mm]\forall n \ge N_2[/mm] [mm]b_n \in U_{\epsilon}(b)\,.[/mm]
>
> >
> > >
> > > Für alle [mm]n \ge N_3:=\max\{N_1,\;N_2\}[/mm]
> > >
> > > [mm]a_n \in U_\epsilon(a)[/mm] und [mm]a_n \notin U_{\epsilon}(b)[/mm]
> >
> >
> > > sowie
> > >
> > > [mm]b_n \in U_\epsilon(b)[/mm] und [mm]b_n \notin U_{\epsilon}(a)\,,[/mm]
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> >
> > >
> > > daraus erkennt man dann sogar
> > >
> > > [mm]a_n < b_n[/mm] für alle [mm]n \ge N_3\,.[/mm]
> >
> > Das geht doch einfacher: sei a<b. Annahme: [mm]a_n \ge b_n[/mm] für
> > unendlich viele n.
> >
> > Dann gibt es eine Teilfolge [mm](n_k)[/mm] von (n) mit
> >
> > [mm]a_{n_k} \ge b_{n_k}[/mm] für alle k.
> >
> > Mit k [mm]\to \infty[/mm] folgt a [mm]\ge[/mm] b, Widerspruch.
>
> dann wiederum benutzt Du, dass aus
>
> [mm]x_n \ge y_n[/mm] für alle [mm]n\,[/mm]
>
> und [mm]x_n \to x[/mm] und [mm]y_n \to y[/mm] folgt
>
> [mm]x \ge y\,.[/mm]
>
> Aber Du hast auch irgendwie recht: Man kann ja nicht immer
> bei Adam und
> Eva anfangen.
Hallo Marcel,
die "Monotonie des Grenzwertes" ist doch fast das erste, was man nach der Definition der Konvergenz lernt.
Gruß FRED
>
> Gruß,
> Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:04 Mi 19.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Hallo Marcel,
>
> die "Monotonie des Grenzwertes" ist doch fast das erste,
> was man nach der Definition der Konvergenz lernt.
meistens *verschwimmt* das aber wieder, weil es als einfache
Übungsaufgabe gestellt wird.
(Die meisten haben sich ja auch noch nie klar gemacht, dass
[mm] $\forall \epsilon [/mm] > 0:$ $a < [mm] b+\epsilon$
[/mm]
impliziert $a [mm] \le [/mm] b$ (und umgekehrt)
gilt. Dir brauche ich auch nicht zu sagen, dass man aus obigem i.a. nicht auf
$a < [mm] b\,$ [/mm] schließen kann.... In den Beweisen verwenden können es dennoch
sehr viele!)
Ich habe ja auch nichts dagegen eingewendet... nur, was ich immer wieder
bemerk(t)e, ist:
Viele wenden das selbstverständlich an, aber die meistens kommen schon
ins Stocken, wenn man sie fragt, ob sie das auch begründen können. Es
ist ja auch "ziemlich selbstverständlich".
Übrigens merkt man schnell, wer das (richtig) verstanden hat: Denn man
muss einfach mal nur fragen, ob denn aus
[mm] $x_n [/mm] < [mm] y_n$ [/mm] und [mm] $x_n \to [/mm] x$ sowie [mm] $y_n \to [/mm] y$
auch schon stets $x [mm] \red{\,<\,}y$ [/mm] folgt. Wer diese Frage mit "Ja!" beantwortet......
P.S. Sind meine Erfahrungen als Nachhilfelehrer, die ich vor einigen Jahren
gemacht habe. Natürlich kann man jetzt sagen: Vermutlich haben *solche*
Studenten ja gerade wegen solchen Dingen ja Nachhilfe bekommen.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 Mi 19.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Fall 2)a<b
> => max(a,b)=b
> Wähle [mm]\epsilon:=\frac{b-a}{2}>0[/mm]
> [mm]=>\exists n_1: \forall[/mm] n [mm]\ge n_1:a-\frac{b-a}{2}
also für alle $n [mm] \ge n_1$ [/mm] ist
[mm] $\frac{3a-b}{2} [/mm] < [mm] \red{a_n < \frac{a+b}{2}}$
[/mm]
> => [mm]\exists n_2: \forall[/mm] n [mm]\ge n_2:b-\frac{b-a}{2}
und für alle $n [mm] \ge n_2$ [/mm] gilt
[mm] $\red{\frac{a+b}{2} < b_n} [/mm] < [mm] \frac{3b-a}{2}\,.$
[/mm]
> d.h. [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge max(n_1, n_2): a_n[/mm] < [mm]\frac{a+b}{2} =\frac{b+a}{2}[/mm] < [mm]b_n[/mm]
> Wähle nun [mm]N_3:=max(n_1, n_2)[/mm]
Also folgt für alle $n [mm] \ge N_3$
[/mm]
[mm] $a_n [/mm] < [mm] b_n\,.$
[/mm]
> d.h. [mm]|max(a_n, b_n) -b|=|max(a_n, b_n)[/mm]
> +(-b)| [mm]\le |max(a_n,b_n)|+|-b| \le |b_n|[/mm] + |b|
> Hier steck ich, hab ich da was falsch gemacht?
Viel zu kompliziert: Für alle $n [mm] \ge N_3$ [/mm] ist [mm] $\max(a_n,b_n)=b_n$ [/mm] und daher:
Ist [mm] $\epsilon' [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] so existiert wegen [mm] $(b_n) \to [/mm] b$ (schreibt ihr das wirklich
so? Finde ich gar nicht mal so schlecht...) ein [mm] $M=M_{\epsilon'}$ [/mm] mit
[mm] $|b_n [/mm] - b| < [mm] \epsilon'$ [/mm] für alle $n [mm] \ge M\,.$
[/mm]
Für alle $n [mm] \ge N':=\max(M,N_3)$ [/mm] folgt dann
[mm] $|\max(a_n,b_n)-b|=|b_n-b| [/mm] < [mm] \epsilon'\,.$
[/mm]
Fred hat's natürlich ohne Epsilon-Technik aufgeschrieben und ohne den
kleinen Beweis, dass auch [mm] $a_n [/mm] < [mm] b_n$ [/mm] für fast alle [mm] $n\,$ [/mm] sein muss...
Gruß,
Marcel
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