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Forum "Uni-Stochastik" - Maximum Likelihood Schätzer
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Maximum Likelihood Schätzer: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:55 Mi 25.07.2018
Autor: Hela123

Aufgabe
Die Radioaktivität in einer Probe soll mit einem Geigerzähler gemessen werden. Es ist bekannt, dass die Probe n Atome enthält. Wenn eines davon zerfällt wird der Zerfall mit einer bekannten Wahrscheinlichkeit von p detektiert. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Atom in einer Sekunde zerfällt ist unbekannt und wird mit [mm]\theta \in [0,1][/mm] bezeichnet. Der Geigerzähler wird eine Sekunde auf die Probe gerichtet und die Anzahl der detektierten Zerfälle [mm]k \in \IZ_{\ge 0}[/mm] wird erfasst.

Bestimme unter Verwendung eines geeigneten statistischen Modells den Maximum-Likelihood-Schätzer für [mm]\theta[/mm].

Hallo Forum,

ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.

Ich habe das Ganze mit Poissonverteilung modelliert:

[mm]P(\{k\}) = e^{-\lambda} \bruch{\lambda^k}{k!} [/mm] mit [mm]\lambda = np\theta[/mm].

Für Maximum Likelihood Schötzung muss ich die Nullstellen der 1.Ableitung nach [mm]\theta[/mm] finden.

Also:

[mm]P(\{k\}) = e^{-(np\theta)} \bruch{(np\theta)^k}{k!} [/mm]
[mm] \bruch{\partial P(\{k\})}{\partial \theta} = e^{-(np\theta)} (-np) \bruch{(np\theta)^k}{k!} + e^{-(np\theta)} \bruch{(np\theta)^{k-1} npk}{k!} [/mm]
Ist das korrekt? Oder was ist mein Fehler?

Für die Nullstellen entsprechend:
[mm]e^{-(np\theta)} (-np) \bruch{(np\theta)^k}{k!} + e^{-(np\theta)} \bruch{(np\theta)^{k-1} npk}{k!} = 0[/mm]
[mm] \bruch {e^{-(np\theta)} np ((np\theta)^{k-1} - k(np \theta)^k)}{k!} = 0[/mm]
[mm] e^{-(np\theta)} np = 0[/mm] ist für jedes [mm]\theta[/mm] nicht gegeben.
Bleibt:
[mm] (np\theta)^{k-1} - k(np \theta)^k = 0[/mm]
[mm] (np\theta)^{k-1}(1 - knp \theta) = 0[/mm]
[mm] (np\theta)^{k-1}= 0[/mm] erfüllt bei [mm]\theta =0[/mm], ist aber nicht das gesuchte Maximum
[mm] (1 - knp \theta) = 0[/mm]
[mm]\theta = \bruch {1}{knp}[/mm] das wäre der gesuchter Term, aber es ist leider falsch, weil die Musterlösung sagt, [mm]\theta = \bruch {k}{np}[/mm]

Wo habe ich einen Fehler gemacht?

Schönen Dank im Voraus!
Hela123

        
Bezug
Maximum Likelihood Schätzer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:20 Mi 25.07.2018
Autor: fred97


> Die Radioaktivität in einer Probe soll mit einem
> Geigerzähler gemessen werden. Es ist bekannt, dass die
> Probe n Atome enthält. Wenn eines davon zerfällt wird der
> Zerfall mit einer bekannten Wahrscheinlichkeit von p
> detektiert. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Atom in einer
> Sekunde zerfällt ist unbekannt und wird mit [mm]\theta \in [0,1][/mm]
> bezeichnet. Der Geigerzähler wird eine Sekunde auf die
> Probe gerichtet und die Anzahl der detektierten Zerfälle [mm]k \in \IZ_{\ge 0}[/mm]
> wird erfasst.
>  
> Bestimme unter Verwendung eines geeigneten statistischen
> Modells den Maximum-Likelihood-Schätzer für [mm]\theta[/mm].
>  Hallo Forum,
>  
> ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
>  
> Ich habe das Ganze mit Poissonverteilung modelliert:
>  
> [mm]P(\{k\}) = e^{-\lambda} \bruch{\lambda^k}{k!}[/mm] mit [mm]\lambda = np\theta[/mm].
>  
> Für Maximum Likelihood Schötzung muss ich die Nullstellen
> der 1.Ableitung nach [mm]\theta[/mm] finden.
>  
> Also:
>  
> [mm]P(\{k\}) = e^{-(np\theta)} \bruch{(np\theta)^k}{k!}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{\partial P(\{k\})}{\partial \theta} = e^{-(np\theta)} (-np) \bruch{(np\theta)^k}{k!} + e^{-(np\theta)} \bruch{(np\theta)^{k-1} npk}{k!}[/mm]
>  
> Ist das korrekt? Oder was ist mein Fehler?

Bis hier ist alles O.K.

>  
> Für die Nullstellen entsprechend:
>  [mm]e^{-(np\theta)} (-np) \bruch{(np\theta)^k}{k!} + e^{-(np\theta)} \bruch{(np\theta)^{k-1} npk}{k!} = 0[/mm]
>  
> [mm]\bruch {e^{-(np\theta)} np ((np\theta)^{k-1} - k(np \theta)^k)}{k!} = 0[/mm]


Hier ist Dein Fehler ! Richtig ist

[mm]\bruch {e^{-(np\theta)} np (k(np\theta)^{k-1} - (np \theta)^k)}{k!} = 0[/mm]




>  
> [mm]e^{-(np\theta)} np = 0[/mm] ist für jedes [mm]\theta[/mm] nicht
> gegeben.
>  Bleibt:
>  [mm](np\theta)^{k-1} - k(np \theta)^k = 0[/mm]
>  [mm](np\theta)^{k-1}(1 - knp \theta) = 0[/mm]
>  
> [mm](np\theta)^{k-1}= 0[/mm] erfüllt bei [mm]\theta =0[/mm], ist aber nicht
> das gesuchte Maximum
>  [mm](1 - knp \theta) = 0[/mm]
>  [mm]\theta = \bruch {1}{knp}[/mm] das wäre
> der gesuchter Term, aber es ist leider falsch, weil die
> Musterlösung sagt, [mm]\theta = \bruch {k}{np}[/mm]
>
> Wo habe ich einen Fehler gemacht?
>  
> Schönen Dank im Voraus!
>  Hela123


Bezug
                
Bezug
Maximum Likelihood Schätzer: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:23 Mi 25.07.2018
Autor: Hela123

Hallo Fred97,

vielen vielen Dank für Deine Antwort!
Jetzt ist natürlich alles klar!

Noch mal danke und schönen Gruß,
Hela123

Bezug
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