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| Aufgabe | Gegeben seien unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen X1....Xn mit Verteilungsfunktion F(x) = [mm] x^a [/mm] * 1(0,1) (x) zum unbekannten Parameter a >0.
a) geben sie die Wahrscheinlichkeitsdichte von X1 an.
b) Berechnen sie den Erwartungswert von X1
c) Bestimmen sie den MLS â für den unbekannten Parameter a. |
Hallöchen, vielleicht kann ja mal jemand gerade über meinen Ergebnisse schauen, bzw. mir bei der Teilaufgabe c helfen.
Ich glaube irgendwie stimmt da was nicht.
Also zu a)
f(x) = [mm] a*x^a-1 [/mm] * 1(0,1) (x)
b)
E(x1) = Integral von null bis eins von x*f(x) dx
also a/a+1
ist das richtig?
und bei c) weiß ich nicht so genau, muss ich das jetzt von der Dichtefunktion oder von der Verteilungsfunktion bestimmen?
Ich dachte mir von der Dichte, und habe dann
L(x) = [mm] a*x^a-1 [/mm] * 1(0,1) (x)
ist das so weit richtig, oh man jetzt wird es fast etwas peinlich, wie war das noch mal mit dem Logarithmus, kann mir da vielleicht jemand helfen.
Sorry das ich nicht den Formeleditor benutzt habe, aber so viel war das ja nicht und ich bin so schlecht in TEX.
Lieben Gruß und danke für eventuelle Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:34 So 04.02.2007 | | Autor: | smee |
Hallo auch!
Vorab muss ich sagen, so ganz firm bin ich in Stochastik nicht, also meine Antwort bitte mit ein wenig Vorsicht geniessen ... 
> Also zu a)
> f(x) = [mm]a*x^a-1[/mm] * 1(0,1) (x)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ... Soll wohl [mm]a*x^{a-1}[/mm] heißen ...
> b)
> E(x1) = Integral von null bis eins von x*f(x) dx
> also a/a+1
> ist das richtig?
> und bei c) weiß ich nicht so genau, muss ich das jetzt von
> der Dichtefunktion oder von der Verteilungsfunktion
> bestimmen?
Dichtefunktion ..., also:
> Ich dachte mir von der Dichte, und habe dann
> L(x) = [mm]a*x^a-1[/mm] * 1(0,1) (x)
Nein, du musst die Wahrscheinlichkeit einer Realisierung der ZV berechnen, d.h.
[mm]L_{X}(a) = \produkt_{i=1}^{n} a*{x_{i}}^{a-1}*1_{(0,1)}(x_i)[/mm]
Dann ggfs. umformen, Ableitung der Loglikelihood-Fkt. bestimmen, Nullstellen berechnen, usw.
Meine Lösung sieht so aus:
[mm]L_{X}(a) = a^n*\produkt_{i=1}^{n} {x_{i}}^{a-1}[/mm]
[mm]log(L_{X}(a)) = n*log(a) + (a-1)*\summe_{i=1}^{n}log(x_i)[/mm]
[mm]log(L_{X}(a))' = \bruch{n}{a} + \summe_{i=1}^{n}log(x_i) = 0[/mm]
[mm]\gdw a = - \bruch{n}{\summe_{i=1}^{n}log(x_i)}[/mm]
Zweite Ableitung überprüfen ....
[mm]- \bruch{n}{a^2} < 0[/mm] ... also globales Maximum bei a.
Du müsstest bei den einzelnen Schritten dann ggfs. noch genauer angeben für welche [mm]x_i[/mm] dies gilt.
Gruß,
Carsten
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Ja danke schön für die schnelle Antwort, ja das sieht ganz gut aus.
Ich habe da nur noch mal eine Frage. Das mit den Realisierungen, muss ich da einfach nur das Produkt nehmen, weil die einzelnen Wahrscheinlichkeiten unabhängig sind, und man sie deshalb miteinander multiplzieren kann? Oder hat das einen anderen Grund?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 So 04.02.2007 | | Autor: | smee |
> Ich habe da nur noch mal eine Frage. Das mit den
> Realisierungen, muss ich da einfach nur das Produkt nehmen,
> weil die einzelnen Wahrscheinlichkeiten unabhängig sind,
> und man sie deshalb miteinander multiplzieren kann?
Genau! Das ist, soweit ich weiß, auch schon alles ...
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Ja vielen Dank dir, ich hoffe ich kann das bei meinen nächsten Aufgaben auch anwenden. Hast mehr sehr nett und vorallendingen schnell geholfen. Danke.
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