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Maximum Likelyhood Schätzmetho: Tipp und Korrektur bitte
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:04 Di 03.07.2012
Autor: zoror

Aufgabe
Ich habe folgende Funktion: [mm] \alpha k^{\alpha} *x^{-\alpha-1} [/mm]

Aufgabenstellung: Leiten Sie für den unbekannten Parameter alpha eine Maximum-Likelyhood-Schätzung her.

Hallo Leutz,

ich habe folgende Funktion: [mm] \alpha k^{\alpha} *x^{-\alpha-1} [/mm]

Aufgabenstellung: Leiten Sie für den unbekannten Parameter alpha eine Maximum-Likelyhood-Schätzung her.

Habe nun folgt angefangen:

L = [mm] f(x_{1}) [/mm] * [mm] f(x_{2}) [/mm] * ... * [mm] f(x_{n}) [/mm]

Also [mm] (\alpha k^{\alpha})^{n} [/mm] * [mm] \produkt_{i=1}^{n}(x_{i}^{-alpha-1}) [/mm] -->Ist das so richtig?

Dann habe ich den ln eingeführt:

ln L = [mm] ln((\alpha k^{\alpha})^{n} [/mm] * [mm] \produkt_{i=1}^{n}(x_{i}^{-alpha-1})) [/mm]

=n [mm] ln(\alpha k^{\alpha}) [/mm] + ... da hängts

Danke für eure hilfe und wenn mir noch jemand sagt wie ich die formeln einfügen kann, dann würde ich das gleich machen.

Habe morgen Prüfung :(

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://forum.r-statistik.de/viewtopic.php?f=15&t=2599
http://www.stata-forum.de/statistik-allgemein-f5/maximum-likelyhood-schatzmethode-t114.html
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=496317
http://www.statistik-tutorial.de/forum/ftopic6119.html

        
Bezug
Maximum Likelyhood Schätzmetho: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:37 Di 03.07.2012
Autor: schachuzipus

Hallo zoror und erstmal herzlich [willkommenmr],


> Ich habe folgende Funktion: [mm]\alpha k^{\alpha} *x^{-\alpha-1}[/mm]

Ist irgendwas über [mm]\alpha[/mm] und [mm]k[/mm] bekannt?

Das Weitere genieße mit Vorsicht, es ist das allg. Prozedere ...

>  
> Aufgabenstellung: Leiten Sie für den unbekannten Parameter
> alpha eine Maximum-Likelyhood-Schätzung her.
>  Hallo Leutz,
>  
> ich habe folgende Funktion: [mm]\alpha k^{\alpha} *x^{-\alpha-1}[/mm]
>  
> Aufgabenstellung: Leiten Sie für den unbekannten Parameter
> alpha eine Maximum-Likelyhood-Schätzung her.
>  
> Habe nun folgt angefangen:
>  
> L = [mm]f(x_{1})[/mm] * [mm]f(x_{2})[/mm] * ... * [mm]f(x_{n})[/mm]
>  
> Also [mm](\alpha k^{\alpha})^{n}[/mm] *  [mm]\produkt_{i=1}^{n}(x_{i}^{-alpha-1})[/mm] -->Ist das so
> richtig?

Ja, sieht gut aus!

Das kannst du schreiben als [mm]\left(\alpha k^{\alpha}\right)^n\cdot{}\left( \ \prod\limits_{i=1}^nx_i \ \right)^{-\alpha-1}[/mm]

>  
> Dann habe ich den ln eingeführt:
>  
> ln L = [mm]ln((\alpha k^{\alpha})^{n}[/mm] *  [mm]\produkt_{i=1}^{n}(x_{i}^{-alpha-1}))[/mm]
>  
> =n [mm]ln(\alpha k^{\alpha})[/mm] + ... da hängts

Benutze die bekannten Loggesetze:

[mm]=n\cdot{}\left[\log(\alpha)+\alpha\cdot{}\log(k)\right]-(\alpha+1)\cdot{}\log\left( \ \prod\limits_{i=1}^nx_i \ \right) \ = \ n\cdot{}\log(\alpha)+n\cdot{}\alpha\cdot{}\log(k)-(\alpha+1)\cdot{}\log\left( \ \sum\limits_{i=1}^nx_i \ \right)[/mm]

Um nun das Extremum (in [mm]\alpha[/mm]) zu bestimmen, gehe wie üblich vor:

1.Ableitung =0 setzen ...

Ableiten musst du natürlich nach [mm]\alpha[/mm]

>  
> Danke für eure hilfe und wenn mir noch jemand sagt wie ich
> die formeln einfügen kann, dann würde ich das gleich
> machen.
>  
> Habe morgen Prüfung :(

Dafür drücke ich die Daumen und wünsche mächtig viel Erfolg!

>  
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>  http://forum.r-statistik.de/viewtopic.php?f=15&t=2599
>  
> http://www.stata-forum.de/statistik-allgemein-f5/maximum-likelyhood-schatzmethode-t114.html
>  http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=496317
>  http://www.statistik-tutorial.de/forum/ftopic6119.html

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Maximum Likelyhood Schätzmetho: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:13 Di 03.07.2012
Autor: zoror

ok danke für den Tipp mit dem [mm] \left(\alpha k^{\alpha}\right)^n\cdot{}\left( \ \prod\limits_{i=1}^nx_i \ \right)^{-\alpha-1} [/mm]

ich habe jetzt weiter gemacht und ln eingeführt:

n [mm] ln(\alpha k^{\alpha})-(\alpha-1)ln(\produkt_{i=1}^{n}(x_{i})) [/mm]

ist das richtig?

Der erste Term  abgeleitet? Den zweiten sollte so nach der Ableitung aussehen:

[mm] ln(\produkt_{i=1}^{n}(x_{i})) [/mm] -->richtig für den 2 term?

Bezug
                        
Bezug
Maximum Likelyhood Schätzmetho: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:32 Di 03.07.2012
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

bitte Rückfragen als Fragen stellen, nicht als Mitteilungen!


> ok danke für den Tipp mit dem [mm]\left(\alpha k^{\alpha}\right)^n\cdot{}\left( \ \prod\limits_{i=1}^nx_i \ \right)^{-\alpha-1}[/mm]
>  
> ich habe jetzt weiter gemacht und ln eingeführt:
>  
> n [mm]ln(\alpha k^{\alpha})-(\alpha-1)ln(\produkt_{i=1}^{n}(x_{i}))[/mm]
>  
> ist das richtig?


Nein, wie es richtig lautet, habe ich doch aufgeschrieben.

Du hast einen VZF beim "Herunterholen" der Potenz

[mm]+(-\alpha-1)=-(\alpha\red{+}1)[/mm]

> Der erste Term  abgeleitet?

Ja, am besten erst noch vereinfachen, siehe oben.

Dann lässt sich das doch kinderleicht ableiten

> Den zweiten sollte so nach der
> Ableitung aussehen:
>  
> [mm]ln(\produkt_{i=1}^{n}(x_{i}))[/mm] -->richtig für den 2 term?



[mm]\frac{d}{d\alpha}\left[-(\alpha+1)\cdot{}\log\left( \ \prod\limits_{i=1}^nx_i \ \right)\right]=-\log\left( \ \prod\limits_{i=1}^nx_i \ \right)[/mm]

Bzw. den Log des Produktes als Summe von Logs geschrieben:

[mm]=-\sum\limits_{i=1}^n\log\left(x_i\right)[/mm]

Die Ableitung des ersten Summanden liefere du jetzt mal sauber nach ...


Gruß

schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
Maximum Likelyhood Schätzmetho: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:33 Di 03.07.2012
Autor: zoror

Aufgabe
Habe ich den ersten Term jetzt auch richtig abgeleitet?

[mm] \bruch{n*(\alpha*ln(k)+1}{\alpha} [/mm]

Also sind beide zusammen:

[mm] \bruch{n*(\alpha*ln(k)+1}{\alpha} [/mm] - [mm] ln(\produkt_{i=1}^{n}x_{i}) [/mm]

Ist das so korrekt?

Bezug
                                        
Bezug
Maximum Likelyhood Schätzmetho: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:37 Di 03.07.2012
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Habe ich den ersten Term jetzt auch richtig abgeleitet?
>  [mm]\bruch{n*(\alpha*ln(k)+1}{\alpha}[/mm]
>  
> Also sind beide zusammen:
>  
> [mm]\bruch{n*(\alpha*ln(k)+1}{\alpha}[/mm] -  [mm]ln(\produkt_{i=1}^{n}x_{i})[/mm]
>
> Ist das so korrekt?

Jo!

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                
Bezug
Maximum Likelyhood Schätzmetho: Danke sagen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:47 Di 03.07.2012
Autor: zoror

Hey,

ich danke dir für deine Hilfe... Hat super geklappt :)

Bezug
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