Maximum einer Funktion finden < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine Bank maximiert sein Profit laut:
[mm] P=r_{L}(L)L+r_{T}T-r_{D}(D)D-C(D,L)
[/mm]
L+T=(1-k)D
[mm] C(D,L)=AD^{\alpha}L^{1-\alpha}
[/mm]
Zeige, dass das Profit Maximum optimal ist wenn das deposit/ loan ratio gleich
[mm] \bruch{D}{L}=\bruch{\alpha}{1-\alpha}\* \bruch{r_{L}-r_{T}}{r_{T}(1-k)-r_{D}} [/mm] |
Wenn ich die Bedingungen mit der Profitfunktion kombiniere, habe ich:
[mm] P=r_{L}+r_{T}((1-k)D-L)-r_{D}D-AD^{\alpha}L^{1-\alpha}
[/mm]
Dann mache ich die Ableitungen
[mm] \bruch{dP}{dD}=(1-k)r_{T}-r_{D}- \alpha AD^{\alpha-1}L^{1-\alpha}=0
[/mm]
[mm] \bruch{dP}{dL}=r_{L}-r_{T}-(1-\alpha)AD^{\alpha}L^{-\alpha}=0
[/mm]
Und dann muss ich doch beide Ableitungen gleichsetzen oder?
[mm] (1-k)r_{T}-r_{D}- \alpha{ A\bruch{D}{L}^_{\alpha-1}}=r_{L}-r_{T}-(1-\alpha)A\bruch{D}{L}^{\alpha}
[/mm]
Spätestens hier steck ich jetzt fest wegen den Exponenten. Ich weiss nicht mehr, wie ich die auflösen soll. Meine Frage ist nun: Ist bisher alles richtig? Und wie kann ich jetzt weiter forfahren?
Vielen Dank für jeden Tipp! Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 Di 17.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Eine Bank maximiert sein Profit laut:
>
> [mm]P=r_{L}(L)L+r_{T}T-r_{D}(D)D-C(D,L)[/mm]
> L+T=(1-k)D
> [mm]C(D,L)=AD^{\alpha}L^{1-\alpha}[/mm]
>
> Zeige, dass das Profit Maximum optimal ist wenn das
> deposit/ loan ratio gleich
>
> [mm]\bruch{D}{L}=\bruch{\alpha}{1-\alpha}\* \bruch{r_{L}-r_{T}}{r_{T}(1-k)-r_{D}}[/mm]
>
> Wenn ich die Bedingungen mit der Profitfunktion kombiniere,
> habe ich:
>
> [mm]P=r_{L}+r_{T}((1-k)D-L)-r_{D}D-AD^{\alpha}L^{1-\alpha}[/mm]
>
> Dann mache ich die Ableitungen
>
> [mm]\bruch{dP}{dD}=(1-k)r_{T}-r_{D}- \alpha AD^{\alpha-1}L^{1-\alpha}=0[/mm]
>
> [mm]\bruch{dP}{dL}=r_{L}-r_{T}-(1-\alpha)AD^{\alpha}L^{-\alpha}=0[/mm]
>
>
> Und dann muss ich doch beide Ableitungen gleichsetzen
> oder?
Nein. Du mußt beide =0 setzen.
FRED
>
> [mm](1-k)r_{T}-r_{D}- \alpha{ A\bruch{D}{L}^_{\alpha-1}}=r_{L}-r_{T}-(1-\alpha)A\bruch{D}{L}^{\alpha}[/mm]
>
> Spätestens hier steck ich jetzt fest wegen den Exponenten.
> Ich weiss nicht mehr, wie ich die auflösen soll. Meine
> Frage ist nun: Ist bisher alles richtig? Und wie kann ich
> jetzt weiter forfahren?
>
> Vielen Dank für jeden Tipp! Ich habe diese Frage in keinem
> Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:54 Di 17.12.2013 | | Autor: | phuc.0230 |
Hallo Fred,
vielen Dank für deinen Tipp. Könntest du mir vielleicht auch sagen, wie ich die Exponenten los werde, wenn ich die Ableitungen gleich null setze?
In der Lösung sind diese nicht mehr da.
Liebe Grüße,
Phuc
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> Eine Bank maximiert sein Profit laut:
>
> [mm]P=r_{L}(L)L+r_{T}T-r_{D}(D)D-C(D,L)[/mm]
> L+T=(1-k)D
> [mm]C(D,L)=AD^{\alpha}L^{1-\alpha}[/mm]
>
> Zeige, dass das Profit Maximum optimal ist wenn das
> deposit/ loan ratio gleich
>
> [mm]\bruch{D}{L}=\bruch{\alpha}{1-\alpha}\* \bruch{r_{L}-r_{T}}{r_{T}(1-k)-r_{D}}[/mm]
>
> Wenn ich die Bedingungen mit der Profitfunktion kombiniere,
> habe ich:
>
> [mm]P=r_{L}+r_{T}((1-k)D-L)-r_{D}D-AD^{\alpha}L^{1-\alpha}[/mm]
>
> Dann mache ich die Ableitungen
>
> [mm]\bruch{dP}{dD}=(1-k)r_{T}-r_{D}- \alpha AD^{\alpha-1}L^{1-\alpha}=0[/mm]
>
> [mm]\bruch{dP}{dL}=r_{L}-r_{T}-(1-\alpha)AD^{\alpha}L^{-\alpha}=0[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Also ist
[mm] (1-k)r_{T}-r_{D}= \alpha AD^{\alpha-1}L^{1-\alpha}
[/mm]
[mm] r_{L}-r_{T}=(1-\alpha)AD^{\alpha}L^{-\alpha}
[/mm]
Also ist
[mm] \bruch{r_{L}-r_{T}}{(1-k)r_{T}-r_{D}}=\bruch{(1-\alpha)AD^{\alpha}L^{-\alpha}}{\alpha AD^{\alpha-1}L^{1-\alpha}}
[/mm]
Wende nun rechts die Potenzgesetze an.
LG Angela
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Hallo Angela,
vielen Dank! Ich habe es jetzt auch lösen können :)
Darf ich fragen, welcher mathematischen Regel dies zugrunde liegt? Wieso kann man aus den beiden Ableitungen einfach einen Bruch herstellen? Darauf wäre ich nie gekommen.
Liebe Grüße :)
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> Hallo Angela,
>
> vielen Dank! Ich habe es jetzt auch lösen können :)
Hallo,
das ist doch schonmal gut.
>
> Darf ich fragen, welcher mathematischen Regel dies zugrunde
> liegt? Wieso kann man aus den beiden Ableitungen einfach
> einen Bruch herstellen?
Ich habe nicht aus "Ableitungen einen Bruch hergestellt".
Wenn ich habe
a=b
und c=d,
dann ist natürlich [mm] \bruch{a}{c}=\bruch{b}{d}.
[/mm]
Das ist nichts Weltbewegendes.
> Darauf wäre ich nie gekommen.
Daß man sich für [mm] \bruch{D}{L} [/mm] interessiert, war ja die Idee Deiner Chefs.
Unser Job war bloß zu überlegen, wie wir diesen Quotienten bekommen können.
LG Angela
>
> Liebe Grüße :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:59 Di 17.12.2013 | | Autor: | phuc.0230 |
Vielen Dank. Deine Erklärung hat geholfen :)
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