Maximum eines Gradienten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei f(x,y) = cos(2x + 3y)
a) Berechnen Sie grad f (x,y) und im Punkte [mm] P_{0}=(\bruch{\pi}{4},\bruch{\pi}{4}) [/mm] den Vektor grad [mm] f(P_{0}). [/mm] Außerdem ist die Ableitung in Richtung des Vektors [mm] \vec{h} [/mm] = (1,-1) an der Stelle [mm] P_{0} [/mm] gesucht. Geben Sie für [mm] P_{0} [/mm] den maximale möglichen Anstieg an.
b) Man gebe die Kurven mit grad f(x,y) = [mm] \vec{0} [/mm] an. Dabei soll zwischen Kurven auf denen f ein Maximum und Kurven auf denen f ein Minimum annimmt, unterschieden werden. Außerdem suche man alle Kurven, auf denen der Betrag des Gradienten maximiert wird. Es entsteht für jeden der drei Fälle eine Kurvenschar. Man stelle diese 3 Kurvenscharen in der gestallt g(x,y) = [mm] \varphi(m) [/mm] , [mm] m\in\IR [/mm] dar, wobei g und [mm] \varphi [/mm] für jeden der drei Fälle geeignet zu wählen ist.
Hinsweis: Jedem festen Wert m entspricht eine Kurve aus der jeweiligen Schar. |
Also erstens habe ich gelöst und ich denke auch richtig es wäre nett wenn das man jemand überprüfen könnte.
[mm] z_{x} [/mm] = -sin (2x +3y)*2
[mm] z_{y} [/mm] = -sin (2x+3y)*3
grad f = [mm] \begin{pmatrix} z_{x} \\ z_{y} \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -sin (2x +3y)*2 \\ -sin (2x+3y)*3 \end{pmatrix}
[/mm]
grad f von [mm] P_{0} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -1\wurzel{2} \\ 0,5\wurzel{2} \end{pmatrix}
[/mm]
Die Richtungsableitung:
grad [mm] f^{T} [/mm] * [mm] |\vec{h}| [/mm] = -1,5
Maximaler Anstieg [mm] P_{0}
[/mm]
max [mm] P_{0} [/mm] = [mm] \parallel [/mm] grad f [mm] \parallel [/mm] = [mm] \wurzel{3}
[/mm]
So und jetzt bei b versteh ich nicht wie wir damals auf diese Gleichung gekommen sind und ohne das zu wissen kann und will ich auch nicht weiter rechnen.
grad f = [mm] \vec{0}
[/mm]
[mm] f_{x} [/mm] = f{y} = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] 2x + 3y = [mm] m*\pi
[/mm]
Wie kommt man denn darauf und wie kommt man vor allem dann auf diese Lösungen?
grad f = max = 2x +3y [mm] -(2m*\pi)=0
[/mm]
grad f = min = 2x+ 3y [mm] -(2m-1)\pi [/mm] =0
Betrag grad f = 2x + 3y [mm] (\bruch{2m - 1}{2})*\pi [/mm] = max
Kann mir das vielleicht jemnad weiter helfen das wäre echt super denn ich hab echt keinen Plan mehr wie wir darauf gekommen sind
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> Gegeben sei f(x,y) = cos(2x + 3y)
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> a) Berechnen Sie grad f (x,y) und im Punkte
> [mm]P_{0}=(\bruch{\pi}{4},\bruch{\pi}{4})[/mm] den Vektor grad
> [mm]f(P_{0}).[/mm] Außerdem ist die Ableitung in Richtung des
> Vektors [mm]\vec{h}[/mm] = (1,-1) an der Stelle [mm]P_{0}[/mm] gesucht. Geben
> Sie für [mm]P_{0}[/mm] den maximale möglichen Anstieg an.
>
> b) Man gebe die Kurven mit grad f(x,y) = [mm]\vec{0}[/mm] an. Dabei
> soll zwischen Kurven auf denen f ein Maximum und Kurven auf
> denen f ein Minimum annimmt, unterschieden werden.
> Außerdem suche man alle Kurven, auf denen der Betrag des
> Gradienten maximiert wird. Es entsteht für jeden der drei
> Fälle eine Kurvenschar. Man stelle diese 3 Kurvenscharen
> in der gestallt g(x,y) = [mm]\varphi(m)[/mm] , [mm]m\in\IR[/mm] dar, wobei g
> und [mm]\varphi[/mm] für jeden der drei Fälle geeignet zu wählen
> ist.
> Hinsweis: Jedem festen Wert m entspricht eine Kurve aus
> der jeweiligen Schar.
> Also erstens habe ich gelöst und ich denke auch richtig
> es wäre nett wenn das man jemand überprüfen könnte.
>
> [mm]z_{x}[/mm] = -sin (2x +3y)*2
> [mm]z_{y}[/mm] = -sin (2x+3y)*3
>
> grad f = [mm]\begin{pmatrix} z_{x} \\ z_{y} \end{pmatrix}[/mm] =
> [mm] \begin{pmatrix} -sin (2x +3y)*2 \\ -sin (2x+3y)*3 \end{pmatrix}[/mm]
>
> grad f von [mm]P_{0}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} -1\wurzel{2} \\ 0,5\wurzel{2} \end{pmatrix}[/mm]
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> Die Richtungsableitung:
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> grad [mm]f^{T}[/mm] * [mm]|\vec{h}|[/mm] = -1,5
>
> Maximaler Anstieg [mm]P_{0}[/mm]
>
> max [mm]P_{0}[/mm] = [mm]\parallel[/mm] grad f [mm]\parallel[/mm] = [mm]\wurzel{3}[/mm]
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> So und jetzt bei b versteh ich nicht wie wir damals auf
> diese Gleichung gekommen sind und ohne das zu wissen kann
> und will ich auch nicht weiter rechnen.
>
> grad f = [mm]\vec{0}[/mm]
>
> [mm]f_{x}[/mm] = f{y} = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] 2x + 3y = [mm]m*\pi[/mm]
die 1. richtungsableitungen werden ja null gesetzt, also -sin(2x+3y)*=0 hier kannst du entweder mit dem arcsin auflösen, oder wissen dass der sinus bei [mm] m*\pi [/mm] null ist, folglich müssen die 2x+3y = [mm] m\pi [/mm] sein
>
> Wie kommt man denn darauf und wie kommt man vor allem dann
> auf diese Lösungen?
>
> grad f = max = 2x +3y [mm]-(2m*\pi)=0[/mm]
>
> grad f = min = 2x+ 3y [mm]-(2m-1)\pi[/mm] =0
>
maximum/minimum wird ja mit [mm] f_{xx} [/mm] untersucht. die extrema liegen ja bei [mm] m\pi
[/mm]
[mm] f_{xx}=-4*cos(2x+3y)=-4*cos(m\pi)
[/mm]
max bei fxx < 0, und das ist bei diesem fxx ja nur bei geraden [mm] \pi [/mm] der fall, also [mm] (2m)*\pi
[/mm]
min bei fxx > 0, und das ist nur bei ungeraden [mm] \pi [/mm] der fall, also [mm] (2m+1)*\pi
[/mm]
das mit dem betrag sagt mir jetzt leider nix :-(
> Betrag grad f = 2x + 3y [mm](\bruch{2m - 1}{2})*\pi[/mm] = max
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> Kann mir das vielleicht jemnad weiter helfen das wäre echt
> super denn ich hab echt keinen Plan mehr wie wir darauf
> gekommen sind
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:08 Mo 14.09.2009 | | Autor: | Bengel777 |
Ah Danke sowas habe ich mir schon gedacht, also bin ich doch net ganz auf den Kopp gefallen 
Das mit dem Betrag krieg ich auch noch irgendwie raus das muss ja mit den beiden gleichungen zusammenhängen
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Also ich weiß zwar was du meinst aber irgendwie is mir unklar wie ich jetzt auf die -(2m * /pi) kommstfür das maximum wenn doch die 2 partielle ableitung ein cosinus ist und da wird ja ein vielfaches von /pi 1 und nicht 0 wie es gefordert ist.
Irgendwie steh ich grad aufm schlauch, zu viel mathe auf einmal
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> Also ich weiß zwar was du meinst aber irgendwie is mir
> unklar wie ich jetzt auf die -(2m * /pi) kommstfür das
> maximum wenn doch die 2 partielle ableitung ein cosinus ist
> und da wird ja ein vielfaches von /pi 1 und nicht 0 wie es
> gefordert ist.
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> Irgendwie steh ich grad aufm schlauch, zu viel mathe auf
> einmal
mit [mm] f_x [/mm] = 0 und [mm] f_y [/mm] = 0 bekommst du ja punkte, wo ein extremum liegen könnte. dies rechnest du ja mit dem ominösen D aus, und weisst dann, obs wirklich relative extrema sind.
diese extrema werden dann ja in die f_xx gesetzt, um zu schauen oder min oder max vorliegt. wenn wieder 0 rauskommen würde, wär man ja keinen schritt schlauer.
im 1 dimensionalen läufts doch genauso:
f'(x)=0 und die gefundenen punkte in [mm] f''(x_0) [/mm] einsetzen. wenn das wieder 0 wird, hat man ja nen sattelpunkt und kein extrema. mit [mm] f''(x_0) [/mm] > 0 hat man aber ein minimum, und mit [mm] f''(x_0) [/mm] < 0 ein maximum
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