Maximum exponentialv. ZV < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
So ne richtige Aufgabe habe ich nicht. Es interessiert mich nur:
Seien [mm]X_1,\ldots,X_n[/mm] unabhängige exponentialverteilte ZV mit Parameter [mm]\lambda_i[/mm],d.h. [mm]X_k\sim Exp(\lambda_k)[/mm]. Berechnen Sie [mm]\mathbb{E}Y:=\mathbb{E}\max\{X_1,\ldots,X_n\}[/mm].
Ich weiß für den Fall n=2, dass [mm]P(Y\leq t)=P(\max\{X_1,X_2\}\leq t)=P(X_1+X_2/2\leq t)[/mm]. Sieht man, wenn man die Ausdrücke ausrechnet und die Verteilungsfunktion ausrechnet. Das Maximum ist leider nicht exponentialverteilt (nicht einmal gedächtnislos).
Über vollständige Intuition würde ich sagen, dass [mm]P(Y\leq t)=P(\sum_{k=1}^nX_k\frac{1}{k}\leq t)[/mm] gilt. Allerdings sehe ich keinen anderen Weg, als wieder Mehrfachintegrale auszurechnen (das will ich umgehen).
Auch der Ansatz irgendwie [mm]\max\{a,b,c\}=\max\{a,\max\{b,c\}\}[/mm] bringt mich nicht weiter.
Mir reicht eigentlich auch der Spezialfall [mm]\lambda_i=1\forall i[/mm]
Noch ne Idee, die mich nicht wirklich weiter bringt: Dieses [mm]\sum_{k=1}^nX_k\frac{1}{k}[/mm] ist ja soetwas, wie eine Summe über ie Minima (welche exponentialverteilt sind). Nun würde ich ja die [mm]X_1,\ldots,X_n[/mm] ordnen können, etwa so [mm]X_{[1]}\leq X_{[2]}\leq \ldots X_{[n]}[/mm] (soetwas wie Ordnungsstatistiken). Damit gilt (da das Minimum dieser ZV exp.-vert. ist)
[mm]\mathbb{E}X_{[1]}=\min\{X_{[1]},\ldots,X_{[n]}\}=\frac{1}{m}[/mm] (min über m identisch exp.-vert ZV)
[mm]\mathbb{E}X_{[2]}=\min\{X_{[2]},\ldots,X_{[n]}\}=\frac{1}{m-1}[/mm] (min über m-1 identisch exp.-vert ZV)
Wenn ich jetzt noch argumentieren könnte, dass die Summe zum Maximum führt, was ich auch nicht sehe, dann wäre ich auch fertig.
Kennt jemand eine cleverere Idee? Oder kann etwas dazu sagen? Bin ich auf dem Holzweg?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 Do 08.12.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
für festes [mm] $\lambda_k$, [/mm] d.h. [mm] $\lambda_k=\lambda$, $\forall [/mm] k$, geht es so:
[mm] $P(Y\leq [/mm] x) = [mm] \prod_k P(X_k\leq [/mm] x)= [mm] \sum_{k=0}^n {n\choose k} (-1)^k e^{-\lambda k x}$
[/mm]
und daraus dann den Erwartungswert.
( am schnellsten wohl mit [mm] $E(Y)=\int_0^\infty [/mm] P(Y>x)\ dx$ )
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Sa 10.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
