Maximum konvexer Funktionen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:10 So 12.06.2011 | | Autor: | anetteS |
| Aufgabe | Man zeige Folgendes:
Es seien [mm] h_{1} [/mm] und [mm] h_{2} [/mm] konvexe Funktionen im [mm] R^{n}. [/mm] Dann ist die Funktion
h(x) := max { [mm] h_{1}(x), h_{2}(x) [/mm] }
ebenfalls konvex. Sind h1 und h2 strikt konvex, so ist auch h strikt konvex. |
Hallo Ihr lieben ,
ich brauche mal wieder Eure Hilfe...
Eigentich ist die obige Aufgabe ja aus Analysis, aber wir haben sie auf unserem Übungsblatt zum Thema Optimierung in Zahlentheorie.
Also: [mm] h_{1}(x) [/mm] und [mm] h_{2}(x) [/mm] sind konvex, d.h. es gilt [mm] h_{1}(x+\lambda(y-x)) \le h_{1}(x)+\lambda(h_{1}(y)-h_{1}(x)) [/mm] und dasselbe noch für [mm] h_{2}(x). [/mm]
h(x) ist jetzt die Funktion die punktweise das Maximum von [mm] h_{1}(x) [/mm] und [mm] h_{2}(x) [/mm] nimmt.
Zu zeigen ist also, dass diese Funktion h(x) mit den punktweisen Maxima ebenfalls konvex ist und als obige Ungleichung geschrieben werden kann.
Soweit bin ich schon mal, aber weiter auch nicht:-(.
Kann mir vielleicht jemand von Euch helfen?
Vielen Dank und viele Grüße,
Anette.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 So 12.06.2011 | | Autor: | wauwau |
es reicht also zu zeigen, dass
[mm] h_i(x+\lambda(y-x)) \le h_i(x)+\lambda(h_i(y)-h_i(x)) \le max(h_1(x),h_2(x))+\lambda(max(h_1(y),h_2(y))-max(h_1(x),h_2(x)))
[/mm]
die letzte Ugl kannst du aber umformen
[mm] \lambda(max(h_1(x),h_2(x)-h_i(x)) \le (max(h_1(x),h_2(x)) [/mm] - [mm] h_i(x)) [/mm] + [mm] \lambda(max(h_1(y),h_2(y))-h_i(y))
[/mm]
da [mm] \lambda \le [/mm] 1 ist ist die linke seiter kleiner als der erste Summand der rechten Seite und der 2. Summand der rechten Seite sicher größer 0
daher ist die Konvexität des Maximums erwiesen.
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