Maximumprinzip? < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:38 Mi 23.05.2012 | | Autor: | teo |
| Aufgabe | Sei f eine in der offenen Einheitskreisscheibe E [mm] \subseteq \IC [/mm] holomorphe Funktion, für die [mm] \left|f(0)\right|< 1 [/mm] und [mm] \left|f(z)\right| \leq 1 [/mm] für alle [mm] z \in E [/mm] gilt.
Man zeige, dass dann sogar [mm] \left|f(z)\right| < 1 [/mm] für alle [mm] z \in E [/mm] gelten muss. |
Hallo,
kann man bei dieser Aufgabe das Maximumprinzip benutzen. Ich bring das damit aber nicht hin.
Wäre dankbar für Tipps!
Vielen Dank!
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:44 Mi 23.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei f eine in der offenen Einheitskreisscheibe E [mm]\subseteq \IC[/mm]
> holomorphe Funktion, für die [mm]\left|f(0)\right|< 1[/mm] und
> [mm]\left|f(z)\right| \leq 1[/mm] für alle [mm]z \in E[/mm] gilt.
> Man zeige, dass dann sogar [mm]\left|f(z)\right| < 1[/mm] für alle
> [mm]z \in E[/mm] gelten muss.
> Hallo,
> kann man bei dieser Aufgabe das Maximumprinzip benutzen.
> Ich bring das damit aber nicht hin.
Nimm mal an, es existiere ein [mm] z_0 \in [/mm] E mit [mm] |f(z_0)|=1.
[/mm]
Wegen $ [mm] \left|f(z)\right| \leq [/mm] 1 $ für alle $ z [mm] \in [/mm] E $ , folgt, dass |f| auf E ein (globales) Maximum hat.
Was sagt das Maximumprinzip dazu ? und was sagt dann die Eigenschaft $ [mm] \left|f(0)\right|< [/mm] 1 $ dazu ?
FRED
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> Wäre dankbar für Tipps!
>
> Vielen Dank!
>
> Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Mi 23.05.2012 | | Autor: | teo |
Danke für die schnelle Antwort!
> > Sei f eine in der offenen Einheitskreisscheibe E [mm]\subseteq \IC[/mm]
> > holomorphe Funktion, für die [mm]\left|f(0)\right|< 1[/mm] und
> > [mm]\left|f(z)\right| \leq 1[/mm] für alle [mm]z \in E[/mm] gilt.
> > Man zeige, dass dann sogar [mm]\left|f(z)\right| < 1[/mm] für alle
> > [mm]z \in E[/mm] gelten muss.
> > Hallo,
> > kann man bei dieser Aufgabe das Maximumprinzip
> benutzen.
> > Ich bring das damit aber nicht hin.
>
> Nimm mal an, es existiere ein [mm]z_0 \in[/mm] E mit [mm]|f(z_0)|=1.[/mm]
> Wegen [mm]\left|f(z)\right| \leq 1[/mm] für alle [mm]z \in E[/mm] , folgt,
> dass |f| auf E ein (globales) Maximum hat.
>
> Was sagt das Maximumprinzip dazu ? und was sagt dann die
> Eigenschaft [mm]\left|f(0)\right|< 1[/mm] dazu ?
>
Ich kapiers leider noch nicht. Das Maximumprinzip besagt: Nimmt [mm] \left|f\right| [/mm] in [mm]z_0 \in E [/mm] ein lokales Maximum an, so ist f konstant.
Das Randmaximumprinzip besagt: Ist [mm]G \subseteq \IC[/mm] ein beschränktes Gebiet und sei [mm] f\in \mathcal{C}(\overline{G})[/mm] mit [mm]f|_G \in \mathcal{O}(G)[/mm]. Dann gilt: [mm]max_{z \in \overline{G}}\left|f(z)\right| = max_{z \in \partial G}\left|f(z)\right|[/mm]
Bedeutet das jetzt auf diese Aufgabenstellung angewendet, dass [mm]max_{z\in E}|f(z)|=1 [/mm] für alle [mm] z \in E[/mm] also auch für [mm] 0 \in E[/mm] gilt. Aber [mm]max_{0 \in E}|f(0)|< 1 [/mm] einen Widerspruch liefert?
Vielen Dank!
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:32 Do 24.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die schnelle Antwort!
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> > > Sei f eine in der offenen Einheitskreisscheibe E [mm]\subseteq \IC[/mm]
> > > holomorphe Funktion, für die [mm]\left|f(0)\right|< 1[/mm] und
> > > [mm]\left|f(z)\right| \leq 1[/mm] für alle [mm]z \in E[/mm] gilt.
> > > Man zeige, dass dann sogar [mm]\left|f(z)\right| < 1[/mm] für alle
> > > [mm]z \in E[/mm] gelten muss.
> > > Hallo,
> > > kann man bei dieser Aufgabe das Maximumprinzip
> > benutzen.
> > > Ich bring das damit aber nicht hin.
> >
> > Nimm mal an, es existiere ein [mm]z_0 \in[/mm] E mit [mm]|f(z_0)|=1.[/mm]
> > Wegen [mm]\left|f(z)\right| \leq 1[/mm] für alle [mm]z \in E[/mm] ,
> folgt,
> > dass |f| auf E ein (globales) Maximum hat.
> >
> > Was sagt das Maximumprinzip dazu ? und was sagt dann die
> > Eigenschaft [mm]\left|f(0)\right|< 1[/mm] dazu ?
> >
>
> Ich kapiers leider noch nicht. Das Maximumprinzip besagt:
> Nimmt [mm]\left|f\right|[/mm] in [mm]z_0 \in E[/mm] ein lokales Maximum an,
> so ist f konstant.
Na also. Ich wiederhole, was ich oben geschrieben habe:
Nimm mal an, es existiere ein $ [mm] z_0 \in [/mm] $ E mit $ [mm] |f(z_0)|=1. [/mm] $
Wegen $ [mm] \left|f(z)\right| \leq [/mm] 1 $ für alle $ z [mm] \in [/mm] E $ , folgt, dass |f| auf E ein (globales) Maximum hat.
Nach dem Max.-Prinzip ist f also auf E konstant. Damit ist auch |f| auf E konatant und zwar |f(z)|=1 für alle z [mm] \in [/mm] E.
Damit ist auch |f(0)|=1. Widerspruch.
FRED
>
> Das Randmaximumprinzip besagt: Ist [mm]G \subseteq \IC[/mm] ein
> beschränktes Gebiet und sei [mm]f\in \mathcal{C}(\overline{G})[/mm]
> mit [mm]f|_G \in \mathcal{O}(G)[/mm]. Dann gilt: [mm]max_{z \in \overline{G}}\left|f(z)\right| = max_{z \in \partial G}\left|f(z)\right|[/mm]
>
> Bedeutet das jetzt auf diese Aufgabenstellung angewendet,
> dass [mm]max_{z\in E}|f(z)|=1[/mm] für alle [mm]z \in E[/mm] also auch für
> [mm]0 \in E[/mm] gilt. Aber [mm]max_{0 \in E}|f(0)|< 1[/mm] einen Widerspruch
> liefert?
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> Vielen Dank!
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> Grüße
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