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| Aufgabe | Aus der Vorlesung kennen wir für den Raum V=C([a,b]; [mm] \IR) [/mm] (dabei ist C der Rauml der integrierbaren Funktionen) die Normen
[mm] \parallel f\parallel_2=\wurzel{\int_{a}^{b} {|f(x)|^2 dx}} [/mm] und
[mm] \parallel f\parallel_\infty [/mm] = max{|f(x)| [mm] |x\in[a,b] [/mm] }
Zeigen Sie, die Normen [mm] \parallel\cdot\parallel_2 [/mm] und [mm] \parallel\cdot\parallel_\infty [/mm] sind auf V nicht äqivalent. |
Hallo!
Ich bin mir unsicher, wie ich bei der Aufgabe ansetzen soll. Ich denke, es läuft darauf hinaus, dass Folgen gebildet werden sollen, die in der einen Norm konvergieren und in dern anderen nicht. Allerdings weiß ich nicht, wie ich dann weiter ansetzen kann..
Wäre super, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte.
Lg Wiebke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:38 Mi 06.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Aus der Vorlesung kennen wir für den Raum V=C([a,b]; [mm]\IR)[/mm]
> (dabei ist C der Rauml der integrierbaren Funktionen) die
> Normen
> [mm]\parallel f\parallel_2=\wurzel{\int_{a}^{b} {|f(x)|^2 dx}}[/mm]
> und
> [mm]\parallel f\parallel_\infty[/mm] = max|f(x)| [mm]|x\in[a,b][/mm]
> Zeigen Sie, die Normen [mm]\parallel\cdot\parallel_2[/mm] und
> [mm]\parallel\cdot\parallel_\infty[/mm] sind auf V nicht äqivalent.
Es gilt [m] \parallel f\parallel_2=\wurzel{\int_{a}^{b} {|f(x)|^2 dx}} \le \sqrt {(b-a) \underbrace{||f^2||_\infty}_{=||f||_\infty^2}} \le \sqrt {(b-a)} ||f||_\infty [/m]. Suche also Funktionen, deren Integral konstant bleibt, deren Maximum aber nach oben gegen Unendlich geht.
SEcki
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:23 Mi 06.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Aus der Vorlesung kennen wir für den Raum V=C([a,b]; [mm]\IR)[/mm]
> (dabei ist C der Rauml der integrierbaren Funktionen) die
> Normen
> [mm]\parallel f\parallel_2=\wurzel{\int_{a}^{b} {|f(x)|^2 dx}}[/mm]
> und
> [mm]\parallel f\parallel_\infty[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= max{|f(x)| [mm]|x\in[a,b][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> Zeigen Sie, die Normen [mm]\parallel\cdot\parallel_2[/mm] und
> [mm]\parallel\cdot\parallel_\infty[/mm] sind auf V nicht äqivalent.
> Hallo!
> Ich bin mir unsicher, wie ich bei der Aufgabe ansetzen
> soll. Ich denke, es läuft darauf hinaus, dass Folgen
> gebildet werden sollen, die in der einen Norm konvergieren
> und in dern anderen nicht. Allerdings weiß ich nicht, wie
> ich dann weiter ansetzen kann..
> Wäre super, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte.
> Lg Wiebke
(C[a,b]; [mm] $||*||_{\infty}$) [/mm] ist ein Banachraum, aber (C[a,b]; [mm] $||*||_{2}$) [/mm] ist kein Banachraum. Somit können die beiden Normen nicht äquivalent sein !
FRED
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