Median von Summe von Zufallsv. < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:14 So 21.11.2010 | | Autor: | Vilietha |
| Aufgabe | Richtig oder falsch? (Mit Beweis)
Ist m ein Median zu X und n ein Median zu Y , so gilt:
• cm ist ein Median zu cX fü̈r jedes c ∈ R .
• m + n ist ein Median zu X + Y . |
Hallo zusammen,
Teil 1 denke ich ist relativ leicht zu lösen.
Wenn m ein Median für X ist, so gilt:
P(X [mm] \le [/mm] m ) [mm] \ge [/mm] 1/2
P(X [mm] \ge [/mm] m ) [mm] \ge [/mm] 1/2
Wir können nun aber folgende Erweiterung vornehmen:
P(X [mm] \le [/mm] m ) = P(cX [mm] \le [/mm] cm ) [mm] \ge [/mm] 1/2
P(X [mm] \ge [/mm] m ) = P(cX [mm] \ge [/mm] cm ) [mm] \ge [/mm] 1/2
Aus diesen Identitäten folgt, dass cm ein Median für cX ist.
Wäre dies ein akzeptabler Beweis?
Bezüglich der Summe von zwei Zufallsvariablen ist mir jedoch kein Beweis gelungen. Ebenso konnte ich kein Gegenbeispiel finden.
Ich bin für jede Hilfe dankbar.
Viele Grüße,
Vilietha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:52 So 21.11.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo Vilietha,
> Richtig oder falsch? (Mit Beweis)
> Ist m ein Median zu X und n ein Median zu Y , so gilt:
> • cm ist ein Median zu cX fü̈r jedes c ∈ R .
>
> • m + n ist ein Median zu X + Y .
> Hallo zusammen,
>
> Teil 1 denke ich ist relativ leicht zu lösen.
>
> Wenn m ein Median für X ist, so gilt:
> P(X [mm]\le[/mm] m ) [mm]\ge[/mm] 1/2
> P(X [mm]\ge[/mm] m ) [mm]\ge[/mm] 1/2
>
> Wir können nun aber folgende Erweiterung vornehmen:
> P(X [mm]\le[/mm] m ) = P(cX [mm]\le[/mm] cm ) [mm]\ge[/mm] 1/2
> P(X [mm]\ge[/mm] m ) = P(cX [mm]\ge[/mm] cm ) [mm]\ge[/mm] 1/2
Das gilt allerdings nur für [mm] $c\ge [/mm] 0$.
> Aus diesen Identitäten folgt, dass cm ein Median für cX
> ist.
>
> Wäre dies ein akzeptabler Beweis?
Könntest du eure Definition des Median von Zufallsvariablen posten?
Die Definition von Wikipedia [mm] $\inf\{x\in\IR\ |\ P(X\le x)\ge \frac12\}$ [/mm] scheint ja nicht eure zu sein.
> Bezüglich der Summe von zwei Zufallsvariablen ist mir
> jedoch kein Beweis gelungen. Ebenso konnte ich kein
> Gegenbeispiel finden.
Es müsste folgendes eigentlich ein Gegenbeispiel sein:
$P(X=1)=P(X=2)=1/6$, $P(X=3)=2/3$ Median: 3
$P(Y=4)=P(Y=5)=1/6$, $P(Y=6)=2/3$ Median: 6
aber [mm] $P(X+Y\le 8)=5/9\ge [/mm] 1/2$
Wahrscheinlich gibt es noch einfachere.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 Mo 22.11.2010 | | Autor: | Vilietha |
Hallo Marc,
Vielen Dank für Deine Antwort.
Unsere Defintion für den Median ist jene, welche ich im ersten Post bereits verwendet hatte.
Und zwar:
m ist ein Median für X falls:
P(X [mm] \le [/mm] m ) [mm] \ge [/mm] 1/2
P(X [mm] \ge [/mm] m ) [mm] \ge [/mm] 1/2
Warum gelten meine Identitäten nicht für negative c?
Und wie würdest Du für diese negative c vorgehen?
Vielen Dank auch für das Gegenbeispiel. An diskrete Räume hatte ich nicht gedacht. Ich hatte immer Räume mit Dichtefunktionen betrachtet, und für diese konnte ich jedoch kein Gegenbeispiel finden.
Viele Grüße,
Vilietha
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