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Mehrdimensionale Extrema: Rückfrage, Idee,Tipp, Hilfe
Status: (Question) answered Status 
Date: 14:46 Do 15/02/2018
Author: Dom_89

Hallo,

ich habe ein kleines Verständnisproblem bei der Bestimmung von mehrdimensionalen Extrema.

Die erste und auch zweite Ableitung nur nach "x" bzw. nur nach "y" ist soweit kein Problem. Jedoch wird innerhalb der Rechnung ja dann auch die "zweite" Ableitung erst nach x und dann nach y gefordert und auch umgekehrt.

Beispiel:

f(x,y) = [mm] \bruch{1}{3}x^{3}-x^{2}+y^{3}-12y [/mm]

hier ist ja dann:

fx(x,y) = [mm] x^{2}-2x [/mm]
fy(x,y) = [mm] 3y^{2}-12 [/mm]

fxx(x,y) = 2x-2
fyy(x,y) = 6y

Nun ist hier ja fyx(x,y) = fxy(x,y) = 0 (Was ich leider bis jetzt nicht nachvollziehen kann)

Mein Gedankengang bisher führt mich auf:

fx(x,y) = [mm] x^{2}-2x [/mm]

fyx(x,y) = 2x-2

Zuerst soll ich ja nach y ableiten, was hier ja nicht mehr geht; anschließend nach x, was mich dann auf obiges Ergebnis führt.

Wo ist der Gedankenfehler von mir ? :(

Vielen Dank!

        
Bezug
Mehrdimensionale Extrema: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 14:55 Do 15/02/2018
Author: Gonozal_IX

Hiho,

> Hallo,
>  
> ich habe ein kleines Verständnisproblem bei der Bestimmung
> von mehrdimensionalen Extrema.
>  
> Die erste und auch zweite Ableitung nur nach "x" bzw. nur
> nach "y" ist soweit kein Problem. Jedoch wird innerhalb der
> Rechnung ja dann auch die "zweite" Ableitung erst nach x
> und dann nach y gefordert und auch umgekehrt.
>  
> Beispiel:
>  
> f(x,y) = [mm]\bruch{1}{3}x^{3}-x^{2}+y^{3}-12y[/mm]
>  
> hier ist ja dann:
>  
> fx(x,y) = [mm]x^{2}-2x[/mm]
>  fy(x,y) = [mm]3y^{2}-12[/mm]
>  
> fxx(x,y) = 2x-2
>  fyy(x,y) = 6y

Bis hierhin stimmt alles.

> Nun ist hier ja fyx(x,y) = fxy(x,y) = 0

Korrekt.

Im Übrigen macht man einen Index mit _
Wenn du mehrere Zeichen als Index setzen willst, kommt das in Geschweifte Klammer: f_x gibt dir also [mm] $f_x$ [/mm] und f_{xy} gibt dir [mm] $f_{xy}$ [/mm]


> Mein Gedankengang bisher führt mich auf:
>  
> fx(x,y) = [mm]x^{2}-2x[/mm]

[ok]

>
> fyx(x,y) = 2x-2

[notok]
Du hast hier wieder zweimal nach x abgeleitet.

> Zuerst soll ich ja nach y ableiten, was hier ja nicht mehr
> geht; anschließend nach x, was mich dann auf obiges
> Ergebnis führt.

Nein… nehmen wir also mal
[mm] $f_x(x,y) [/mm] = [mm] x^{2}-2x$ [/mm]
Wie du bereits richtig erkannt hast, enthält das kein $y$ mehr.
D.h. wenn wir das nach $y$ ableiten, ist alles was da steht in Bezug auf y konstant und die Ableitung von Konstanten ist 0.

D.h. es gilt:
[mm] $f_{xy}(x,y) [/mm] = 0$

Gewöhn dir einfach an:
Terme, die kein y enthalten, sind bei der Ableitung nach y Konstanten.
Analog für x.

Da auch die erste Ableitung nach $y$ keine x mehr aufweist, ist eben die Ableitung von [mm] $f_y$ [/mm] nach x ebenfalls 0.

Kleiner Fingerübung:
Was sind die partiellen Ableitungen von $f(x,y) = xy$ bis zur Ordnung 2?

Gruß,
Gono


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