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| Aufgabe | Berechnen Sie die Ableitung $ [mm] \bruch{\partial^{2}F}{\partial t^{2}} [/mm] $
der wie folgt definierten Funktion:
F(t) := $ [mm] f(x_{1}(t); x_{2}(t)) [/mm] $
Voraussetzung: f : $ [mm] \IR² \to \IR [/mm] $ und $ [mm] x_{1}; x_{2} [/mm] $ : $ [mm] \IR \to [/mm] $ R zweimal stetig differenzierbar |
Die 1. Ableitung ist ja
F'(t) = $ [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_{1}} \bruch{\partial x_{1}}{\partial t} +\bruch{\partial f}{\partial x_{2}} \bruch{\partial x_{2}}{\partial t} [/mm] $
wäre dann die 2.
F''(t)=
$ [mm] \bruch{\partial² f}{\partial x_{1}²} [/mm] * [mm] x_{2}(t) [/mm] * [mm] x_{2}(t) [/mm] * [mm] x_{1}'(t) [/mm] $ + $ [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_{1}} [/mm] * [mm] x_{2}(t) [/mm] * [mm] x_{1}''(t) [/mm] $ + $ [mm] \bruch{\partial² f}{\partial x_{2}²} [/mm] * [mm] x_{1}(t) [/mm] * [mm] x_{1}(t) [/mm] * [mm] x_{2}'(t) [/mm] $ + $ [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_{2}} [/mm] * [mm] x_{1}(t) [/mm] * [mm] x_{2}''(t) [/mm] $
oder hab ich da was falsch gemacht? Muss sagen den überblick da zu behalten ist nicht ganz einfach :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:29 Mo 14.07.2008 | | Autor: | Leipziger |
Ist das zu unübersichtlich? Oder einfach schlichtweg falsch?
Ich überleg nun schon den ganzen tag und komm da nicht voran, wäre nett wenn mir einer helfen könnte!
mfg leipziger
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:45 Mo 14.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Berechnen Sie die Ableitung [mm]\bruch{\partial^{2}F}{\partial t^{2}}[/mm]
>
> der wie folgt definierten Funktion:
> F(t) := [mm]f(x_{1}(t); x_{2}(t))[/mm]
> Voraussetzung: f : [mm]\IR² \to \IR[/mm]
> und [mm]x_{1}; x_{2}[/mm] : [mm]\IR \to[/mm] R zweimal stetig
> differenzierbar
> Die 1. Ableitung ist ja
>
> F'(t) = [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_{1}} \bruch{\partial x_{1}}{\partial t} +\bruch{\partial f}{\partial x_{2}} \bruch{\partial x_{2}}{\partial t}[/mm]
>
> wäre dann die 2.
> F''(t)=
> [mm]\bruch{\partial² f}{\partial x_{1}²} * x_{2}(t) * x_{2}(t) * x_{1}'(t)[/mm]
> + [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_{1}} * x_{2}(t) * x_{1}''(t)[/mm]
> + [mm]\bruch{\partial² f}{\partial x_{2}²} * x_{1}(t) * x_{1}(t) * x_{2}'(t)[/mm]
> + [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_{2}} * x_{1}(t) * x_{2}''(t)[/mm]
>
> oder hab ich da was falsch gemacht? Muss sagen den
> überblick da zu behalten ist nicht ganz einfach :)
ich versteh nicht ganz, woher du die ganzen Faktoren x1 und x2 ohne Punkt hast.
Geh einfach systematisch wie bei der ersten Ableitung vor:
[mm] f''(t)=\bruch{\partial f}{\partial t}(F'(t)
[/mm]
dabei rechnest du mit der Produktregel
[mm] \bruch{\partial }{\partial t}(\bruch{\partial f}{\partial x_{1}*x_1'(t)}=\bruch{\partial f^2}{\partial x_{1}^2}*x_1'^2+\bruch{\partial f}{\partial x_{1}}*x_1''(t)+\bruch{\partial f^2}{\partial x_{1}\partial x_{2}}*x_1'(t)*x_2'(t)+ [/mm] jetzt noch dasselbe mit Ableitung nach [mm] x_2.
[/mm]
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:06 Mo 14.07.2008 | | Autor: | Leipziger |
Dankeschön für die Antwort, sieht auch etwas geordneter aus als mein "Geistesblitz" :)
Leipziger
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