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Hallo,
es geht um die Vorgehensweise bei der Untersuchung von mehrdimensionalen uneigentlichen R-Integralen. Wie man sie berechnet, ist mir klar. Ich bin mir nur nicht ganz sicher, ob ich den Transformationssatz und den Satz von Fubini richtig anwende, bzw. formulieren kann.
Die Aufgabe sieht folgendermaßen aus.
Existiert das folgende Integral als uneigentliches R-Integral?
J= [mm] \integral_{K_1(0)}{1/Euklidische Norm(x) dx}
[/mm]
Dabei bezeichnet [mm] K_1(0) [/mm] = [mm] \left\{x\in\IR^2, mit Euklidische Norm(x)< r\right\}
[/mm]
Wie schon gesagt, wie man es berechnet weiß ich. Nur wie man argumentiert, dass man so rechnen darf ist mir noch nicht ganz klar. Ich formuliere es jetzt mal und vlt. könnte mir jemand ja dann dazu sagen, ob meine Argumentation richtig ist.
Okay es geht los.
Da wir hier eine Singularität in 0 haben, müssen wir das Integral auf ausschöpfenden Teilmengen [mm] D_\epsilon\subset [/mm] D, die quadrierbar sind, berechnen und anschließend den Limes für [mm] \epsilon \to [/mm] 0 betrachten. Existiert dieser, so ist das Integral über den Betrag der Funktion gleichmäßig beschränkt und das uneigentliche Integral existiert.
Um das integral nun zu berechnen, muss zuerst noch auf Polarkoordinaten transformiert werden und der Satz von Fubini angewendet werden.
Dabei sei nun angenommen, dass [mm] F(\bruch{1}{Euklidische Norm(x)}) [/mm] R-integrierbar ist.
Die Abbildung [mm] (r,\theta)\mapsto(x,y) [/mm] = [mm] (r*cos\theta, r*sin\theta) [/mm] = [mm] \Phi(r,\theta) [/mm] ist stetig differenzierbar, bijektiv und Lipschitz-stetig auf dem Intervall [mm] S=(0,2\pi) \times (\epsilon,1), [/mm] welches offen und quadrierbar ist.
Da [mm] \Phi(S) [/mm] = [mm] D_\epsilon [/mm] und die Determinate der Jacobimatrix von [mm] \Phi [/mm] = r ist folgt nach dem Transformationssatz
J [mm] =\integral_{D_ \epsilon}{\bruch{1}{Euklidische Norm(x)}dx} =\integral_{S}{\bruch{1}{r}*rdrd\theta}
[/mm]
Anwendung des Satzes von Fubini auf [mm] S_1 =\left[0,2\pi\right]\times \left[0,r \right] [/mm] (Erweiterung der offenen Intervalle um Nullmenge auf kompakte Intervalle) liefert nun.
J [mm] =\integral_{0}^{2\pi}\integral_{\epsilon}^{1}{\bruch{r}{r}drd\theta}
[/mm]
Kann man das alles so sagen, oder liegen hier grobe Denk/Argumentationsfehler vor?
Vielen Dank für die Hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 29.02.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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