www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Stetigkeit" - Mehrdimensionale Stetigkeit
Mehrdimensionale Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Stetigkeit"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Mehrdimensionale Stetigkeit: Verständnisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:25 Mi 13.11.2019
Autor: bondi

Aufgabe
Bestimme (falls existent) folgende Grenzwerte:

[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} \bruch{x sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2} [/mm]




Hallo,
ich poste die Lösung der Aufgabe, da wir sie zusammen mit einer weiteren Aufgabe zu mehrdimensionaler Stetigkeit bekamen. Die Aufgaben trotz ihrer Ähnlichkeit aber einen vollständig anderen Lösungsansatz verfolgen.
(Kann  gut sein, dass ich das nur auf Grund meiner Ungeübtheit als ähnlich empfinde ). Die Aufgabe ist selbsterklärend. Muss nicht weiter diskutiert werden. Soll auch nur für den Vergleich herhalten.

[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} \bruch{ sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2} = 1 [/mm]



[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} \bruch{x sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2} = \left( \limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} x \right) * \left( \limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} \bruch{ sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2} \right) = 0*1 = 0[/mm]


Die andere Aufgabe lautet:
Bestimme (falls existent) folgende Grenzwerte:

[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} \bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2} [/mm]

Diese seine Lösung geht über Folgen und ich sehe beim besten Willen nicht durch. Ich stell die Lösung morgen vollständig ein.


        
Bezug
Mehrdimensionale Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:07 Mi 13.11.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} \bruch{ sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2} = 1[/mm]

na wenn ihr das schon hattet, ist der andere Grenzwert wirklich trivial.

> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} \bruch{x sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2} = \left( \limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} x \right) * \left( \limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} \bruch{ sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2} \right) = 0*1 = 0[/mm]

Genau deswegen… [ok].  

> Die andere Aufgabe lautet:
>  Bestimme (falls existent) folgende Grenzwerte:
>  
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} \bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}[/mm]
>  
> Diese seine Lösung geht über Folgen und ich sehe beim
> besten Willen nicht durch. Ich stell die Lösung morgen
> vollständig ein.

Willst du die jetzt gelöst haben? Ich bin verwirrt… aber ja, wenn ihr  [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} \bruch{ sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2} = 1[/mm] mit Hilfe von Polarkoordinaten gezeigt hab, kann man hier analog vorgehen… mit der Erkenntnis, dass obiger Grenzwert nicht existiert.

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
Mehrdimensionale Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:59 Do 14.11.2019
Autor: fred97


> Bestimme (falls existent) folgende Grenzwerte:
>  
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} \bruch{x sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2}[/mm]
>  
>
>
> Hallo,
>  ich poste die Lösung der Aufgabe, da wir sie zusammen mit
> einer weiteren Aufgabe zu mehrdimensionaler Stetigkeit
> bekamen. Die Aufgaben trotz ihrer Ähnlichkeit aber einen
> vollständig anderen Lösungsansatz verfolgen.
> (Kann  gut sein, dass ich das nur auf Grund meiner
> Ungeübtheit als ähnlich empfinde ). Die Aufgabe ist
> selbsterklärend. Muss nicht weiter diskutiert werden. Soll
> auch nur für den Vergleich herhalten.
>  
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} \bruch{ sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2} = 1[/mm]
>  
>
>
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} \bruch{x sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2} = \left( \limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} x \right) * \left( \limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} \bruch{ sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2} \right) = 0*1 = 0[/mm]
>  
>
> Die andere Aufgabe lautet:
>  Bestimme (falls existent) folgende Grenzwerte:
>  
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} \bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}[/mm]
>  
> Diese seine Lösung geht über Folgen und ich sehe beim
> besten Willen nicht durch. Ich stell die Lösung morgen
> vollständig ein.
>  

Dass  der  Lösungsansatz hier ein  anderer ist,  mag wohl daran  liegen  weil obiger Grenzwert nicht  existiert. ......




Bezug
        
Bezug
Mehrdimensionale Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:12 Do 14.11.2019
Autor: HJKweseleit


> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} \bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}[/mm]

Bei solchen Aufgaben solltest du der Einfachheit halber folgendermaßen vorgehen:

Wenn der Grenzwert nicht existiert, lässt sich dies oft (nicht immer!) durch Beispielrechnung zeigen, indem man die Limites nacheinander bildet und dann ihre Reihenfolge  vertauscht:


[mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} (\limes_{y\rightarrow\ 0} \bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2})[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{x^2}{x^2}[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} 1 [/mm] = 1

[mm]\limes_{y\rightarrow\ 0} (\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2})[/mm] = [mm]\limes_{y\rightarrow\ 0} \bruch{-y^2}{y^2}[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} -1 [/mm] = -1

Beide Grenzwerte sind verschieden, somit kein gemeinsamer Grenzwert.

Auch wenn diese Grenzwerte gleich wären, wäre das kein Beweis für die Existenz eines gemeinsamen Grenzwertes. Es ist also nur die Suche nach einem Negativ-Beispiel, die aber recht schnell zu bewerkstelligen ist.

Noch eine weitere Kontrollrechnung:

Für x=y ergibt sich [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0),x=y} \bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}[/mm] = = [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{0}{2x^2}[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} 0 [/mm] = 0 , also noch ein anderes Ergebnis.

Bezug
                
Bezug
Mehrdimensionale Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:21 Do 14.11.2019
Autor: bondi

Ich bin mit der Geschichte noch nicht ganz vertraut :)

Die Schreibweise, bei der ich [mm] \limes_{y\rightarrow\ 0} [/mm] laufen lasse, ist

[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \left( \limes_{y\rightarrow\ 0} \bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2} \right) = \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{x^2}{x^2} = \limes_{x\rightarrow\ 0} 1 = 1[/mm]

und umgekehrt [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] laufen lasse, in der Form

[mm] \limes_{y\rightarrow\ 0} \left( \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2} \right) = \limes_{y\rightarrow\ 0} \bruch{-y^2}{y^2} = \limes_{y\rightarrow\ 0} -1 = -1[/mm]

korrekt?



Bezug
                        
Bezug
Mehrdimensionale Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:25 Fr 15.11.2019
Autor: fred97


> Ich bin mit der Geschichte noch nicht ganz vertraut :)
>  
> Die Schreibweise, bei der ich [mm]\limes_{y\rightarrow\ 0}[/mm]
> laufen lasse, ist
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \left( \limes_{y\rightarrow\ 0} \bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2} \right) = \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{x^2}{x^2} = \limes_{x\rightarrow\ 0} 1 = 1[/mm]
>  

Es bedeutet: zunächst halten wir x fest und lassen dann $y [mm] \to [/mm] 0$ gehen. Was heraus kommt ist ein Ausdruck, der nur noch von x abhängt. Nun lassen wir $x [mm] \to [/mm] 0$ gehen.



> und umgekehrt [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}[/mm] laufen lasse, in der
> Form
>
> [mm]\limes_{y\rightarrow\ 0} \left( \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2} \right) = \limes_{y\rightarrow\ 0} \bruch{-y^2}{y^2} = \limes_{y\rightarrow\ 0} -1 = -1[/mm]

Wie oben nur mit vertauschter Reihenfolge von x und y.


>  
> korrekt?
>
>  


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Stetigkeit"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de