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Hi, ich habe eine Aufgabe gerechnet zur Wiederholung wo ich den Kern bestimmen muss. Ich habe die Aufgabe auf 3 verschiedenen Wegen gerechnet und 2 verschiedene Kerne heraus gekommen.
$F: [mm] \IR^3 \to \IR^2$
[/mm]
[mm] $\vektor{x \\ y \\ z} \mapsto \vektor{x +z \\ 2x + 4y + 2z}$
[/mm]
1. Weg:
$I.\ x+z=0 [mm] \Rightarrow [/mm] x=-z [mm] \Rightarrow [/mm] z=-x$
$II.\ 2x+4y+2z=0$
$I\ in\ II$
$2*(-z)+4y+2z=0$
$-2z+4y+2z=0$
$4y=0$
$y=0$
$I\ in\ I$
$x=-(-x)$
$x=x$
$Kern F = [mm] \vektor{x \\ 0 \\ -x}$
[/mm]
2. Weg:
$I.\ x+z=0 [mm] \Rightarrow [/mm] x=-z [mm] \Rightarrow [/mm] z=-x$
$II.\ 2x+4y+2z=0$
$I\ in\ II$
$2*(-z)+4y+2z=0$
$-2z+4y+2z=0$
$4y=0$
$y=0$
$Kern F = [mm] \vektor{-z \\ 0 \\ -x}$
[/mm]
3. Weg:
$I.\ x+z=0 [mm] \Rightarrow [/mm] x=-z [mm] \Rightarrow [/mm] z=-x$
$II.\ 2x+4y+2z=0$
Da es 3 Variablen gibt, habe ich einen Freiheitsgrad. Deshalb setze ich z = 0
I x=-z
x=0
$I\ in\ II$
$2*0+4y+2*0=0$
$-2z+4y+2z=0$
$4y=0$
$y=0$
$Kern F = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}$
[/mm]
Habe ich das falsch errechnet oder warum komme ich 3 mal auf verschiedene "Kern Vektoren"?
Danke!
Gruß Thomas
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