Mehrfache partielle Ableitung < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:12 Mi 31.03.2010 | | Autor: | padawan1 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
könnte mir jemand eventuell den zusammenhang in (6) erklären. Wie komme ich auf diese Schreibweise und was besagen die einzelne Ausdrücke? siehe anhang.
vielen dank
http://i40.tinypic.com/9k6ro9.jpg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:50 Mi 31.03.2010 | | Autor: | gfm |
Kettenregel.
Man differenziert nach [mm] \alpha_i [/mm] und setzt hinterher [mm] \alpha_i=\alpha_i^0 [/mm] ein.
Das [mm] (...)^0 [/mm] bedeutet das Einsetzen der [mm] \alpha_i^0. [/mm]
Gegeben ist ein n-Tupel f von Funktionen [mm] f=(f^{(1)},...,f^{(n)}), [/mm] die jeweils von zwei n-Tupel [mm] x:=(x_1,...,x_n) [/mm] und [mm] \alpha:=(\alpha_1,...,\alpha_n), [/mm] abhängen:
[mm] f(x,\alpha)
[/mm]
und ein n-tupel g von Funktionen [mm] g=(g^{(1)},...,g^{(n)}), [/mm] die jeweils von einem n-Tupel [mm] y:=(y_1,...,y_n) [/mm] abhängen:
g(y)
Nun wird f mit g verkettet und g mit [mm] id(\alpha). [/mm] Dadurch entsteht eine neue Funktion h, die nur von [mm] \alpha [/mm] abhängt:
[mm] h(\alpha):=f(x,\alpha)|_{x=g(y)|_{y=\alpha}}=f(g(\alpha),\alpha)
[/mm]
Nun wird h partiell nach [mm] \alpha [/mm] differenziert:
[mm] \frac{\partial{h}}{\partial{\alpha}}=\frac{\partial{f(g(\alpha),\alpha)}}{\partial{\alpha}}=\vektor{\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(x,\alpha)\frac{\partial{g}}{\partial{\alpha}}+\frac{\partial{f}}{\partial{\alpha}}(x,\alpha)}\Big|_{x=g(\alpha)}
[/mm]
Hinterher verkettet man das ganz mit [mm] id(\alpha^{0}), [/mm] setzt also [mm] \alpha=\alpha^{0}:
[/mm]
[mm] \vektor{\frac{\partial{h}}{\partial{\alpha}}}^0:=\frac{\partial{h}}{\partial{\alpha}}\Big|_{\alpha=\alpha^{0}}=\vektor{\vektor{\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(x,\alpha)\frac{\partial{g}}{\partial{\alpha}}+\frac{\partial{f}}{\partial{\alpha}}(x,\alpha)}\Big|_{x=g(\alpha)}}\Big|_{\alpha=\alpha^{0}}=\vektor{\vektor{\frac{\partial{f}}{\partial{x}}((g(\alpha),\alpha)\frac{\partial{g}}{\partial{\alpha}}+\frac{\partial{f}}{\partial{\alpha}}(g(\alpha),\alpha)}}\Big|_{\alpha=\alpha^{0}}
[/mm]
[mm] =\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(g(\alpha^{0}),\alpha^{0})\frac{\partial{g}}{\partial{\alpha}}\Big|_{\alpha=\alpha^{0}}+\frac{\partial{f}}{\partial{\alpha}}(g(\alpha^{0}),\alpha^{0})=
[/mm]
Dann tauft man g in x zurück um und schreibt teilweise das Einsetzen von [mm] \alpha^{0} [/mm] mit dem Hochstellen einer Null:
[mm] =\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\vektor{\frac{\partial{x}}{\partial{\alpha}}}^0+\frac{\partial{f}}{\partial{\alpha}}
[/mm]
Das ganze muss identisch verschwinden, da das auch schon für f sein soll. Deswegen die Terme mit dem minus auf der anderen Seite der Gleichung.
LG
gfm
BTW: Um mir Indizes zu sparen habe ich das so geschrieben, dass man die partiellen Ableitungen als Matrizen auffassen muss und die Multiplikation von partiellen Ableitungen als Matrizenmultiplikation:
[mm] \frac{\partial{h}}{\partial{\alpha}}:=\vektor{\frac{\partial{h^{i}}}{\partial{\alpha_k}}}_{i, k\in\{1,...,n\}}
[/mm]
[mm] \frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{g}}{\partial{\alpha}} [/mm] ist dann so zu verstehen:
[mm] \vektor{\summe_{k=1...n} \frac{\partial{f^{(i)}}}{\partial{x_k}}\frac{\partial{g^{(k)}}}{\partial{\alpha_j}}}_{i, j\in\{1,...,n\}}
[/mm]
Ach ja und oft wird auch noch wie folgt abgekürzt:
[mm] \frac{\partial{f^{(i)}}}{\partial{x_k}}=:\Big\partial_{\!x_k}\!\!\!\!f^{(i)}=:f^{(i)}_{x_k}=:\partial_{k}f^{(i)}=:f^{(i)}_{k}
[/mm]
Ich würde Nr.2 empfehlen, da dort Operation (Differenzieren) und die Variable nach der differenziert wird, klar ist. Oder zumindest Nr.3, da dort noch klar ist, wonach differenziert wird.
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