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Mehrfachintegral: Grenzen vertauschen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:14 So 23.04.2017
Autor: PeterSteiner

Aufgabe
Hallo zusammen die konkrete Aufgabenstellung lautet wie folgt:

G sei der beschränkte Bereich der x-y-Ebene, der durch dieGeraden

x+2y=0 , x-2y=0 , [mm] x-\pi/2=0 [/mm]

begrenzt is. Man berechne das Inetgral [mm] \integral_{G}^{}{cos(x/2)cos(y) dxdy} [/mm]

Hallo  ich habe ein Problem zu verstehen warum ich die Grenzen nicht einfach vertauschen kann oben ist ein integral um drei geraden Gleichungen gegeben die Grenzen habe ich ermittelt:

Y = -1/2 x
Y= - 1/2x
X=0
X= $ [mm] \pi/2 [/mm] $

Wenn ich das integralen wie in  Der Aufgabenstellung gegeben Einsätze kommt etwas anderes heraus als in meiner Musterlösung warum sind bei der Integrale nicht gleich :

$ [mm] \integral_{-x/2}^{x/2}{\integral_{0}^{\pi/2} {cos(x/2)cos(y)} dxdy} [/mm] $ ungleich $ [mm] \integral_{0}^{\pi/2}{\integral_{-x/2}^{x/2} cos(x/2)cos(y)dydx } [/mm] $

Was mache ich falsch ?

        
Bezug
Mehrfachintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:11 So 23.04.2017
Autor: Event_Horizon

Hallo!

Du mußt auch die Grenzen anpassen!

Im Grunde geht das so:

Aus den gegebenen Grenzen lässt sich leicht einsehen, daß x von 0 bis [mm] \pi/2 [/mm] läuft.
Für ein beliebiges x läuft y dann wegen der ersten beiden Graden von -x/2 bis x/2. Du integrierst hier zuerst über y, dann über x:

[mm] \int_0^{\pi/2}\left(\int_{-x/2}^{x/2}...\,dy\right)\,dx [/mm]

Das muß hier so sein, denn wenn du erst nach x integrierst, und dann nach y, würdest du durch die Grenzen dann wieder Terme abhängig von x rein bekommen.


Andererseits könntest du auch sagen, daß y von [mm] -\pi/4 [/mm] bis [mm] \pi/4 [/mm] läuft. Für ein beliebiges positives y läuft x dann von  2y bis [mm] \pi/2, [/mm] für negative y von -2y bis [mm] \pi/2. [/mm] Man könnte allgemein auch sagen, daß x von 2|y| bis [mm] \pi/2 [/mm] läuft. Hier integrierst du zuerst über x, und dann über y:

[mm] \int_{-\pi/4}^{\pi/4}\left(\int_{2|y|}^{\pi/2}...\,dx\right)\,dy [/mm] = [mm] \int_{-\pi/4}^{0}\left(\int_{-2y}^{\pi/2}...\,dx\right)\,dy [/mm] + [mm] \int_{0}^{\pi/4}\left(\int_{2y}^{\pi/2}...\,dx\right)\,dy [/mm]


Bezug
        
Bezug
Mehrfachintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:39 So 23.04.2017
Autor: chrisno

Zeichne Dir das Gebiet auf. Integrieren in y-Richtung heißt veranschaulicht: entlang einer Strecke in y-Richtung alle auf dieser Strecke liegenden Werte addieren. Ich denke also in Summen, anstelle von Integralen, die Strecken sind dann Rechtecke. Dies wird für jede Strecke innerhalb des Integrationsbereichs in y-Richtung durchgeführt. Für jeden Wert von x ergibt sich eine andere Strecke in y-Richtung. Die Integration in x-Richtung ist dann die Addition aller vorher bestimmten Werte.

Wenn Du nun zuerst in x-Richtung integrierst, dann hängen die Grenzen der Strecken davon ab, bei welchem y-Wert Du gerade bist. Diese Grenzen sind ganz andere, als vorher bei der Integration in y-Richtung. Daher musst Du beim Vertauschen der Integrationsreihenfolge auch die Grenzen umrechnen.

Bezug
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