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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:10 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Lyrone |
| Aufgabe | Ein Dreieck in der [mm]x-y-[/mm] Ebene hat 3 Endpunkte [mm]P_1(0,1), \ P_2(0,13), \ P_3(4,5)[/mm]. Berechnen Sie das Integral
[mm]\integral{\integral_{\Delta}{x \cdot y} \ dx}[/mm] |
Hallo,
ich habe die Aufgabe gelöst, aber ich glaube ich habe es falsch gemacht. Ich habe mir dazu eine Skizze gebastelt um die Grenzen festzulegen.
Mein Integral sieht folgendermaßen aus:
[mm]\integral_0^4{\integral_{x+1}^{-2x + 13}{x \cdot y \ dy} \ dx} = \frac{1}{2} \integral_0^4{3x^3 - 54x^2 + 168x \ dx}[/mm]
[mm] = \frac{1}{2} \left[\frac{3}{4} - \frac{54}{3}x^3 + \frac{168}{2}x^2\right]_0^4 = 192[/mm]
Sind die Grenzen richtig festgelegt?
Für Leute die sich eine Skizze gemacht haben, habe ich mal ne allgemeine Frage ... . Kann ich das Integral in 2 aufsplitten, mit jeweils unterschiedlichen Grenzen?
Ich habe z.B. das Dreieck in 2 Teile aufgeteilt, parallel zur x Achse habe ich mit y = 5 alles über den Strich als [mm] G_1 [/mm] und alles unter dem Strich als [mm] G_2 [/mm] bezeichnet. Zusammen addiert muesste es doch auch gehen oder?
Mein Integral sehe dann so aus:
[mm]\integral_0^4{\integral_{0}^{x}{x \cdot y \ dy} \ dx} = G_2[/mm]
[mm]\integral_0^4{\integral_{0}^{-2x}{x \cdot y \ dy} \ dx} = G_1[/mm]
Aus der Summe der beiden habe ich 160 bekommen. Ich hoffe mein Gedankengang ist einigermaßen nachzuvollziehen. Ich glaube schon eher dass das Ergebnis oben mit dem 192 stimmt, aber warum klappt denn meine Split Variante nicht? Die Fläche, die ich integriere ist ja eigentlich gleich.
Schönen Gruß,
Lyrone
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> Ein Dreieck in der [mm]x-y-[/mm] Ebene hat 3 Endpunkte [mm]P_1(0,1), \ P_2(0,13), \ P_3(4,5)[/mm].
> Berechnen Sie das Integral
>
> [mm]\integral{\integral_{\Delta}{x \cdot y} \ dx}[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe die Aufgabe gelöst, aber ich glaube ich habe es
> falsch gemacht. Ich habe mir dazu eine Skizze gebastelt um
> die Grenzen festzulegen.
>
> Mein Integral sieht folgendermaßen aus:
>
> [mm]\integral_0^4{\integral_{x+1}^{-2x + 13}{x \cdot y \ dy} \ dx} = \frac{1}{2} \integral_0^4{3x^3 - 54x^2 + 168x \ dx}[/mm]
>
> [mm]= \frac{1}{2} \left[\frac{3}{4} - \frac{54}{3}x^3 + \frac{168}{2}x^2\right]_0^4 = 192[/mm]
>
> Sind die Grenzen richtig festgelegt?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> Für Leute die sich eine Skizze gemacht haben, habe ich mal
> ne allgemeine Frage ... . Kann ich das Integral in 2
> aufsplitten, mit jeweils unterschiedlichen Grenzen?
>
> Ich habe z.B. das Dreieck in 2 Teile aufgeteilt, parallel
> zur x Achse habe ich mit y = 5 alles über den Strich als
> [mm]G_1[/mm] und alles unter dem Strich als [mm]G_2[/mm] bezeichnet. Zusammen
> addiert muesste es doch auch gehen oder?
>
> Mein Integral sehe dann so aus:
>
> [mm]\integral_0^4{\integral_{0}^{x}{x \cdot y \ dy} \ dx} = G_2[/mm]
als grenzen für y hab ich bei der unteren "hälfte" x+1 und 5
>
> [mm]\integral_0^4{\integral_{0}^{-2x}{x \cdot y \ dy} \ dx} = G_1[/mm]
bei der oberen "hälfte" 5 und -2*x+13
zusammen bekomme ich auch da 192 raus. wie bist du denn auf diese grenzen gekommen?
>
> Aus der Summe der beiden habe ich 160 bekommen. Ich hoffe
> mein Gedankengang ist einigermaßen nachzuvollziehen. Ich
> glaube schon eher dass das Ergebnis oben mit dem 192
> stimmt, aber warum klappt denn meine Split Variante nicht?
> Die Fläche, die ich integriere ist ja eigentlich gleich.
>
> Schönen Gruß,
> Lyrone
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Lyrone |
Hallo fencheltee,
danke für deinen Beitrag.
> >
> > [mm]\integral_0^4{\integral_{0}^{x}{x \cdot y \ dy} \ dx} = G_2[/mm]
>
> als grenzen für y hab ich bei der unteren "hälfte" x+1
> und 5
> >
> > [mm]\integral_0^4{\integral_{0}^{-2x}{x \cdot y \ dy} \ dx} = G_1[/mm]
>
> bei der oberen "hälfte" 5 und -2*x+13
>
> zusammen bekomme ich auch da 192 raus. wie bist du denn auf
> diese grenzen gekommen?
Jetzt wo du mich so fragst, frage ich mich das auch.
Ich habe sie Unabhänig von den Koordinaten gesehen. Schwer zu beschreiben, kann es jetzt auch nicht mehr ganz nachvollziehen.
Danke für deinen Hinweis mit den Grenzen, hatte vorher einen falschen Ansatz.
Schönen Gruß,
Lyrone.
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