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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:24 Mo 15.08.2011 | | Autor: | Roffel |
Servus
ich soll ein Volumen berechnen von :
T := {f(x, y, z)| x + y + z [mm] \le [/mm] 1, x, y, z [mm] \ge [/mm] 0} [mm] \IR^{3}
[/mm]
und ich versteh einfach nicht wie man auf die 3 Intervallegrenzen bei den jeweiligen integralen kommt, ich habs mir mal aufgezeichnet aber das hilft mir auch nicht, ich hätte gesagt immer von 0 bis 1 ,
aber die lösung ist ja 0 bis 1 dann 0 bis 1-x und dann 0 bis 1-x-y
kann mir jemand das mal bitte ganz genau und leicht erklären??
thx a lot
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Hallo Roffel,
Du hast hier einen Körper, der von vier Ebenen begrenzt wird.
> ich soll ein Volumen berechnen von :
> [mm] T:=\{f(x,y,z)|x+y+z\le{1},\ x,y,z\ge 0\}\ \IR^{3}
[/mm]
1. Ebene: x+y+z=1
2. Ebene: x=0
3. Ebene: y=0
4. Ebene: z=0
Es handelt sich um eine Dreieckspyramide, deren Grundfläche sogar ein gleichseitiges Dreieck ist. Dieses Dreieck liegt allerdings in der 1. Ebene, die nicht so leicht vorstellbar ist wie die drei andern.
> und ich versteh einfach nicht wie man auf die 3
> Intervallegrenzen bei den jeweiligen integralen kommt,
Das ist auch Sinn der Aufgabe. Statt die Pyramide auf ihre Grundfläche zu legen, werden gerade die drei anderen Seiten in die Koordinatenebenen platziert.
> ich
> habs mir mal aufgezeichnet aber das hilft mir auch nicht,
> ich hätte gesagt immer von 0 bis 1 ,
Dann hast Du einen Würfel. Für x=y=z=1 ist die erste Ungleichung doch ganz und gar nicht erfüllt.
> aber die lösung ist ja 0 bis 1 dann 0 bis 1-x und
> dann 0 bis 1-x-y
Eine mögliche Lösung. Es gibt fünf weitere, je nachdem, in welcher Reihenfolge das Dreifachintegral aufgestellt wird.
Hier also von innen nach außen:
x darf nicht kleiner als 0 und nicht größer als eins sein, letzteres, weil die erste Ungleichung dann nicht erfüllt wäre. Also muss gelten:
[mm] 0\le x\le{1}.
[/mm]
y darf nicht kleiner als 0 sein, aber auch nicht größer als 1-x, weils sonst selbst für z=0 die erste Ungleichung nicht erfüllt wäre.
Und das gleiche Spiel dann noch einmal für z. Wäre z>1-x-y, dann wäre x+y+z>1, wie leicht zu ermitteln ist.
Also lautet eine korrekte Aufstellung (von sechs) des Dreifachintegrals:
[mm] \integral_{0}^{1-x-y}\integral_{0}^{1-x}\integral_{0}^{1}{1\ dx\ dy\ dz}
[/mm]
> kann mir jemand das mal bitte ganz genau und leicht
> erklären??
Hm. Weiß ich nicht. Aber ich habs versucht. 
> thx a lot
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Di 16.08.2011 | | Autor: | Roffel |
Danke dir, das war schon ziemlich gut erklärt...
ich bräuchte jetzt noch eine analytisch lösung..:)
> > ich soll ein Volumen berechnen von :
> > [mm]T:=\{f(x,y,z)|x+y+z\le{1},\ x,y,z\ge 0\}\ \IR^{3}[/mm]
>
> 1. Ebene: x+y+z=1
> 2. Ebene: x=0
> 3. Ebene: y=0
> 4. Ebene: z=0
wenn ich das jetzt so habe,
kann ich dann das rechnerisch irgendwie angehen, also mit x usw. einsetzen und die einzelnen gleichungen erfüllen??und so x , y und z nacheinander abarbeiten?.
du hast es mir ähnlich unten versucht zu erklären, was mir aber leider noch nicht ganz klar geworden ist...
könntest du das ma schritt für schritt mit einsetzen in die Gleichung machen, falls das überhaupt irgendwie, vielleicht red ich grad auch wieder Quatsch =)
Grüße
Roffel
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Hallo Roffel,
> Danke dir, das war schon ziemlich gut erklärt...
>
> ich bräuchte jetzt noch eine analytisch lösung..:)
>
> > > ich soll ein Volumen berechnen von :
> > > [mm]T:=\{f(x,y,z)|x+y+z\le{1},\ x,y,z\ge 0\}\ \IR^{3}[/mm]
> >
> > 1. Ebene: x+y+z=1
> > 2. Ebene: x=0
> > 3. Ebene: y=0
> > 4. Ebene: z=0
>
>
> wenn ich das jetzt so habe,
> kann ich dann das rechnerisch irgendwie angehen, also mit
> x usw. einsetzen und die einzelnen gleichungen
> erfüllen??und so x , y und z nacheinander abarbeiten?.
> du hast es mir ähnlich unten versucht zu erklären, was
> mir aber leider noch nicht ganz klar geworden ist...
>
> könntest du das ma schritt für schritt mit einsetzen in
> die Gleichung machen, falls das überhaupt irgendwie,
> vielleicht red ich grad auch wieder Quatsch =)
>
Aus der Ungleichung [mm]x+y+z \le 1[/mm] folgt zunächst [mm]z \le 1-x-y[/mm]
Da aber [mm]z \ge 0[/mm] sein muss, muss auch [mm]0 \le 1-x-y[/mm] gelten.
Hieraus ergibt sich [mm]y \le 1-x[/mm].
Da aber [mm]y \ge 0[/mm] sein muss, muss auch [mm]0 \le 1-x[/mm] gelten.
Hieraus ergibt sich wiederum [mm]x \le 1[/mm]
Damit hast Du Deine Grenzen rechnerisch ermittelt
und das zu berechende Integral lautet:
[mm]\integral_{x=0}^{1}{ \integral_{y=0}^{1-x} {\integral_{z=0}^{1-x-y} 1 \ dz} \ dy}\ dx}[/mm]
>
> Grüße
> Roffel
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:30 Di 16.08.2011 | | Autor: | Roffel |
Sehr schön!
herzlichen Dank euch beiden,
dann hoffe ich ja mal das morgen um 8:30Uhr alles gut geht =)
Gruß
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