Mehrfachintegrale Zylinderkoor < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:26 So 22.03.2015 | | Autor: | Robienchen |
| Aufgabe | Gegeben ist ein Zylinder mit [mm] \Omega [/mm] = [mm] \{\overrightarrow{x}(r,\phi,z) : r < 1, \phi \in [0, 2\pi), z \in (0,2]\} [/mm] mit höhenabhängiger Dichte [mm] p(\overrightarrow{x})= [/mm] 8-z.
Berechnen Sie den Schwerpunkt [mm] \overrightarrow{x_{s}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{m} \integral_{\Omega}^{}{\overrightarrow{x} p(\overrightarrow{x}) dV} [/mm] , mit m = [mm] \integral_{\Omega}^{}{p(\overrightarrow{x}) dV} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
1.) m = [mm] \integral_{\Omega}^{}{p(\overrightarrow{x}) dV} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2}\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{2\pi}{(8-z) * r *d\phi dr dz} [/mm] = [mm] 14\pi
[/mm]
Auf dieses Ergebnis komme ich auch mit den Rechenregeln für Mehrfachintegrale, danach wird es dann allerdings problematisch
2.) [mm] \overrightarrow{x_{s}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{m} \integral_{\Omega}^{}{\overrightarrow{x} p(\overrightarrow{x}) dV}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{x} [/mm] in Zylinderkoordinaten:
[mm] x_{1}= r*cos\phi, r\ge [/mm] 1; [mm] x_{2}= r*sin\phi, 0\le \phi\le 2\pi; x_{3}= [/mm] z
Jetzt stelle ich die Formel für [mm] \overrightarrow{x_{s}} [/mm] auf
[mm] \overrightarrow{x_{s}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{14\pi}\integral_{0}^{2}\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{2\pi}{(8-z)\vektor{r*cos\phi \\ r*sin\phi \\ z}*r*d\phi dr dz}
[/mm]
ich verstehe aber nicht genau wie ich das jetzt integriere mit dem Vektor? das Ergebnis soll [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ \bruch{20}{21}} [/mm] sein, aber ich komme da nicht drauf. Ich hatte jetzt den Vektor versucht nach [mm] \phi [/mm] zu integrieren, und da hatte ich [mm] \vektor{ r* sin\phi \\ r* (-cos\phi) \\ z\phi } [/mm] raus, aber irgendwie ist das glaube ich Quatsch, weil wenn ich das in den gegeben Grenzen subtrahiere kommt da Null raus.
Es wäre super nett wenn mir jemand zeigen könnte wie man sowas löst.
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Hallo Robienchen,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben ist ein Zylinder mit [mm]\Omega[/mm] =
> [mm]\{\overrightarrow{x}(r,\phi,z) : r < 1, \phi \in [0, 2\pi), z \in (0,2]\}[/mm]
> mit höhenabhängiger Dichte [mm]p(\overrightarrow{x})=[/mm] 8-z.
>
> Berechnen Sie den Schwerpunkt [mm]\overrightarrow{x_{s}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{m} \integral_{\Omega}^{}{\overrightarrow{x} p(\overrightarrow{x}) dV}[/mm]
> , mit m = [mm]\integral_{\Omega}^{}{p(\overrightarrow{x}) dV}[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> 1.) m = [mm]\integral_{\Omega}^{}{p(\overrightarrow{x}) dV}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{2}\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{2\pi}{(8-z) * r *d\phi dr dz}[/mm]
> = [mm]14\pi[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Auf dieses Ergebnis komme ich auch mit den Rechenregeln
> für Mehrfachintegrale, danach wird es dann allerdings
> problematisch
>
> 2.) [mm]\overrightarrow{x_{s}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{m} \integral_{\Omega}^{}{\overrightarrow{x} p(\overrightarrow{x}) dV}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{x}[/mm] in Zylinderkoordinaten:
> [mm]x_{1}= r*cos\phi, r\ge[/mm] 1; [mm]x_{2}= r*sin\phi, 0\le \phi\le 2\pi; x_{3}=[/mm]
> z
>
> Jetzt stelle ich die Formel für [mm]\overrightarrow{x_{s}}[/mm]
> auf
>
> [mm]\overrightarrow{x_{s}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{14\pi}\integral_{0}^{2}\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{2\pi}{(8-z)\vektor{r*cos\phi \\ r*sin\phi \\ z}*r*d\phi dr dz}[/mm]
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> ich verstehe aber nicht genau wie ich das jetzt integriere
> mit dem Vektor? das Ergebnis soll [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ \bruch{20}{21}}[/mm]
> sein, aber ich komme da nicht drauf. Ich hatte jetzt den
> Vektor versucht nach [mm]\phi[/mm] zu integrieren, und da hatte ich
> [mm]\vektor{ r* sin\phi \\ r* (-cos\phi) \\ z\phi }[/mm] raus, aber
> irgendwie ist das glaube ich Quatsch, weil wenn ich das in
> den gegeben Grenzen subtrahiere kommt da Null raus.
>
> Es wäre super nett wenn mir jemand zeigen könnte wie man
> sowas löst.
Das ist komponentenweise zu integrieren:
Demnach ergeben sich folgende Formeln:
[mm]x_{1}_{s}=\bruch{1}{14\pi}\integral_{0}^{2}\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{2\pi}{(8-z )\ \blue{r*cos\phi} \ *r*d\phi dr dz}[/mm]
[mm]x_{2}_{s}=\bruch{1}{14\pi}\integral_{0}^{2}\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{2\pi}{(8-z)\ \blue{r*sin\phi} \ *r*d\phi dr dz}[/mm]
[mm]x_{3}_{s}=\bruch{1}{14\pi}\integral_{0}^{2}\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{2\pi}{(8-z)\ \blue{z} \ *r*d\phi dr dz}[/mm]
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | | Das ist komponentenweise zu integrieren: |
okay für
[mm] x_{3}_{s}=\bruch{1}{14\pi}\integral_{0}^{2}\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{2\pi}{(8-z)\ \blue{z} \ \cdot{}r\cdot{}d\phi dr dz}
[/mm]
bekomme ich auch das richtige raus, aber für x1 und x2 irgendwie nicht:
[mm] x_{1}_{s}=\bruch{1}{14\pi}\integral_{0}^{2}\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{2\pi}{(8-z )\ \blue{r\cdot{}cos\phi} \ \cdot{}r\cdot{}d\phi dr dz}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{14\pi}\integral_{0}^{2}\integral_{0}^{1}{[(8-z )\ \blue{r^{2}\cdot{}sin\phi} ] dr dz}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{14\pi}\integral_{0}^{2}\integral_{0}^{1}((8-z )r^{2}sin(2\pi))-((8-z )r^{2}sin(0)) [/mm] dr dz
= [mm] \bruch{1}{14\pi}\integral_{0}^{2}\integral_{0}^{1}((8-z )r^{2}*0)-((8-z )r^{2}*0) [/mm] dr dz
= [mm] \bruch{1}{14\pi}\integral_{0}^{2}\integral_{0}^{1} [/mm] 0 dr dz
und jetzt?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:48 Mi 12.08.2015 | | Autor: | chrisno |
= 0
Falls ich nicht etwas falsch sehe, sollten [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] auch Null sein.
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| Aufgabe | | weiter integrieren ... |
wieso? wenn ich 0 nach dr intergriere kommt doch ne konstante bei raus oder nicht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:19 Do 13.08.2015 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> weiter integrieren ...
> wieso? wenn ich 0 nach dr intergriere kommt doch ne
> konstante bei raus oder nicht?
nein, nicht bei einem bestimmten Integral. Sonst wäre ja die Fläche, welche die Nullfunktion mit der x-Achse (quasi mit sich selbst) einschließt ungleich 0. Rechne das Integral doch mal explizit aus, dann siehst Du, dass 0 rauskommt.
Gruß,
notinX
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