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Hallo Matheraum...
Ich habe leider eine sehr interessante Aufgabe gefunden, mit der ich mich nun schon seit einigen Stunden rumschlage.
Gegeben sei ein zylindrisches Saftglas der Innenhöhe 6cm und dem Innendurchmesser 4cm. Das Glas wird um 45° gekippt. Wieviel Saft passt jetzt noch in das Saftglas ohne überzufließen?
Es soll einmal durch Mehrfachintegration und zum anderen durch Transformation in geeignete Koordinaten gerechnet werden.
Meine Bisherige Idee zur Berechnung der Aufgabe durch Mehrfachintegration war folgende:
Ich beschreibe zunächst einmal die Menge.
Es ergibt sich [mm] A=\left\{ (x,y,z) \in \IR^3 | x^2+y^2=4 , 0 \le z \le 6 \right\}
[/mm]
Damit habe ich ja eigentlich einen Zylinder beschrieben. Er hat den Mittelpunkt (0,0), mit dem Innendurchmesser 4cm und der Höhe 6cm.
Das Glas wird ja nun um 45° gekippt. Und hier liegt eigentlich auch mein größtes Problem. Wie beschreibe ich die ganze Menge nun, wenn das ganze um 45° gekippt wird?
Und gehe ich recht in der Annahme, dass ich das Volumenintegral verwende? Also [mm] \integral \integral \integral_A [/mm] dV
hoffe ihr könnt mich ein wenig unterstützen... Danke im Voraus
mfg dodo4ever
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> Hallo Matheraum...
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> Ich habe leider eine sehr interessante Aufgabe gefunden,
> mit der ich mich nun schon seit einigen Stunden
> rumschlage.
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> Gegeben sei ein zylindrisches Saftglas der Innenhöhe 6cm
> und dem Innendurchmesser 4cm. Das Glas wird um 45°
> gekippt. Wieviel Saft passt jetzt noch in das Saftglas ohne
> überzufließen?
>
> Es soll einmal durch Mehrfachintegration und zum anderen
> durch Transformation in geeignete Koordinaten gerechnet
> werden.
>
> Meine Bisherige Idee zur Berechnung der Aufgabe durch
> Mehrfachintegration war folgende:
>
> Ich beschreibe zunächst einmal die Menge.
> Es ergibt sich [mm]A=\left\{ (x,y,z) \in \IR^3 | x^2+y^2=4 , 0 \le z \le 6 \right\}[/mm]
>
> Damit habe ich ja eigentlich einen Zylinder beschrieben. Er
> hat den Mittelpunkt (0,0), mit dem Innendurchmesser 4cm und
> der Höhe 6cm.
>
> Das Glas wird ja nun um 45° gekippt. Und hier liegt
> eigentlich auch mein größtes Problem. Wie beschreibe ich
> die ganze Menge nun, wenn das ganze um 45° gekippt wird?
>
> Und gehe ich recht in der Annahme, dass ich das
> Volumenintegral verwende? Also [mm]\integral \integral \integral_A[/mm]
> dV
>
> hoffe ihr könnt mich ein wenig unterstützen... Danke im
> Voraus
>
> mfg dodo4ever
Hallo,
man kann die Aufgabe ganz leicht ohne Integration lösen !
Überleg dir zuerst die einfachere, aber analoge Aufgabe,
wie man ein Trapez mit zwei rechten Winkeln in ein flächen-
gleiches Rechteck verwandelt.
Dann mach dir klar, wie hoch das Wasser im Glas steht,
wenn du es zuerst in der um 45° gekippten Lage bis zum
Überlaufen gefüllt hast und dann wieder gerade hinstellst.
Natürlich ist die Lösung durch Integration ebenfalls
interessant - ich möchte dich nicht davon abhalten !
LG Al-Chw.
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> Hallo,
> man kann die Aufgabe ganz leicht ohne Integration lösen !
> Überleg dir zuerst die einfachere, aber analoge Aufgabe,
> wie man ein Trapez mit zwei rechten Winkeln in ein flächen-
> gleiches Rechteck verwandelt.
> Dann mach dir klar, wie hoch das Wasser im Glas steht,
> wenn du es zuerst in der um 45° gekippten Lage bis zum
> Überlaufen gefüllt hast und dann wieder gerade hinstellst.
> Natürlich ist die Lösung durch Integration ebenfalls
> interessant - ich möchte dich nicht davon abhalten !
> LG Al-Chw.
Hallo und Danke...
Ich finde es interessant, wie du an die Sache rangehen würdest. Bei zeiten werde ich das mal versuchen.
Ich weiß ja an wen ich mich dann wenden kann ;)
Leider sind wir gerade beim Thema Mehrfachintegration und Transformation angekommen. Ich werde also leider nicht drum herum kommen...
Hier nochmal die Aufgabe und meine Idee:
Gegeben sei ein zylindrisches Saftglas der Innenhöhe 6cm und dem Innendurchmesser 4cm. Das Glas wird um 45° gekippt. Wieviel Saft passt jetzt noch in das Saftglas ohne überzufließen?
Es soll einmal durch Mehrfachintegration und zum anderen
durch Transformation in geeignete Koordinaten gerechnet
werden.
Meine Bisherige Idee zur Berechnung der Aufgabe durch
Mehrfachintegration war folgende:
Ich beschreibe zunächst einmal die Menge.
Es ergibt sich [mm] A=\left\{ (x,y,z) \in \IR^3 | x^2+y^2=4 , 0 \le z \le 6 \right\}
[/mm]
Damit habe ich ja eigentlich einen Zylinder beschrieben. Er
hat den Mittelpunkt (0,0), mit dem Innendurchmesser 4cm und
der Höhe 6cm.
Das Glas wird ja nun um 45° gekippt. Und hier liegt
eigentlich auch mein größtes Problem. Wie beschreibe ich
die ganze Menge nun, wenn das ganze um 45° gekippt wird?
Und gehe ich recht in der Annahme, dass ich das
Volumenintegral verwende? Also [mm] \integral \integral \integral_A
[/mm]
dV
mfg dodo4ever
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Hallo und danke...
Okay interessant.
Hier mal meine herangehensweise:
Das Saftglas wird um 45° (Sagen wir im Uhrzeigersinn) gekippt. Die Höhe z des Zylinders ändert sich somit.
Die höhe des gekippten Saftglases ergibt sich zu:
[mm] sin(45°)=\bruch{Gegenkathete}{Hypothenuse}
[/mm]
Gegenkathete=Hypothenuse [mm] \cdot [/mm] sin(45°)
Bzw. Besser: HöheGekipptesSaftglases=4,24 (Schade kein runder Wert...)
Also für die Menge: [mm] A=\left\{ (x,y,z) \in \IR^2 | x^2+y^2 \le 4 , 0 \le z \le 4,24 \right\}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Fr 27.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Fr 27.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Gegeben sei ein zylindrisches Saftglas der Innenhöhe 6cm
> und dem Innendurchmesser 4cm. Das Glas wird um 45°
> gekippt. Wieviel Saft passt jetzt noch in das Saftglas ohne
> überzufließen?
>
> Es soll einmal durch Mehrfachintegration und zum anderen
> durch Transformation in geeignete Koordinaten gerechnet
> werden.
> Ich beschreibe zunächst einmal die Menge.
> Es ergibt sich [mm]A=\left\{ (x,y,z) \in \IR^3\, |\ x^2+y^2=4 , 0 \le z \le 6 \right\}[/mm]
Anstatt [mm] x^2+y^2=4 [/mm] sollte da stehen [mm] x^2+y^2\le4
[/mm]
> Damit habe ich ja eigentlich einen Zylinder beschrieben. Er
> hat den Mittelpunkt (0,0), mit dem Innendurchmesser 4cm und
> der Höhe 6cm.
>
> Das Glas wird ja nun um 45° gekippt. Und hier liegt
> eigentlich auch mein größtes Problem. Wie beschreibe ich
> die ganze Menge nun, wenn das ganze um 45° gekippt wird?
Kippe das Koordinatensystem mit dem Glas mit.
Was sich gegenüber der obigen Menge A ändert,
ist nur die Obergrenze für die z-Koordinate. Anstelle
der Ebene z=6 hast du eine andere Ebene als Begren-
zungsfläche. Stell zuerst eine mögliche Gleichung
für eine solche Ebene auf !
> Und gehe ich recht in der Annahme, dass ich das
> Volumenintegral verwende? Also [mm]\integral \integral \integral_A\ dV[/mm]
Ja.
LG Al-Chw.
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Hallo und danke...
Okay interessant.
Hier mal meine herangehensweise:
Das Saftglas wird um 45° (Sagen wir im Uhrzeigersinn) gekippt. Die Höhe z des Zylinders ändert sich somit.
Die höhe des gekippten Saftglases ergibt sich zu:
[mm] sin(45°)=\bruch{Gegenkathete}{Hypothenuse}
[/mm]
Gegenkathete=Hypothenuse [mm] \cdot [/mm] sin(45°)
Bzw. Besser: HöheGekipptesSaftglases=4,24 (Schade kein runder Wert...)
Also für die Menge: [mm] A=\left\{ (x,y,z) \in \IR^2 | x^2+y^2 \le 4 , 0 \le z \le 4,24 \right\}
[/mm]
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> Hallo und danke...
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> Okay interessant.
>
> Hier mal meine Herangehensweise:
>
> Das Saftglas wird um 45° (Sagen wir im Uhrzeigersinn)
> gekippt. Die Höhe z des Zylinders ändert sich somit. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Anstatt des ursprünglichen Zylinders haben wir jetzt
einen Zylinder, dessen Deckfläche nicht mehr parallel
zur (kreisförmigen) Grundfläche ist, sondern schräg
dazu liegt. Diese Deckfläche liegt in einer Ebene E,
die man durch eine Gleichung in x und z beschreiben
kann.
[Dateianhang nicht öffentlich]
LG
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo und danke für die Hilfe...
Ich hatte zwar eine ähnliche Skizze angefertigt, diese aber scheinbar falsch interpretiert, jetzt ist mir klar geweorden, was du gemeint hast.
Naja die Ebene E kann ich doch eigentlich beschreiben durch z=mx+n oder ???
Angenommen ich drehe das Saftglas wieder um 45° nach links, lass aber den Flüssigkeitsspiegel so wie er ist. Natülich entgegen aller Physikalischen Regeln...
mfg dodo4ever
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> Hallo und danke für die Hilfe...
>
> Ich hatte zwar eine ähnliche Skizze angefertigt, diese
> aber scheinbar falsch interpretiert, jetzt ist mir klar
> geworden, was du gemeint hast.
>
> Naja die Ebene E kann ich doch eigentlich beschreiben durch
> z=mx+n oder ???
Klar - nur noch m und n bestimmen !
> Angenommen ich drehe das Saftglas wieder um 45° nach
> links, lass aber den Flüssigkeitsspiegel so wie er ist.
> Natülich entgegen aller Physikalischen Regeln...
In einer kalten Nacht kannst du das Ganze ausprobieren:
fixiere das Glas auf dem Balkon in der Schräglage, fülle
Wasser ein, lass es gefrieren - und am Morgen hast du den
Eisblock, den du aus dem Glas nehmen (kurze warme
Dusche auf das umgedrehte Glas löst den Block heraus)
und drehen kannst wie du willst. Du könntest
ihn auch in geeigneter Weise zersägen und die Teile zu
einem "gewöhnlichen" Zylinder mit Deckfläche parallel
zur Grundfläche zusammensetzen - sie würden sogar
wieder zusammenfrieren ...
Ich hoffe, dass das Glas nicht platzt 
LG
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Ach ja... :))) So macht Mathe spaß
Also nun wieder zurück zu meinem Problem ;)
Die Gleichung wird beschrieben durch z=mx+n
Wir haben einen Winkel von 45° daher haben wir eine PERFEKTE Steigung und m=1
n berechnen wir, indem wir gucken, wie weit der Flüssigkeitsspiegel abgenommen hat. Das mache ich durch
[mm] tan(45°)=\bruch{Gegenkathete}{Ankathete}, [/mm] mit Ankathete =2cm
[mm] \Rightarrow [/mm] Gegenkathete=2cm
Also ergibt sich n=4 und die Gleichung lautet z=x+4
[Dateianhang nicht öffentlich]
Aber wie das ganze nun anwenden ???
[mm] A=\left\{ (x,y,z) \in \IR^2 | x^2+y^2 \le 4 , z=x+4 \right\} [/mm] ???
Und somit dann nur noch das Integral [mm] \integral \integral \integral [/mm] dV ???
ODER brauch ich nun nur noch über x und z integrieren???
mfg dodoever
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo und danke...
Ja du hast natürlich recht. Es muss heißen:
[mm] A=\left\{ (x,y,z) \in \IR^2 | x^2+y^2 \le 4 , 0 \le z \le x+4 \right\}
[/mm]
Oh man aber das Integral ist die Härte...
Es gilt doch nun: [mm] \integral_{x=-2}^2 \integral_{y=-\wurzel{4-x^2}}^{\wurzel{4-x^2}} \integral_{z=0}^{x+4} [/mm] dV= [mm] \integral_{y=-2}^2 \integral_{y=-\wurzel{4-x^2}}^{\wurzel{4-x^2}} \integral_{z=0}^{x+4} [/mm] dxdydz
Wie sieht es dann noch mit der Integrationsreihenfolge aus... Muss ich diese noch ändern oder kann ich die so lassen ???
Worauf ich hinaus will:
Es muss doch dann,um erfolgreich integrieren zu können [mm] \integral_{x=-2}^{2} \integral_{y=-\wurzel{4-x^2}}^{\wurzel{4-x^2}} \integral_{z=0}^{x+4} [/mm] 1 dzdydx
mfg dodo4ever
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> Es gilt doch nun:
> [mm]\integral_{x=-2}^2 \integral_{y=-\wurzel{4-x^2}}^{\wurzel{4-x^2}} \integral_{z=0}^{x+4}\ dV[/mm]
>= [mm]\integral_{y=-2}^2 \integral_{y=-\wurzel{4-x^2}}^{\wurzel{4-x^2}} \integral_{z=0}^{x+4}\ dxdydz[/mm]
>
> Wie sieht es dann noch mit der Integrationsreihenfolge
> aus...
Ich hatte die doch schon prima eingerichtet !
[mm]\integral_{x=-2}^2 \integral_{y=-\wurzel{4-x^2}}^{\wurzel{4-x^2}} \integral_{z=0}^{x+4}\ dV\ =\ \integral_{x=-2}^2\,dx\ \integral_{y=-\wurzel{4-x^2}}^{\wurzel{4-x^2}}\,dy\ \integral_{z=0}^{x+4}\ dz[/mm]
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Hallo...
Dann muss ich irgendetwas falsch verstehen...
[mm] \integral_{x=-2}^2 \integral_{y=-\wurzel{4-x^2}}^{\wurzel{4-x^2}} \integral_{z=0}^{x+4}\ dV=\integral_{x=-2}^2\,dx\ \integral_{y=-\wurzel{4-x^2}}^{\wurzel{4-x^2}}\,dy\ \integral_{z=0}^{x+4}\ dz=[x]_{-2}^{2} \cdot [y]_{-\wurzel{4-x^2}}^{\wurzel{4-x^2}} \cdot [z]_0^{x+4}=8\wurzel{4-x^2}\cdot(x+4)=8x\wurzel{4-x^2}+32\wurzel{4-x^2}
[/mm]
Jetzt habe ich ja immernoch x als abhängige drin...
Oder ich komm mit der Schreibweise nicht klar...
mfg dodo4ever
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> Hallo...
>
> Dann muss ich irgendetwas falsch verstehen...
>
> [mm]\integral_{x=-2}^2 \integral_{y=-\wurzel{4-x^2}}^{\wurzel{4-x^2}} \integral_{z=0}^{x+4}\ dV=\integral_{x=-2}^2\,dx\ \integral_{y=-\wurzel{4-x^2}}^{\wurzel{4-x^2}}\,dy\ \integral_{z=0}^{x+4}\ dz[/mm]
> [mm] =[x]_{-2}^{2} \cdot [y]_{-\wurzel{4-x^2}}^{\wurzel{4-x^2}} \cdot [z]_0^{x+4}=8\wurzel{4-x^2}\cdot(x+4)=8x\wurzel{4-x^2}+32\wurzel{4-x^2}[/mm]
> Jetzt habe ich ja immernoch x als abhängige drin...
>
> Oder ich komm mit der Schreibweise nicht klar...
>
> mfg dodo4ever
Was ich mit
$ [mm] \integral_{x=-2}^2 \integral_{y=-\wurzel{4-x^2}}^{\wurzel{4-x^2}} \integral_{z=0}^{x+4}\ [/mm] dV\ =\ [mm] \integral_{x=-2}^2\,dx\ \integral_{y=-\wurzel{4-x^2}}^{\wurzel{4-x^2}}\,dy\ \integral_{z=0}^{x+4}\ [/mm] dz $
gemeint habe, könnte man auch so schreiben:
$ [mm] \integral_{x=-2}^2 \integral_{y=-\wurzel{4-x^2}}^{\wurzel{4-x^2}} \integral_{z=0}^{x+4}\ [/mm] dV\ =\ [mm] \integral_{x=-2}^2\,\left(\ \integral_{y=-\wurzel{4-x^2}}^{\wurzel{4-x^2}}\left(\ \integral_{z=0}^{x+4}\ dz\right)\,dy\,\right)\,dx [/mm] $
LG
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Was ja dem entspricht, was ich schon ein paar Beiträge zuvor erkannt habe...
> Es gilt doch nun: [mm] \integral_{x=-2}^2 \integral_{y=-\wurzel{4-x^2}}^{\wurzel{4-x^2}} \integral_{z=0}^{x+4} [/mm] dV= [mm] \integral_{y=-2}^2 \integral_{y=-\wurzel{4-x^2}}^{\wurzel{4-x^2}} \integral_{z=0}^{x+4} [/mm] dxdydz
> Wie sieht es dann noch mit der Integrationsreihenfolge aus... Muss ich diese noch ändern oder kann ich die so lassen ???
> Worauf ich hinaus will:
> Es muss doch dann,um erfolgreich integrieren zu können [mm] \integral_{x=-2}^{2} \integral_{y=-\wurzel{4-x^2}}^{\wurzel{4-x^2}} \integral_{z=0}^{x+4} [/mm] 1 dzdydx
Eine Frage noch zu der späteren Koordinatentransformation in Zylinderkoordinaten:
Es muss doch dann gelten:
0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] 2, weil ja [mm] y=\wurzel{4-x^2} \Rightarrow y^2=4-x^2 \Rightarrow x^2+y^2=4 \Rightarrow 4=r^2 \Rightarrow [/mm] r=2
0 [mm] \le \varphi \le 2\pi
[/mm]
0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] x+4
Das solls dann von meiner Seite auch gewesen sein...
mfg dodo4ever
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> Was ja dem entspricht, was ich schon ein paar Beiträge
> zuvor erkannt habe...
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> > Es gilt doch nun: [mm]\integral_{x=-2}^2 \integral_{y=-\wurzel{4-x^2}}^{\wurzel{4-x^2}} \integral_{z=0}^{x+4}[/mm]
> dV= [mm]\integral_{y=-2}^2 \integral_{y=-\wurzel{4-x^2}}^{\wurzel{4-x^2}} \integral_{z=0}^{x+4}[/mm]
> dxdydz
Da hast du aber
1.) auf die Klammern verzichtet, welche die Lesbarkeit verbessern
2.) bei den Grenzen eines der Integrale als Integrationsvariable
y anstatt x hingeschrieben
3.) die Reihenfolge der Schreibweise der Differentiale nicht
eingehalten, welche man (wenigstens) bei Weglassung
der Klammern normalerweise einhält
LG
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Also...
ich habe die Aufgabe nun vollständig gelöst und erhalte ein Ergebnis von [mm] 16\pi cm^3
[/mm]
Leider haben wir aber nun noch nicht klären können, wie es dann mit der Integration in Zylinderkoordinaten aussieht.
Also wir kann ich das ganze transformieren???
Leider komme ich einfach nicht auf die Grenzen für z.
ich habe bereits für r: 0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] 2 also verwende ich das Integral
ich habe für den Winkel: 0 [mm] \le \varphi \le 2\pi
[/mm]
aber welche Grenzen sind sinnvoll für z??? Wie kann ich diese Herleiten???
mfg dodo4ever
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> Also...
>
> ich habe die Aufgabe nun vollständig gelöst und erhalte
> ein Ergebnis von [mm]16\pi cm^3[/mm]
>
> Leider haben wir aber nun noch nicht klären können, wie
> es dann mit der Integration in Zylinderkoordinaten
> aussieht.
>
> Also wir kann ich das ganze transformieren???
>
> Leider komme ich einfach nicht auf die Grenzen für z.
>
> ich habe bereits für r: 0 [mm]\le[/mm] r [mm]\le[/mm] 2 also verwende ich
> das Integral
>
> ich habe für den Winkel: 0 [mm]\le \varphi \le 2\pi[/mm]
>
> aber welche Grenzen sind sinnvoll für z??? Wie kann ich
> diese Herleiten???
>
> mfg dodo4ever
Die Grenzen für z sind nach wie vor 0 und x+4 ; nur kannst
du jetzt das darin vorkommende x durch $\ [mm] r*cos(\varphi)$ [/mm] ersetzen,
um dann eine Integration in r und [mm] \varphi [/mm] zu erhalten.
LG Al-Chw.
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
