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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Hab' hier ne Menge, die eigentlich ganz einfach aussieht, aber irgendwie bekomme ich das nicht so ganz hin...
[mm] c:=\left\{x\in \IR; x=\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{a_{n}}{3^{n}}, a_{n}\in \{0,2\}\right\}
[/mm]
Die Aufgabenstellung hierzu ist:
"Verstehen Sie diese Definition und geben Sie eine andere, die konstruktiver (und vielleicht besser verständlich) ist."
Ich habe ja schon alles Mögliche ausprobiert, aber keine Definition gefiel mir so gut, dass ich von ihr behaupten könnte, sie sei konstruktiver und besser verständlich...
Wer kann mir da helfen? (Das Dumme ist auch noch, dass die zwei weiteren Aufgabenteile darauf aufbauen...)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Grüße!
Die von Dir angegebene Menge habe ich unter dem Namen "Cantormenge" oder auch "Cantorsche Wischmenge" kennengelernt.
Ich gehe mal davon aus, dass ihr die $b$-adische Darstellung reeller Zahlen, also die Darstellung beliebiger reeller Zahlen als dezimalbruch bzgl. einer beliebigen Basis $b [mm] \in \IN, [/mm] b [mm] \geq [/mm] 2$ besprochen habt.
Zuerst stellt man fest, dass gilt: $c [mm] \subseteq [/mm] [0,1]$. Denn wenn [mm] $a_n [/mm] = 0$ für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] ergibt sich 0 und wenn [mm] $a_n [/mm] = 2$ für jedes $n [mm] \in \IN$, [/mm] so kommt 1 heraus (genau wie [mm] $0,\bar{9}$ [/mm] im Zehnersystem gleich 1 ist).
Per Definition enthält die Menge $c$ genau die reellen Zahlen im Intervall $[0,1]$, deren Dezimalbruch in der 3-adischen Darstellung nur die Ziffern 0 und 2 enthält. Und diese Menge kann man sich auch folgendermaßen veranschaulichen:
Welche Zahlen haben in der 3-adischen Darstellung direkt hinter dem Komma eine 1? Das sind die Zahlen im halboffenen Intervall [mm] $[\frac{1}{3}, \frac{2}{3} [/mm] [$. Also weg mit denen (deshalb "Wischmenge").
Bleiben die übrigen zwei Drittel des Intervalls - vorn die Zahlen, die mit einer 0 nach dem Komma beginnen und hinten die, die mit einer 2 beginnen.
Nun zur zweiten Stelle. Aus den übrigen beiden Dritteln wird nun wieder das jeweils mittlere Drittel entfernt (also die halboffenen Intervalle [mm] $[\frac{1}{9}, \frac{2}{9}[$ [/mm] und [mm] $[\frac{7}{9}, \frac{8}{9}[$) [/mm] und so weiter. So entsteht die Menge $c$.
Der Witz ist eigentlich, dass diese Menge "genausoviele" Elemente enthält wie das gesamte Intervall - das zeigt man mit einer Bijektion, was ich hier aber nicht weiter ausführen will, weil das bestimmt Gegenstand der übrigen Aufgabenteile ist. 
Viel Glück!
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:30 Do 28.10.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Lars!
Es ist zwar jetzt schon über ne Woche her, ich hatte deine Antwort vorher nicht wiedergefunden, ich dachte, sie stände hier gar nicht mehr.
Wollte mich noch bedanken: Alleine das Stichwort der Cantormenge hat mir geholfen, das hatte ich nämlich schon mal gehört, und so hatte ich wenigstens was zum Suchen in Bücher (obwohl mir das auch nichts geholfen hat).
Aber auch deine Erlärung war toll - ich konnte sie verstehen und hätte es nicht besser formulieren können! So konnte ich wenigstens den ersten Aufgabenteil machen, den Rest habe ich leider doch nicht geschafft, aber wir haben es mittlerweile besprochen und es kam sogar nochmal als Wiederholung in der Vorlesung.
Also: vielen Dank für die schöne Erklärung und die schnelle Hilfe überhaupt!
MfG
Christiane
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