Menge Kompl. Zahlen bestimmen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:00 Sa 06.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | Bestimmen und skizzieren Sie:
M= {z [mm] \in \IC [/mm] : [mm] z^{4}= [/mm] -16} |
Hallo,
also da wir hier ein Polynom 4. Grades haben, müssen es genau 4 Lösungen geben für z im Komplexen, die ich auch spontan sehe, und zwar: [mm] z_{1,2,3,4}= \pm [/mm] 2 [mm] \wurzel{\pm i}.
[/mm]
Die Frage is jetzt vielmehr beim skizzieren in Form von Realteil- und Imaginärteilachse, wo auf der Imaginärteilachse befindet sich nun [mm] \wurzel{i} [/mm] bzw. [mm] \wurzel{-i}?
[/mm]
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:37 Sa 06.06.2009 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
> Bestimmen und skizzieren Sie:
> M= $\{$z [mm]\in \IC[/mm] : [mm]z^{4}=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
-16$\}$
> Hallo,
> also da wir hier ein Polynom 4. Grades haben, müssen es
> genau 4 Lösungen geben für z im Komplexen, die ich auch
> spontan sehe, und zwar: [mm]z_{1,2,3,4}= \pm[/mm] 2 [mm]\wurzel{\pm i}.[/mm]
>
> Die Frage is jetzt vielmehr beim skizzieren in Form von
> Realteil- und Imaginärteilachse, wo auf der
> Imaginärteilachse befindet sich nun [mm]\wurzel{i}[/mm] bzw.
> [mm]\wurzel{-i}?[/mm]
[mm] $\wurzel{i}$ [/mm] ist ja nun nicht wieder eine einzige Zahl, sondern es hier steht [mm] $\wurzel{i}$ [/mm] für die (komplexen) Lösungen der Gleichung [mm] $z^2=i$ [/mm] (vgl. ![[]](/images/popup.gif) Wiki, Wurzeln aus kompl. Zahlen).
Mit $z=x+i [mm] \cdot [/mm] y$ hast Du also die Gleichung
[mm] $$z^2=i$$
[/mm]
[mm] $$\gdw x^2-y^2+i*2xy=i$$
[/mm]
[mm] $$\gdw x^2-y^2+i*(2xy-1)=0=0+i*0$$
[/mm]
zu lösen. Das liefert Dir die beiden Gleichungen
[mm] $$x^2-y^2=0 \text{ und }2xy-1=0\,,$$
[/mm]
von denen Du nun die Lösungen $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] berechnen solltest. Damit kannst Du dann weiter arbeiten!
P.S.:
Neben dem obigen "algebraischen Weg" kannst Du alternativ auch mit "Polarkoordinaten" (mit Eulerscher Formel) rechnen, d.h. Ansatz:
[mm] $$z=r*e^{i \phi}\;\;\;\;\text{(mit einem }\phi \in [0,2\pi)\,,\;r [/mm] > 0 [mm] \text{)}.$$ [/mm]
Nun soll [mm] $z^2=i$ [/mm] gelten und damit [mm] $|z^2|=|r|*|e^{i*2\phi}|=|i|=1$, [/mm] woraus $r=1$ folgt (beachte: [mm] $|e^{i*2\phi}|=1$ [/mm] wegen [mm] $2*\phi \in \IR$). [/mm]
Also erhälst Du [mm] $z^2=e^{i*2\phi}=i=e^{i \frac{\pi}{2}}$ [/mm] und damit [mm] $e^{i*\big(2\phi-\frac{\pi}{2}\big)}=1\,,$ [/mm] woraus Du erkennst, dass [mm] $2\phi-\frac{\pi}{2}=2\phi_k-\frac{\pi}{2}=k*2\pi$ [/mm] sein sollte, wobei $k [mm] \in \IZ$ [/mm] so, dass dann [mm] $\phi_k \in [0,2\pi)$. [/mm] Das liefert Dir [mm] $\phi_0=\frac{\pi}{4}$ [/mm] und [mm] $\phi_1=\frac{5}{4}\pi\,,$ [/mm] woraus Du [mm] $z_0=1*e^{i*\phi_0}=e^{i*\frac{\pi}{4}}$ [/mm] und [mm] $z_1=1*e^{i*\phi_1}=e^{i*\frac{5}{4}\pi}$ [/mm] berechnest.
Gruß,
Marcel
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 01:06 Sa 06.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Vielen Dank, damit (also mit der algebraischen Vorgehensweise) komme ich nun für [mm] \wurzel{\pm i} [/mm] zum einen auf die Lösung:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}+ \bruch{1}{\wurzel{2}}*i [/mm]
und zum andern auf: [mm] -\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}*i [/mm] .
Allerdings werden damit aus meinen ursprünglich noch 4 Lösungen nur noch 2 Lösungen wenn ich die 2 Lösungen für [mm] \wurzel{\pm i} [/mm] mit [mm] \pm [/mm] 2 multiplizier und zwar: [mm] z_{1}= \wurzel{2}+ \wurzel{2}*i [/mm] und [mm] z_{2}= [/mm] - [mm] \wurzel{2} -\wurzel{2}*i, [/mm] da frag ich mich aber, wo die restlichen 2 der ursprünglich 4 Lösungen hin verschwunden sind?
Wobei ich nun durch weiteres ausprobieren noch herausgefunden hab, dass [mm] z_{3}= -\wurzel{2}+ \wurzel{2}*i [/mm] und [mm] z_{4}= \wurzel{2} [/mm] - [mm] \wurzel{2}*i [/mm] die weiteren Lösungen sind
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:07 Sa 06.06.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank, damit (also mit der algebraischen
> Vorgehensweise) komme ich nun für [mm]\wurzel{\pm i}[/mm] zum einen
> auf die Lösung:
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}+ \bruch{1}{\wurzel{2}}*i[/mm]
> und zum andern auf: [mm]-\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}*i[/mm] .
> Allerdings werden damit aus meinen ursprünglich noch 4
> Lösungen nur noch 2 Lösungen wenn ich die 2 Lösungen für
> [mm]\wurzel{\pm i}[/mm] mit [mm]\pm[/mm] 2 multiplizier und zwar: [mm]z_{1}= \wurzel{2}+ \wurzel{2}*i[/mm]
> und [mm]z_{2}=[/mm] - [mm]\wurzel{2} -\wurzel{2}*i,[/mm] da frag ich mich
> aber, wo die restlichen 2 der ursprünglich 4 Lösungen hin
> verschwunden sind?
> Wobei ich nun durch weiteres ausprobieren noch
> herausgefunden hab, dass [mm]z_{3}= -\wurzel{2}+ \wurzel{2}*i[/mm]
> und [mm]z_{4}= \wurzel{2}[/mm] - [mm]\wurzel{2}*i[/mm] die weiteren
> Lösungen sind
poste doch mal Deinen Rechenweg. Du wirst irgendwo Lösungen verloren haben, an welcher Stelle das genau passiert ist (also wo Du etwas fahrlässig gerechnet hast), können wir erst sagen, wenn wir die Rechnung sehen. Oder Du versuchst selber, herauszufinden, bei welcher Umformung Du etwas unvorsichtig gewesen sein musst, immerhin weißt Du ja selber, welche Lösungen am Ende dastehen sollten. Damit kannst Du auch selbst Deine Rechnung komplett analysieren!
Ansonsten halt: Bitte Deinen Rechenweg posten, dann finden wir die Stelle(n) sicherlich gemeinsam.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:50 Sa 06.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Okay, hier der Rechenweg, ich hab z= a+bi gesetzt und dann wie von dir geschrieben, und dann deine gegebenen Gleichungen aufgelöst, die da wären für [mm] z=\wurzel{\pm i}:
[/mm]
(I) [mm] a^{2} -b^{2}=0
[/mm]
(II) 2ab -1=0 aus dem erhalte ich [mm] a=\bruch{1}{2b} [/mm] und [mm] b=\bruch{1}{2a}
[/mm]
das setze ich nun in (I) ein: [mm] \bruch{1}{4b^{2}} [/mm] - [mm] b^{2}=0 [/mm] und [mm] a^{2}-\bruch{1}{4a^{2}}=0 [/mm] dann hab ich den Bruch rausmultiplipliziert:
Somit is das 1 [mm] -4b^{4}=0 [/mm] und [mm] 4a^{4} [/mm] -1= 0 also muss [mm] b^4= \bruch{1}{4} [/mm] sein und [mm] a^4 [/mm] analog, dann [mm] \pm \wurzel[4]{\bruch{1}{4}} [/mm] = [mm] \pm \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] für a und b. Nun hab ich mir aber überlegt, wenn [mm] a=+\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] muss auch b [mm] =+\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] sein, denn wäre für [mm] a=+\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] b= [mm] -\bruch{1}{\wurzel{2}}, [/mm] so wäre 2ab -1=-2 [mm] \not= [/mm] 0und für a= [mm] -\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] muss auch b= [mm] -\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] sein. Multipliziert man nun die 2 Lösungen mit [mm] \pm [/mm] 2 so bleibt es bei 2 Lösungen und die andern 2 Lösungen hab ich dann nur durch probieren noch gefunden, wo lag mein Fehler?
Kann es möglicherweise sein, dass mich 2ab-1=0 auf ne falsche Fährte führt, denn wenn ich mir die die Geschichte so betrachte gilt 2ab=1, quadrier ich das ganze, was ich ja machen kann im hoch 4, erhalte ich:
[mm] 4a^{2}b^{2}=1, [/mm] und dann stimmen auch alle möglichen 4 Kombinationen für a und b und ich würd insgesamt auf genau die 4 verschiedenen Lösungen kommen.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:57 Sa 06.06.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> Okay, hier der Rechenweg, ich hab z= a+bi gesetzt und dann
> wie von dir geschrieben, und dann deine gegebenen
> Gleichungen aufgelöst, die da wären für [mm]z=\wurzel{\pm i}:[/mm]
>
> (I) [mm]a^{2} -b^{2}=0[/mm]
> (II) 2ab -1=0 aus dem erhalte ich
> [mm]a=\bruch{1}{2b}[/mm] und [mm]b=\bruch{1}{2a}[/mm]
> das setze ich nun in (I) ein: [mm]\bruch{1}{4b^{2}}[/mm] - [mm]b^{2}=0[/mm]
> und [mm]a^{2}-\bruch{1}{4a^{2}}=0[/mm] dann hab ich den Bruch
> rausmultiplipliziert:
> Somit is das 1 [mm]-4b^{4}=0[/mm] und [mm]4a^{4}[/mm] -1= 0 also muss [mm]b^4= \bruch{1}{4}[/mm]
> sein und [mm]a^4[/mm] analog, dann [mm]\pm \wurzel[4]{\bruch{1}{4}}[/mm] =
> [mm]\pm \bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] für a und b. Nun hab ich mir aber
> überlegt, wenn [mm]a=+\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] muss auch b
> [mm]=+\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] sein, denn wäre für
> [mm]a=+\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] b= [mm]-\bruch{1}{\wurzel{2}},[/mm] so
> wäre 2ab -1=-2 [mm]\not=[/mm] 0und für a= [mm]-\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
> muss auch b= [mm]-\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] sein. Multipliziert man
> nun die 2 Lösungen mit [mm]\pm[/mm] 2 so bleibt es bei 2 Lösungen
> und die andern 2 Lösungen hab ich dann nur durch probieren
> noch gefunden, wo lag mein Fehler?
> Kann es möglicherweise sein, dass mich 2ab-1=0 auf ne
> falsche Fährte führt, ...
Nein! Das ist alles soweit okay (sofern ich nichts übersehe!), aber diese Rechnung läuft ja nur für [mm] $z=\sqrt{i}$ [/mm] bzw. [mm] $z^2=i$ [/mm] so ab; selbstverständlich bekommst Du für diese Gleichung nur die beiden Lösungen [mm] $z_1=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}*i$ [/mm] und [mm] $z_2=-z_1 \,.$
[/mm]
Wenn Du nun analog für [mm] $z=\sqrt{-i}$ [/mm] rechnest, gelangst Du zu
[mm] $$z^2=-i$$
[/mm]
[mm] $$\gdw (a+i*b)^2=-i$$
[/mm]
[mm] $$\gdw a^2-b^2+i*(2ab+1)=0+i*0\,,$$
[/mm]
und damit zu den beiden Gleichungen
[mm] $$a^2-b^2=0\;\;\text{ und }\;\; 2ab+1=0\,.$$
[/mm]
Das liefert Dir die anderen beiden Lösungen von [mm] $z^4=i\,.$
[/mm]
P.S.:
Einzige Anmerkung zu Deiner Rechnung (nur generell):
Wenn man sowas wie [mm] $a=\frac{1}{2b}$ [/mm] schreibt, sollte man ein Argument haben, warum $b [mm] \not=0$ [/mm] ist. 
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:20 Sa 06.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Nur noch eine Frage: wenn [mm] z^{2}= [/mm] i ist, ist doch [mm] z_{1,2}=\wurzel{\pm i} [/mm] oder seh ich das falsch? Ich weiß, dass die Wurzel im Komplexen nicht eindeutig definiert ist, von daher bin ich etwas verwundert, dass du einfach sagst: [mm] \wurzel{(+i)^{2}} [/mm] =i und [mm] \wurzel{(-i)^{2}}= [/mm] -i, zumal doch [mm] \wurzel{(+i)^{2}}=\wurzel{(-i)^{2}}= \wurzel{(i)^{2}}= \pm [/mm] i ist?
Viele Grüße
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> Nur noch eine Frage: wenn [mm]z^{2}=[/mm] i ist, ist doch
> [mm]z_{1,2}=\wurzel{\pm i}[/mm] oder seh ich das falsch? Ich weiß,
> dass die Wurzel im Komplexen nicht eindeutig definiert ist,
> von daher bin ich etwas verwundert, dass du einfach sagst:
> [mm]\wurzel{(+i)^{2}}[/mm] =i und [mm]\wurzel{(-i)^{2}}=[/mm] -i, zumal doch
> [mm]\wurzel{(+i)^{2}}=\wurzel{(-i)^{2}}= \wurzel{(i)^{2}}= \pm[/mm]
> i ist?
>
> Viele Grüße
Hallo ms,
Die "zweideutige" Schreibweise mit dem Symbol [mm] \pm
[/mm]
könnte man, wenn es nach mir ginge, ins Pfefferland
pfeffern oder einfach endlich im Kabinett der mathematik-
historischen Kuriositäten ruhen lassen. Die kleine
Ersparnis an Schreibarbeit, die dieses Symbol da
oder dort bringt, erkauft man sich mit schweren
logischen Mängeln. Auch schon das Wurzelsymbol [mm] \sqrt{\ }
[/mm]
macht im Komplexen Schwierigkeiten, da es nicht
möglich bzw. nicht sinnvoll ist, von den mehrfach
vorliegenden "Wurzeln" (also den Lösungen einer
Gleichung der Form [mm] z^n=a) [/mm] eine als "die" n-te
Wurzel von a auszuzeichnen.
Zweitens: Es spielt denn doch eine wesentliche Rulle,
ob ein allfälliges Minuszeichen vor einer Wurzel
oder unter der Wurzel steht. Manche Leute
verwechseln immer wieder "negative Wurzel" mit
"Wurzel aus einer negativen Zahl" und stiften damit
ein heilloses Durcheinander, wenn es darum geht,
die entsprechenden Definitionen (bzw. die Tatsache,
dass z.B. in [mm] \IR [/mm] beide Dinge nicht existieren)
zu diskutieren.
Versuchen wir also, deine obige Frage ohne das
Zeichen [mm] "\pm" [/mm] und auch ohne das [mm] "\sqrt{\ }\," [/mm] abzuhandeln.
Die Gleichung [mm] z^2=i [/mm] ist eine Gleichung mit zwei komplexen
Lösungen [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] . Dabei gilt [mm] z_2=-z_1
[/mm]
bzw. [mm] z_1=-z_2.
[/mm]
Wenn trotzdem (was ich eben nur mit Vorbehalt unter-
stützen könnte) die eine davon, etwa die mit dem kleineren
Polarwinkel [mm] \varphi \in [0..2*\pi) [/mm] als "Hauptwurzel" mit der
Schreibweise [mm] \wurzel{i} [/mm] ausgezeichnet werden sollte,
wäre die andere gleich [mm] -\wurzel{i}.
[/mm]
Die Gleichung [mm] z^2=-i [/mm] hat ebenfalls zwei Lösungen [mm] z_3
[/mm]
und [mm] z_4 [/mm] mit [mm] z_4=-z_3.
[/mm]
Diese Zahlen sind verschieden von [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2.
[/mm]
Insgesamt bilden die 4 Zahlen eine Menge [mm] \IL=\{z_1,z_2,z_3,z_4\},
[/mm]
nämlich die Lösungsmenge der Aussageform
$\ [mm] z^2=\,i\ \vee\ z^2=-i$
[/mm]
bzw. der Gleichung
$\ [mm] z^4=\,-1$ [/mm]
LG Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:50 Sa 06.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Vielen Dank, das hat mir nun wirklich weitergeholfen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Sa 06.06.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Nur noch eine Frage: wenn [mm]z^{2}=[/mm] i ist, ist doch
> [mm]z_{1,2}=\wurzel{\pm i}[/mm] oder seh ich das falsch?
siehst Du falsch; sinnvoll wäre höchstens:
Dann ist [mm] $z=\pm \sqrt{i}\,.$
[/mm]
Denn [mm] $z=\sqrt{-i} \Rightarrow z^2=$ [/mm] - [mm] $i\,.$
[/mm]
Allerdings reicht es, [mm] $z=\sqrt{i}$ [/mm] zu schreiben, denn [mm] $z=\sqrt{i}$ [/mm] steht für die Lösungsmenge der Gleichung [mm] $z^2=i$ [/mm] und [mm] $z=-\sqrt{i}$ [/mm] steht ebenso für Lösungsmenge der Gleichung [mm] $z^2=(-\sqrt{i})^2=(-1)^2*i=i\,.$ [/mm] Also sowohl [mm] $z=\sqrt{i}$ [/mm] als auch [mm] $z=-\sqrt{i}$ [/mm] steht für die Lösungsmenge der Gleichung [mm] $z^2=i\,.$
[/mm]
[mm] $\text{(}$P.S.: [/mm] Wer etwas mehr auf Formalismus achtet, sollte die obige Rechnung besser so lesen:
[mm] $$z=-\sqrt{i} \gdw -z=\sqrt{i} \gdw (-z)^2=i \gdw (-1)^2 z^2=i \gdw z^2=i\,\text{)}.$$
[/mm]
Und bei Deiner Rechnung solltest Du aber so vorgegangen sein:
[mm] $$z^4=-1$$
[/mm]
[mm] $$\gdw z^2=i \;\; \text{oder}\;\; z^2=-i\,.$$
[/mm]
Es ist ja auch [mm] $(-i)^2=-1\,$!!!
[/mm]
> Ich weiß,
> dass die Wurzel im Komplexen nicht eindeutig definiert ist,
> von daher bin ich etwas verwundert, dass du einfach sagst:
> [mm]\wurzel{(+i)^{2}}[/mm] =i und [mm]\wurzel{(-i)^{2}}=[/mm] -i, zumal doch
> [mm]\wurzel{(+i)^{2}}=\wurzel{(-i)^{2}}= \wurzel{(i)^{2}}= \pm[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> i ist?
Hab' ich nicht gesagt:
$$z=\sqrt{i} \gdw z^2=i$$
und
$$z=\sqrt{-i} \gdw z^2=-i\,,$$
mehr steht oben nicht. Diese Äquivalenz gilt per Definitionem der Wurzel aus einer komplexen Zahl.
Zumal $\sqrt{(+i)^2}}=\sqrt{(-i)^2}=\sqrt{-1}$ wäre, und nach der Definition einer Wurzel im Komplexen damit
$$z=\sqrt{-1} \gdw z^2=-1 \gdw (z=i\;\; \text{ oder } \;\;z=-i)\,.$$
(Die letzten Klammern könnte man sich Ersparen, wenn man $z=\pm i$ schriebe, aber ich halte mich hier nun an Als Vorschlag, das Symbol $\pm$ nicht zu verwenden. )
P.S.:
Eigentlich würde Deine Rechnung doch so anfangen:
$$z^4=-16$$
$$\gdw z=\pm 2 \sqrt[4]{-1}$$
$$\gdw z=\red{\pm} 2 \sqrt{\pm i}\,.$$
Wenn Du dann $\sqrt{i}$ (die zwei Lösungen der Gleichung $z^2=i$) und $\sqrt{-i}$ (die zwei Lösungen der Gleichung $z^2=-i$) berechnet hast, dann erkennst Du, dass Du Dir oben das $\red{\pm}$ auch hättest sparen können.
Gruß,
Marcel
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> Bestimmen und skizzieren Sie:
> M= {z [mm] \in \IC: z^{4}=-16}
[/mm]
> Hallo,
> also da wir hier ein Polynom 4. Grades haben, müssen es
> genau 4 Lösungen geben für z im Komplexen, die ich auch
> spontan sehe, und zwar: [mm]z_{1,2,3,4}= \pm[/mm] 2 [mm]\wurzel{\pm i}.[/mm]
>
> Die Frage is jetzt vielmehr beim skizzieren in Form von
> Realteil- und Imaginärteilachse, wo auf der
> Imaginärteilachse befindet sich nun [mm]\wurzel{i}[/mm] bzw.
> [mm]\wurzel{-i}?[/mm]
>
> Viele Grüße
Guten Morgen ms,
etwas einfacher geht es wohl, wenn du direkt zur
polaren Darstellung übergehst:
Setze $\ z:=r*cis [mm] \varphi [/mm] = [mm] r*e^{i*\varphi}$
[/mm]
Dann soll [mm] z^4=r^4*cis(4*\varphi)=-16 [/mm] sein, also
[mm] |z|^4=16 [/mm] und $\ [mm] 4*\varphi\,=\, \pi +k*2\pi\ (k\in\IZ)$
[/mm]
Daraus folgt $\ |z|=2$ und [mm] \varphi= \pi/4+k*\pi/2
[/mm]
mit den 4 echt voneinander verschiedenen Lösungen.
LG Al-Chwarizmi
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