Menge Vektorraum < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:38 Mi 07.03.2012 | | Autor: | racy90 |
Hallo,
Ich soll folgende Aufgabe lösen habe aber leider Verständnisprobleme mit Vekorräumen und dessen Mengen.
Ich soll c reell so wählen dass die Menge [mm] $M=\left\{\vektor{x1 \\ x2\\ x3\\ .\\ .\\ xn}|\vektor{x1 \\ x2\\ x3\\ .\\ .\\ xn}*\vektor{1 \\ 2\\ 3\\ .\\ .\\ n}=c\right\}$
[/mm]
Hoffe die Darstellung ist klar ,kann es leider anders nicht darstellen.
Weiters ist noch gefragt wenn n=4 dann soll ich für M von oben mit n=4 eine Basis angeben?
Wie geht man hier prinzipiell vor bzw gibt es eine Art von "Rezept" die man immer anwenden kannß
Danke schon mal voraus
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> Hallo,
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> Ich soll folgende Aufgabe lösen habe aber leider
> Verständnisprobleme mit Vekorräumen und dessen Mengen.
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> Ich soll c reell so wählen dass die Menge [mm]M=\{\vektor{x1 \\
x2\\
x3\\
.\\
.\\
xn}|\vektor{x1 \\
x2\\
x3\\
.\\
.\\
xn}*\vektor{1 \\
2\\
3\\
.\\
.\\
n}=c\}[/mm]
>
> Hoffe die Darstellung ist klar ,kann es leider anders nicht
> darstellen.
Hallo,
die Darstellung macht mir keine unlösbaren Probleme, aber wasmit der Menge sein soll, verrätst Du nicht...
Ist aber, weil ich hellsichtig bin, kein echtes Problem: Du sollst sagen, für welches c die Menge ein Vektorraum ist, nicht wahr?
Bedenke, daß ein jeder VR den Nullvektor enthält...
Der Nullvektor muß also die Gleichung lösen. Wie muß das c also gewählt werden?
>
> Weiters ist noch gefragt wenn n=4 dann soll ich für M von
> oben mit n=4 eine Basis angeben?
Für n=4 hast Du [mm] M=\{\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}| \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}*\vektor{1\\2\\3\\4}=0\}.
[/mm]
Wenn Du das Skalarprodukt ausführst, hast Du [mm] x_1+2x_2+3x_3+4x_4=0.
[/mm]
M ist die Lösungsmenge dieses Gleichungssystems.
Du findest sie (bzw. eine Basis) wie immer bei LGSen, z.B. mithilfe der Zeilenstufenform.
LG Angela
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> Wie geht man hier prinzipiell vor bzw gibt es eine Art von
> "Rezept" die man immer anwenden kannß
>
> Danke schon mal voraus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Mi 07.03.2012 | | Autor: | racy90 |
ja genau die Menge soll einen Vektorraum bilden.
Naja wenn der VR den Nullvektor enthaltet dann muss c=0 sein
Beim 2. Punkt soll ich aus der Gl [mm] x_1+2x_2+3x_3+4x_4=0 [/mm] 4 Lösungen erhalten?
Wie funktioniert das mit der Zeilenstufenform? Dazu brächte ich ja eine Matrix und nicht nur eine Zeile davon?
Ich finde leider keine Anleitung ,die verständlich ist, damit ich das mit der Zeilenstufenform verstehe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 Mi 07.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> ja genau die Menge soll einen Vektorraum bilden.
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> Naja wenn der VR den Nullvektor enthaltet dann muss c=0
> sein
>
> Beim 2. Punkt soll ich aus der Gl [mm]x_1+2x_2+3x_3+4x_4=0[/mm] 4
> Lösungen erhalten?
Wer sagt das ? Ich dachte Du sollst eine Basis von M dingfest machen.
>
> Wie funktioniert das mit der Zeilenstufenform? Dazu
> brächte ich ja eine Matrix und nicht nur eine Zeile davon?
Wir haben:
[mm] x_1=-2x_2-3x_3-4x_4
[/mm]
[mm] x_2=~~~x_2
[/mm]
[mm] x_3=~~~~~~~~~~~~~x_3
[/mm]
[mm] x_4=~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x_4
[/mm]
D.h.: es ist $ [mm] x_1+2x_2+3x_3+4x_4=0 [/mm] $ [mm] \gdw [/mm] es ex. r,s,t [mm] \in \IR:
[/mm]
[mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\x_3 \\x_4}=r*\vektor{-2 \\ 1 \\0 \\0}+s*\vektor{-3 \\ 0 \\1 \\0}+t*\vektor{-4 \\ 0 \\0 \\1}
[/mm]
Hilft das ?
FRED
>
> Ich finde leider keine Anleitung ,die verständlich ist,
> damit ich das mit der Zeilenstufenform verstehe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Mi 07.03.2012 | | Autor: | racy90 |
d.h ich habe 4 vektoren (1,2,3,4) ; (1,0,0) ; (0,1,0) ; (0,0,1) und was rechne ich nun aus? die 4 [mm] \lambda [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 Mi 07.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> d.h ich habe 4 vektoren (1,2,3,4) ; (1,0,0) ; (0,1,0) ;
> (0,0,1) und was rechne ich nun aus? die 4 [mm]\lambda[/mm] ?
hä??
Fred hat's doch geschrieben:
Mit [mm] $c:=0\,$ [/mm] und [mm] $n:=4\,$ [/mm] und wenn man dieses [mm] $c=0\,$ [/mm] und [mm] $n=4\,$ [/mm] in [mm] $M=M(c,n)\,$ [/mm] einsetzt, gilt doch
[mm] $$\vektor{x_1 \\ x_2 \\x_3 \\x_4} \in [/mm] M$$
genau dann, wenn
$$ [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\x_3 \\x_4}=r\cdot{}\red{\vektor{-2 \\ 1 \\0 \\0}}+s\cdot{}\red{\vektor{-3 \\ 0 \\1 \\0}}+t\cdot{}\red{\vektor{-4 \\ 0 \\0 \\1}}$$
[/mm]
mit skalaren Zahlen [mm] $r,\;s,\;t \in \IR\,.$
[/mm]
Welche Vektoren bilden wohl nun ein Erzeugendensystem von dem Vektorraum [mm] $M=M(c=0,n=4)\,$?
[/mm]
Warum ist dieses Erzeugendensystem schon eine Basis von [mm] $M\,$? [/mm] (Tipp: Argumentiere mit Linearer Unabhängigkeit!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Mi 07.03.2012 | | Autor: | racy90 |
Tu mir noch etwas schwer mit der neuen Materie.
Okay jetzt habe ich auch verstanden das [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\x_3 \\x_4}=r\cdot{}\red{\vektor{-2 \\ 1 \\0 \\0}}+s\cdot{}\red{\vektor{-3 \\ 0 \\1 \\0}}+t\cdot{}\red{\vektor{-4 \\ 0 \\0 \\1}} [/mm] ein Erzeugendensystem bildet.
Eine Basis bilden Vektoren wenn sie lin.unabhängig sind.
Aber wie weise ich die lin.unab. bei 3 Vektoren aus dem [mm] R^4 [/mm] nach?
das müsste doch so aussehen
[mm] -2\lambda-3\mu-4\nu=0
[/mm]
[mm] \lambda=0
[/mm]
[mm] \mu=0
[/mm]
[mm] \nu=0
[/mm]
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Hallo racy,
> Tu mir noch etwas schwer mit der neuen Materie.
>
>
> Okay jetzt habe ich auch verstanden das [mm]\vektor{x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4}=r\cdot{}\red{\vektor{-2 \\
1 \\
0 \\
0}}+s\cdot{}\red{\vektor{-3 \\
0 \\
1 \\
0}}+t\cdot{}\red{\vektor{-4 \\
0 \\
0 \\
1}}[/mm]
> ein Erzeugendensystem bildet.
Nein
Obiges sagt aus, dass sich jeder Vektor [mm]\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4}[/mm] aus [mm]M[/mm] mit [mm]n=4, c=0[/mm] darstellen lässt als als diese LK auf der rechten Seite
Es ist also [mm]\left\{\vektor{-2 \\
1 \\
0 \\
0}, \vektor{-3 \\
0 \\
1 \\
0},\vektor{-4 \\
0 \\
0 \\
1}\right\}[/mm] ein Erzeugendensystem für das o.a. [mm]M[/mm]
>
> Eine Basis bilden Vektoren wenn sie lin.unabhängig sind.
>
> Aber wie weise ich die lin.unab. bei 3 Vektoren aus dem [mm]R^4[/mm]
> nach?
>
> das müsste doch so aussehen
>
> [mm]-2\lambda-3\mu-4\nu=0[/mm]
> [mm]\lambda=0[/mm]
> [mm]\mu=0[/mm]
> [mm]\nu=0[/mm]
>
Ja, passt doch, du kannst also den Nullvektor nur trivial linear kombinieren aus den Vektoren des EZS, dh. sie sind linear unabh. - so ist das ja definiert.
Du hast mithin ein linear unabh. EZS, also eine Basis gefunden!
Glückwunsch! 
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Mi 07.03.2012 | | Autor: | racy90 |
Eine Frage hätte ich noch.
Es steht noch ein kleiner Unterpunkt.
n=4 und die Basis ist dieselbe wie im oberen Punkt.Nun soll ich 2 nichttriviale Vektoren finden und die Koordinaten bezüglich ihrer Basis bestimmen?
Was ist mit Koordinaten bezüglich der Basis bestimmen gemeint?
Ich nehme an das mit nichttrivial gemeint ist ,dass der Nullvektor nicht gilt oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Mi 07.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Basis um die es geht ist dein Erzeugendensystem. [mm] b_i\alpha_3b3 [/mm] angeben kann
also NICHT DAS ÜBLICHE (1,0,0,0) USW
du sollst 2 Vektoren [mm] (a,b,c,d)^T [/mm] angeben, die man als [mm] \alpha_1*b_1+\alpha_2*b_2+\alpha_3*b_3 [/mm] angeben kann,
dann sind die [mm] \alpha_i [/mm] die Koordinaten bzw Komponenten in dieser Basis also der Vektor in dieser Basis:
[mm] (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,0)^T
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Mi 07.03.2012 | | Autor: | racy90 |
Hab ich das also richtig verstanden das ich 2 Vektoren brauche wobei die Koeffizienten [mm] \lambda \not=0 [/mm] sein sollen also linear abhängig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 Mi 07.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hab ich das also richtig verstanden das ich 2 Vektoren
> brauche wobei die Koeffizienten [mm]\lambda \not=0[/mm] sein sollen
> also linear abhängig?
nein.
Leduarts Antwort ist leider auch schwer zu verstehen (ich verstehe sie nur, weil ich selbst weiß, was gemeint ist) - da sind manche Sachen wirklich unklar und verwirrend formuliert - vielleicht war da ein wenig Hektik im Spiel...?!
Also machen wir es neu:
Du hattest doch bisher folgendes gemacht:
Mit [mm] $c:=0\,$ [/mm] und [mm] $n:=4\,$ [/mm] hattest Du gesehen, dass
[mm] $$\vec{x} \in [/mm] M [mm] \gdw \vec{x}=r*\vec{b}_1+s*\vec{b}_2+t*\vec{b}_3\,.$$
[/mm]
Dabei sind die Komponenten der einzelnen Vektoren [mm] $\vec{x}\,,\vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_3$ [/mm] nichts anderes als die Koordinaten "der (geordneten) 'Standardbasis' [mm] $(\vec{e_1},\;\vec{e}_2,\;\vec{e}_3,\;\vec{e}_4)$ [/mm] des [mm] $\IR^4$", [/mm] wobei
[mm] $$\vec{e_i} \in \IR^4$$
[/mm]
demzufolge genau die [mm] $i\,$-te [/mm] Komponente mit [mm] $1\,$ [/mm] belegt hat und alle anderen mit [mm] $0\,.$
[/mm]
(Beispiel: [mm] $\vektor{1\\4\\7\\10}=1*\vektor{1\\0\\0\\0}+4*\vektor{0\\1\\0\\0}+7*\vektor{0\\0\\1\\0}+10*\vektor{0\\0\\0\\1}=1*\vec{e}_1+4*\vec{e}_2+7*\vec{e}_3+10*\vec{e}_4\,.$)
[/mm]
Aus Freds Antwort siehst Du nochmal rückblickend, wie die Vektoren [mm] $\red{\vec{b}_1},\;\red{\vec{b}_2}$ [/mm] und [mm] $\red{\vec{b_3}}$ [/mm] genau aussehen (als Elemente des [mm] $\IR^4$ [/mm] - die Komponenten sind genau die Koordinaten bzgl. der Standardbasis des [mm] $\IR^4$).
[/mm]
Nun hat [mm] $M\,$ [/mm] die Dimension [mm] $3\,$ [/mm] (Warum?). Wir haben oben erkannt, dass das (geordnete) System [mm] $\mathcal{B}:=(\red{\vec{b}_1},\red{\vec{b}_2},\red{\vec{b}_3})$ [/mm] eine Basis von [mm] $M\,$ [/mm] ist.
Bzgl. dieser Basis hat ein jeder Vektor [mm] $\vec{x} \in [/mm] M$ eine Darstellung
[mm] $$\vec{x}=r*\vec{b}_1+s*\vec{b}_2+t*\vec{b}_3$$
[/mm]
mit einem Tripel [mm] $\vektor{r\\s\\t} \in \IR^3\,,$ [/mm] wobei es für jeden [mm] $\vec{x} \in [/mm] M$ ein und nur ein solches Tripel gibt. Und dieses Tripel [mm] $\vektor{r\\s\\t}$ [/mm] (das von [mm] $\vec{x} \in [/mm] M$ abhängt!) besteht dann aus den Koordinaten des Vektors [mm] $\vec{x} \in [/mm] M$ bezüglich der Basis [mm] $\mathcal{B}=(\vec{b}_1,\;\vec{b}_2,\;\vec{b}_3)\,,$ [/mm] daher bevorzuge ich etwa die Schreibweise:
[mm] $$\vektor{r\\s\\t}_{\mathcal{B}}$$
[/mm]
für die Koordinaten des Vektors [mm] $\vec{x} \in [/mm] M$ bzgl. der Basis [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] von [mm] $M\,.$ [/mm] Diese Schreibweise verdeutlicht nämlich, auf welche Basis sich die Koordinaten des Koordinatenvektors beziehen!
Soviel zur "Theorie". Nun zu Deiner Aufgabe, denn sie ist wesentlich einfacher, weil nur verlangt wird, dass Du für irgendzwei jeweils Nichtnullvektoren aus [mm] $M\,$ [/mm] bzgl. [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] die Koordinatendarstellung [mm] $\vektor{r\\s\\t}_{\mathcal{B}}$ [/mm] angeben sollst - schwieriger wäre das ganze Unterfangen, wenn Du für einen vorgegebenen Vektor [mm] $\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4} \in [/mm] M$ nun die (eindeutige) zugehörige Koordinatendarstellung [mm] $\vektor{r\\s\\t}_{\mathcal{B}}$ [/mm] berechnen solltest.
Du kannst es Dir aber hier relativ einfach machen: Berechne einfach etwa den Vektor mit der Koordinatendarstellung
[mm] $$\vektor{1\\1\\0}_\mathcal{B}$$
[/mm]
und den Vektor mit der Koordinatendarstellung
[mm] $$\vektor{1\\1\\1}_\mathcal{B}\,.$$
[/mm]
(Nebenbei: Der Vektor [mm] $\vektor{0\\0\\0\\0} \in \IR^4$ [/mm] hat bzgl. [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] die zugehörige Koordinatendarstellung [mm] $\vektor{0\\0\\0}_\mathcal{B}$ [/mm] und klar ist, dass jede Koordinatendarstellung [mm] $\vektor{r\\s\\t}_\mathcal{B} \not=\vektor{0\\0\\0}_\mathcal{B}$ [/mm] sich auf einen Nichtnullvektor aus [mm] $M\,$ [/mm] bezieht. Warum?)
Wie geht das? Naja, sei etwa [mm] $\overrightarrow{x^{(1)}} \in \IR^4$ [/mm] der Vektor [mm] $\overrightarrow{x^{(1)}} \in [/mm] M$ mit der Koordinatendarstellung [mm] $\vektor{\blue{1}\\\green{1}\\0}_\mathcal{B}\,.$
[/mm]
Dann gilt ja
[mm] $$(\star)\;\;\;\vektor{x^{(1)}_1\\x^{(1)}_2\\x^{(1)}_3\\x^{(1)}_4}=\blue{1}*\vec{b}_1+\green{1}*\vec{b}_2+0*\vec{b}_3\,.$$
[/mm]
Wie die Vektoren [mm] $\vec{b}_i \in \IR^4$ ($i=1,2,3\,$) [/mm] (bzgl. der Standardbasis des [mm] $\IR^4$) [/mm] aussehen, weißt Du dabei - also setze das rechterhand bei [mm] $(\star)$ [/mm] ein und rechne Dir aus, welcher Vektor des [mm] $\IR^4$ [/mm] dann rechterhand entsteht. Dann weißt Du auch, wie dann die [mm] $x^{(1)}_j$ ($j=1,2,3,4\,$) [/mm] und damit [mm] $\overrightarrow{x^{(1)}} \in \IR^4$ [/mm] aussieht.
Hinterher startest Du dann und sagst, dass dieser [mm] $\IR^4$-Vektor $\overrightarrow{x^{(1)}}$ [/mm] erfülle [mm] $\overrightarrow{x^{(1)}} \in M\,,$ [/mm] weil er bzgl. der Basis [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] von [mm] $M\,$ [/mm] die Koordinatendarstellung
[mm] $$\vektor{\blue{1}\\\green{1}\\0}_\mathcal{B}$$
[/mm]
habe, und das rechnest Du einfach nochmal vor.
Analog dann mit der zweiten Koordinatendarstellung!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Mi 07.03.2012 | | Autor: | racy90 |
Wenn ich nun also hier einsetze : [mm] (\star)\;\;\;\vektor{x^{(1)}_1\\x^{(1)}_2\\x^{(1)}_3\\x^{(1)}_4}=\blue{1}\vektor{-2\\ 1\\0\\0}+\green{1}\vektor{-3 \\ 0\\1\\0}+0*\vektor{-4\\ 0\\0\\1} [/mm] kommt mir der Vektor [mm] \vektor{-5\\ 1\\1\\0} [/mm] heraus
Hoffe das stimmt nun endlich :/
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Mi 07.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wenn ich nun also hier einsetze :
> [mm](\star)\;\;\;\vektor{x^{(1)}_1\\x^{(1)}_2\\x^{(1)}_3\\x^{(1)}_4}=\blue{1}\vektor{-2\\ 1\\0\\0}+\green{1}\vektor{-3 \\ 0\\1\\0}+0*\vektor{-4\\ 0\\0\\1}[/mm]
> kommt mir der Vektor [mm]\vektor{-5\\ 1\\1\\0}[/mm] heraus
>
> Hoffe das stimmt nun endlich :/
genau. Und damit gilt:
Der Vektor
[mm] $$\vektor{-5\\1\\1\\0} \in M\;\;(\subseteq \IR^4)$$
[/mm]
hat bzgl. [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] die Koordinatendarstellung
[mm] $$\vektor{1\\1\\0}_\mathcal{B}\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:01 Mi 07.03.2012 | | Autor: | racy90 |
Vielen Dank für die tolle Information !! :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:19 Mi 07.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für die tolle Information !! :)
bitte, gerne. Ich bin vor allem froh, dass die Koordinatendarstellung einigermaßen verständlich angekommen ist. Das kann nämlich schnell verwirren - vor allem, wenn man bei einer Koordinatendarstellung nicht klarmacht, dass das eine Koordinatendarstellung und bzgl. welcher Basis sie zu verstehen ist. Noch "schöner" macht man das ganze, indem man sozusagen bzgl. einer festen Basis [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] eines (bleiben wir zunächst mal bei endlichdimensionalen) [mm] $\IK$-Vektorraums [/mm] eine "Koordinatenabbildung" [mm] $\kappa_\mathcal{B}: [/mm] V [mm] \to \IK^{\dim(V)}$ [/mm] definiert.
Dann gilt für jedes $v [mm] \in [/mm] V$
[mm] $$\kappa_{\mathcal{B}}(v)=\vektor{r_1\\.\\.\\.\\r_{\dim(V)}}_{\mathcal{B}}$$
[/mm]
mit einem zu $v [mm] \in [/mm] V$ eindeutig bestimmten Tupel [mm] $\vektor{r_1\\.\\.\\.\\r_{\dim(V)}} \in \IK^{\dim(V)}\,.$
[/mm]
Genauer ist [mm] $\kappa_\mathcal{B}$ [/mm] ein Vektorraumisomorphismus - und das ganze besagt dann im Wesentlichen, dass man in jedem endlichdimensionalen [mm] $\IK$-Vektorraum $V\,$ [/mm] so rechnen kann, wie man es im [mm] $\IK^\dim(V)$ [/mm] tut.
In einer vielleicht intuitiv schöneren, aber im Prinzip gleichen, Schreibweise findest Du dazu etwa auch was in Bosch, Lineare Algebra (Stichwort: Koordinatenspaltenvektoren).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 21:22 Mi 07.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Leduart,
> Hallo
> die Basis um die es geht ist dein Erzeugendensystem.
> [mm]b_i\alpha_3b3[/mm] angeben kann
> also NICHT DAS ÜBLICHE (1,0,0,0) USW
> du sollst 2 Vektoren [mm](a,b,c,d)^T[/mm] angeben, die man als
> [mm]\alpha_1*b_1+\alpha_2*b_2+\alpha_3*b_3[/mm] angeben kann,
> dann sind die [mm]\alpha_i[/mm] die Koordinaten bzw Komponenten in
> dieser Basis also der Vektor in dieser Basis:
> [mm](\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,0)^T[/mm]
ist nicht böse gemeint, aber mit dieser Antwort hätte ich persönlich nicht viel anfangen können, wenn ich nicht wenigstens schonmal ansatzweise etwas über Koordinatendarstellungen gehört hätte.
"Falsch" ist übrigens der letzte Teil:
Ein Koordinatenvektor bzgl. eines Vektorraums mit der Dimension [mm] $3\,$ [/mm] besteht doch nicht aus [mm] $4\,,$ [/mm] sondern aus [mm] $3\,$ [/mm] Komponenten. Was also die Notation
[mm] $$(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,0)^T$$
[/mm]
andeuten soll, verstehe ich nicht. Vielleicht meintest Du auch sowas wie
[mm] $$(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)^T_\mathcal{B}\,,$$
[/mm]
wobei [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] eine (bzw. die hier "erstellte") Basis von [mm] $M\,$ [/mm] ist!
Ganz falsch ist das, was Du geschrieben hast, nicht - weil Du Dich natürlich auf den Standpunkt stellen kannst, dass Du die Menge der [mm] $\vektor{.\\.\\.}_{\mathcal{B}}$-Koordinatenvektoren [/mm] mit einem Unterraum des [mm] $\IR^4$ [/mm] identifizieren kannst - sozusagen "im isomorphen Sinne". Aber wenn man sich an die übliche Koordinatendarstellung hält, ist Deine Vorgehensweise halt "unüblich" (und meiner Meinung nach auch eher verwirrend, weil man das ja ewig weitertreiben kann, solche "ismorphen Identifizierungen").
Gruß,
Marcel
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