Menge Zeichnen in Zahlenebene < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:03 Mi 08.05.2013 | | Autor: | Hero991 |
| Aufgabe | (a) Zeichnen Sie die folgenden Mengen in die komplexe Zahlenebene:
A={z | |z| [mm] \le [/mm] 5 } , B={z | ||z| - 1 | < [mm] \bruch{1}{2} [/mm] }
(b) C ist ein Körper. Insbesondere hat also jedes z [mm] \in \IC [/mm] \ {0} ein multiplikatives Inverses [mm] z^1 \in \IC. [/mm] Berechnen Sie dieses für die folgenden komplexen Zahlen:
[mm] z_1= [/mm] 1 - 1i; [mm] z_2= [/mm] 6 - 6i; [mm] z_3= [/mm] x + iy mit x; y [mm] \in \IR [/mm] |
Hallo,
Bei der Aufgabe a.) hab ich die Menge A={z | |z| [mm] \le [/mm] 5 } folgendermaßen gezeichnet:
http://s7.directupload.net/images/130508/2eau62gj.png
Ich bin mir hier nicht sicher, da |z| auf Wikipedia definiert ist als [mm] \sqrt{a^2+b^2}. [/mm] ( [mm] a^2+b^2) [/mm] ist aufjedenfall eine Positive Zahl also ist das Ergebnis von der Wurzel auch Positiv.
Bei der Menge B={z | ||z| - 1 | < [mm] \bruch{1}{2} [/mm] } bin ich überfordert. Hier kann es wahrscheinlich von [mm] \bruch{1}{2} [/mm] bis -1 auf der x-Achse gehen und [mm] \bruch{1}{2}i [/mm]
Bei der Aufgabe (b) hab ich folgendes gerechnet:
[mm] z_1 [/mm] ^-1=(1-1i)^-1= [mm] \bruch{1-1i}{1^2+1^2}= \bruch{(1-1i)*(1-1i)}{1^2+1^2}= \bruch{1^2-(1i)^2}{1^2+1^2}=1
[/mm]
[mm] z_2 [/mm] und [mm] z_3 [/mm] würde ich genauso machen.
Ist alles soweit richtig? Und wie ist mein Gedanke zu der Menge B?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:14 Mi 08.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> (a) Zeichnen Sie die folgenden Mengen in die komplexe
> Zahlenebene:
> [mm] $A=\{z | |z|\le 5 \}$ [/mm]
>
> Hallo,
> Bei der Aufgabe a.) hab ich die Menge [mm] $A=\{z | |z|\le 5 \}$ [/mm]
> folgendermaßen gezeichnet:
> http://s7.directupload.net/images/130508/2eau62gj.png
das ist genau richtig: [mm] $A\,$ [/mm] ist der ABGESCHLOSSENE Kreis um den Nullpunkt
aus [mm] $\IC$ [/mm] mit Radius [mm] $5\,.$
[/mm]
> Ich bin mir hier nicht sicher, da |z| auf Wikipedia definiert ist als $ [mm] \sqrt{a^2+b^2}. [/mm] $ ( $ [mm] a^2+b^2) [/mm] $
> ist aufjedenfall eine Positive Zahl also ist das Ergebnis von der Wurzel
> auch Positiv.
Ja, und? Das gilt für [mm] $z=a+ib\,$ [/mm] für $a,b [mm] \in \IR\,,$ [/mm] und Du identifizierst [mm] $z=a+ib\,$
[/mm]
mit $(a,b) [mm] \in \IR^2\,.$ [/mm] Sogar der Abstand, den man in [mm] $\IC$ [/mm] definiert, passt
zu dem "anschaulischen" des [mm] $\IR^2$ [/mm] zusammen! (Pythagoras!)
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:27 Mi 08.05.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
zur 2 ten Menge: setze wieder [mm] |z|=x^2+y^2 [/mm] und loese die ungleichung auf. unterschede |z|-1>0 und <0
deine Rechnung zu b ist falsch. erweitere mit dem konjugiert komplexen von z
ausserdem kannst du dein ergebnis ja ueberpruefen, denn [mm] z*z^{-1}=1 [/mm] und [mm] 1*(1-i)\ne [/mm] 1!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 Do 09.05.2013 | | Autor: | Hero991 |
Okay der Tipp zur b hat geholfen, denk ich.
[mm] z^{-1}=(1 [/mm] - [mm] 1i)^{-1}= \bruch{1}{1 - 1i} [/mm] = [mm] \bruch{1*(1 + 1i)}{(1 - 1i)*(1 + 1i)}=\bruch{1 + 1i}{1+1}
[/mm]
Wenn ich jetzt [mm] z*z^{-1}=\bruch{(1+1i)*(1 - 1i)}{1 +1}= \bruch{1+1}{1 + 1}=1
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Okay der Tipp zur b hat geholfen, denk ich.
>
> [mm]z^{-1}=(1[/mm] - [mm]1i)^{-1}= \bruch{1}{1 - 1i}[/mm] = [mm]\bruch{1*(1 + 1i)}{(1 - 1i)*(1 + 1i)}=\bruch{1 + 1i}{1+1}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
[mm] $=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot{}i$
[/mm]
>
> Wenn ich jetzt [mm]z*z^{-1}=\bruch{(1+1i)*(1 - 1i)}{1 +1}= \bruch{1+1}{1 + 1}=1[/mm]
Gruß
schachuzipus
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:45 Do 09.05.2013 | | Autor: | fred97 |
Zur Menge B:
$||z| - 1 | < [mm] \bruch{1}{2} [/mm] $ [mm] \gdw [/mm] $- [mm] \bruch{1}{2}<|z|-1< \bruch{1}{2}$ \gdw $\bruch{1}{2}<|z|< \bruch{3}{2}$
[/mm]
Hilft das ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Do 09.05.2013 | | Autor: | Hero991 |
Ja weil ich hab das gleiche rausbekommen.
Ich denke, dass man die Menge folgendermaßen Zeichnen soll:
http://s7.directupload.net/images/130509/shq42b55.png
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:39 Do 09.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ja weil ich hab das gleiche rausbekommen.
>
> Ich denke, dass man die Menge folgendermaßen Zeichnen
> soll:
> http://s7.directupload.net/images/130509/shq42b55.png
Das ist falsch !
Was ist [mm] \{z \in \IC: |z|<3/2 \}?
[/mm]
Was ist [mm] \{z \in \IC: |z|>1/2 \}?
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Do 09.05.2013 | | Autor: | Hero991 |
Okay danke für die Antwort.
Ich bin ehrlich gesagt überfragt, wie man sonst die Menge Zeichnen soll.
Als Lösungsmenge bekomme ich für Fall 1(x [mm] \ge [/mm] 1): L1=[1, 3/2]
Für Fall 2 ((x < 1): L2=[1/2, 1]
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Hallo Hero991,
> Okay danke für die Antwort.
> Ich bin ehrlich gesagt überfragt, wie man sonst die Menge
> Zeichnen soll.
Das bist du sicher nicht ...
>
> Als Lösungsmenge bekomme ich für Fall 1(x [mm]\ge[/mm] 1): L1=[1,
> 3/2]
> Für Fall 2 ((x < 1): L2=[1/2, 1]
>
??
Die Menge [mm]\{z\in\IC:|z|<3/2\}[/mm] beschreibt die Kreisscheibe ohne Rand (das Innere) mit Mittelpunkt 0 und Radius [mm]3/2[/mm]
Die andere Menge analog das Äußere des Kreises um 0 mit Radius 1/2
Beides geschnitten ergibt was?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Do 09.05.2013 | | Autor: | Hero991 |
Der Schnitt beide Mengen/Kreise sollte 1/2 sein, oder?
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Nein!
Vom ersten Kreis das Innere, vom zweiten das Äußere ...
Das ist doch im Schnitt kein Punkt ...
Zeichne dir das doch mal auf ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Do 09.05.2013 | | Autor: | Hero991 |
Okay, da hab ich was missverstanden.
Wenn 3/2 der erste Kreis ist und 1/2 der zweite Kreis ist, dann sollte es folgende Zeichnung geben:
http://s1.directupload.net/images/130509/7lqhqrww.png
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Hallo nochmal,
> Okay, da hab ich was missverstanden.
>
> Wenn 3/2 der erste Kreis ist und 1/2 der zweite Kreis ist,
???
3/2 ist der Radius des ersten Kreises ...
Was soll denn "3/2 ist der erste Kreis bedeuten" ???
> dann sollte es folgende Zeichnung geben:
> http://s1.directupload.net/images/130509/7lqhqrww.png
Stimmt!
Aber ohne die Kreisränder !! Also quasi der Fleischwurstring ohne die Pelle 
Das Gebilde nennt sich "Kreisring" (oder offener Kreisring)
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:09 Do 09.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Schachuzipus,
> Hallo nochmal,
>
>
>
> > Okay, da hab ich was missverstanden.
> >
> > Wenn 3/2 der erste Kreis ist und 1/2 der zweite Kreis
> ist,
>
> ???
>
> 3/2 ist der Radius des ersten Kreises ...
>
> Was soll denn "3/2 ist der erste Kreis bedeuten" ???
>
> > dann sollte es folgende Zeichnung geben:
> > http://s1.directupload.net/images/130509/7lqhqrww.png
>
> Stimmt!
>
> Aber ohne die Kreisränder !! Also quasi der
> Fleischwurstring ohne die Pelle
ich finde die Bezeichnung, die einer meiner Professoren (der werte Herr
Luh) immer verwendet hat, hier besonders passend:
Anstatt des"Kreisrandes" verwendete er meist den Begriff der Kreislinie.
Darunter können sich die meisten direkt das Gemeinte vorstellen. (Und
man ist nicht dabei, schon Begriffe wie "Rand einer Menge" zu benutzen,
auch, wenn das natürlich auch schon Vorteile haben könnte).
In diesem Sinne habe ich solche Begriffe auch vor kurzem
hier (klick!) benutzt!
Gruß,
Marcel
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