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Forum "Diskrete Mathematik" - Menge aller Abbildungen
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Menge aller Abbildungen: Verständnisproblem
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:06 So 03.02.2019
Autor: magics

Aufgabe
Gegeben ist die folgende Aussage aus der Literatur:

Die Menge [mm] $X^{\{1,2,...,n\}}$ [/mm] aller Abbildungen von [mm] $\{1,2,...,n\}$ [/mm] nach $X$ ist nichts anderes, als die Menge aller n-Tupel über X, also gleich [mm] $X^{n}$ [/mm] dem n-fachen kartesischen Produkt von $X$ mit sich selbst.

Ich zeige nun, dass die Aussage unwahr ist:

Sei $X := [mm] \{a, b\}$ [/mm]
[mm] $X^{\{1,2\}}$ [/mm] ist die Menge aller Abbildungen von [mm] $\{1,2\}$ [/mm] nach $X = [mm] \{a,b\}$. [/mm] Nach der obigen Definition ist dies gleich der Menge aller n-Tupel. Diese sind schnell aufgezählt: [mm] \{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)\}. [/mm] Dies soll nach Definition jedoch mit dem n-fachen kartesischen Produkt von $X$ mit sich selbst übereinstimmen. Dieses ist [mm] $X^{2} [/mm] = [mm] \{a,b\}\times \{a,b\} [/mm] = [mm] \{(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)\}$ [/mm]

Damit ist [mm] $\{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)\} \not= \{(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)\}$ [/mm]

Ich nehme an, dass ich Unrecht habe. Wo ist mein Denkfehler?

Grüße
Thomas

        
Bezug
Menge aller Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:30 So 03.02.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  Ich zeige nun, dass die Aussage unwahr ist:

Mutig.

> Ich nehme an, dass ich Unrecht habe. Wo ist mein Denkfehler?

Das nehm ich mal vorweg: Ja hast du.  

> Sei [mm]X := \{a, b\}[/mm]
>  [mm]X^{\{1,2\}}[/mm] ist die Menge aller
> Abbildungen von [mm]\{1,2\}[/mm] nach [mm]X = \{a,b\}[/mm].

> Nach der obigen Definition ist dies gleich der Menge aller n-Tupel.

Ja.

> Diese sind schnell aufgezählt: [mm]\{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)\}.[/mm]

Nö.
Es ist $n=2$, aber das was du aufgeschrieben hast sind keine 2-Tupel über X, sondern das sind 2 Tupel aus [mm] $\{1,2\} \times [/mm] X$.

2-Tupel über X haben die Form $(x,y)$ mit $x,y [mm] \in [/mm] X$.
D.h. in deinem Fall sind alle 2-Tupel über X eben: $(a,a),(a,b)(b,a)(b,b)$

Und: Das passt ganz wunderbar zur Literaturaussage, dass ist nämlich nichts anderes als [mm] $X^2$ [/mm]

Die Idee hinter der Aussage aus deiner Literatur ist eigentlich ganz einfach: Du möchtest alle Abbildungen von [mm] $\{1,\ldots,n\}$ [/mm] nach X charakterisieren.
Da du einen endlichen Urbildraum betrachtest, sind sämtliche mögliche Funktionen $f$ also eindeutig durch die endlich vielen Funktionswerte [mm] $f(1),\ldots,f(n)$ [/mm] bestimmt.
Bezeichnen wir nun $f(1) = [mm] x_1, \ldots, [/mm] f(n) = [mm] x_n$ [/mm] so ist jede Funktion also eindeutig bestimmt durch das n-Tupel [mm] $(x_1,\ldots,x_n) \in X^n$. [/mm] Umgekehrt definiert mir genauso jedes n-Tupel eine mögliche Funktion [mm] $\{1,\ldots,n\} \to [/mm] X$

Aber: Deine Unklarheit kommt eher aus der etwas schwammigen Aussage aus deiner Literatur.
Mathematisch sauberer formuliert müsste die Aussage nämlich lauten:
Die Menge $ [mm] X^{\{1,2,...,n\}} [/mm] $ aller Abbildungen von $ [mm] \{1,2,...,n\} [/mm] $ nach $X$ kann interpretiert werden als die Menge aller n-Tupel über X, also gleich $ [mm] X^{n} [/mm] $ dem n-fachen kartesischen Produkt von $ X $ mit sich selbst.

Wobei "interpretiert werden" meint, es gibt eine natürliche bijektive Abbildung von der Menge  $ [mm] X^{\{1,2,...,n\}} [/mm] $ auf [mm] $X^n$, [/mm] nämlich gerade die oben beschriebene Abbildung:
$f [mm] \mapsto (f(1),\ldots,f(n))$ [/mm]

Denn: Natürlich unterscheiden sich die Mengen schon.
[mm] $X^{\{1,2,...,n\}}$ [/mm] ist eine Menge von Funktionen
[mm] $X^n$ [/mm] ist eine Menge von n-Tupeln mit Elementen aus $X$.

Folglich können beide Mengen im Allgemeinen nicht gleich sein.
Aber man kann sie miteinander über eine Bijektion identifizieren.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Menge aller Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:13 So 03.02.2019
Autor: magics

Hallo Gono,

ich korrigiere zunächst meinen Fehler und schreibe [mm] $X^{\{1,2\}} [/mm] = [mm] X^{2} [/mm] = [mm] \{(a,a),(a,b)(b,a)(b,b)\}$. [/mm] Die Menge [mm] $X^{2}$ [/mm] ist also so zu verstehen, dass es die Abbildungen

[mm] $f_1: [/mm] f(1) = a, f(2) = a$,
[mm] $f_2: [/mm] f(1) = a, f(2) = b$,
[mm] $f_3: [/mm] f(1) = b, f(2) = a$,
[mm] $f_4: [/mm] f(1) = b, f(2) = b$

gibt. Zum Beispiel ist das n-Tupel $(b,a)$ eindeutig charakteristisch für [mm] $f_3$ [/mm] von oben. Ist das korrekt?

> Aber: Deine Unklarheit kommt eher aus der etwas schwammigen
> Aussage aus deiner Literatur.
>  Mathematisch sauberer formuliert müsste die Aussage
> nämlich lauten:
>  Die Menge [mm]X^{\{1,2,...,n\}}[/mm] aller Abbildungen von
> [mm]\{1,2,...,n\}[/mm] nach [mm]X[/mm] kann interpretiert werden als die
> Menge aller n-Tupel über X, also gleich [mm]X^{n}[/mm] dem n-fachen
> kartesischen Produkt von [mm]X[/mm] mit sich selbst.
>  
> Wobei "interpretiert werden" meint, es gibt eine
> natürliche bijektive Abbildung von der Menge  
> [mm]X^{\{1,2,...,n\}}[/mm] auf [mm]X^n[/mm], nämlich gerade die oben
> beschriebene Abbildung:
>  [mm]f \mapsto (f(1),\ldots,f(n))[/mm]

Danke! Im Buch steht tatsächlich (weiter oben), dass man das "auffassen kann als...". Diese kleine aber entscheidende Formulierung habe ich völlig ignoriert und so kam eins zum andern.

Grüße
Thomas


Bezug
                        
Bezug
Menge aller Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:07 Mo 04.02.2019
Autor: Marc

Hallo magics,

> ich korrigiere zunächst meinen Fehler und schreibe
> [mm]X^{\{1,2\}} = X^{2} = \{(a,a),(a,b)(b,a)(b,b)\}[/mm]. Die Menge
> [mm]X^{2}[/mm] ist also so zu verstehen, dass es die Abbildungen
>  
> [mm]f_1: f(1) = a, f(2) = a[/mm],
>  [mm]f_2: f(1) = a, f(2) = b[/mm],
>  [mm]f_3: f(1) = b, f(2) = a[/mm],
>  
> [mm]f_4: f(1) = b, f(2) = b[/mm]
>  
> gibt. Zum Beispiel ist das n-Tupel [mm](b,a)[/mm] eindeutig
> charakteristisch für [mm]f_3[/mm] von oben. Ist das korrekt?

Das ist vollkommen korrekt. [ok]
  
Viele Grüße
Marc

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