Menge aller R-linearen Abb. < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen sie die Menge aller [mm] \IR [/mm] -linearen Abbildungen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] (jeweils als Vektorraum über [mm] \IR). [/mm] |
Hallo ihr lieben,
ich habe bei der oben stehenden Frage überhaupt keine Idee was ich da zeigen muss.
Ich weiß, dass ich für lineare Abbildungen die 2 Kriterien:
(i) f(a+b)=f(a)+f(b) für alle a,b aus V
[mm] (ii)f(\alpha [/mm] a) = [mm] \alpha [/mm] f(a) für alle [mm] \alpha [/mm] aus V und a aus V
zeigen muss, aber wie mache ich das mit [mm] \IR???
[/mm]
Könnt ihr mit helfen, was ich zeigen muss und wie ich ansetze??
LG und vielen Dank
pythagora
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:31 Fr 15.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Du sollst alle [mm] \IR- [/mm] linearen Abbildungen $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] bestimmen
Tipps:
Wie sieht eine reelle 1x1-Matrix aus ?
Obiges f lässt sich durch eine reelle 1x1-Matrix darstellen
FRED
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Hallo,
danke für die schnelle antwort.
> Du sollst alle [mm]\IR-[/mm] linearen Abbildungen [mm]f: \IR \to \IR[/mm]
> bestimmen
Aber was genau sagt mir [mm] \IR- [/mm] linear?? Oder was soll es mir sagen??
> Tipps:
>
> Wie sieht eine reelle 1x1-Matrix aus ?
eine 1x1 matrix? das ist ja nur eine Ziffer, oder?? vielleicht die 1, weil [mm] \IR *1=\IR [/mm] ?????? (aber nur geraten)
pythagora
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Hallo,
jede lineare Abbildung von [mm] \IR^n\to\IR^m [/mm] kann dargestellt werden durch:
$$f(x)=Ax$$
Dabei ist $A$ eine [mm] $m\times [/mm] n$-Matrix.
Wie sieht dann jede lineare Abbildung von [mm] \IR^{\red{1}}\to \IR^{\red{1}} [/mm] aus?
Gruß Patrick
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Hallo,
> jede lineare Abbildung von [mm]\IR^n\to\IR^m[/mm] kann dargestellt
> werden durch:
>
> [mm]f(x)=Ax[/mm]
und kannst du mir sagen, warum das gilt??
> Dabei ist [mm]A[/mm] eine [mm]m\times n[/mm]-Matrix.
>
> Wie sieht dann jede lineare Abbildung von [mm]\IR^{\red{1}}\to \IR^{\red{1}}[/mm]
> aus?
f(x) wäre dann doch = Ax, wobei A eine 1x1 Matrix ist, also die "einheitsmatrix" mit "nur" einer einzigen 1 als Zeile bzw. Spalte?!??
Handelt es sich bei der Abbildung um eine bijektion, soll ich das zeigen?? Aber wie soll ich eine Menge der Abb. bestimmen?? ih weiß immer noch nicht in welche Richtung ich gehen muss....
LG
pythagora
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Hallo,
ist die Menge aller Abbildungen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] vielleicht [mm] \IR^\IR???
[/mm]
Aber wie zeige ich das?? (wenn es so ist) Durch die beiden Kritereien??
Kann mir jemand helfen??
Das wäre lieb. Vielen Dank schon mal.
LG
pythagora
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:59 Fr 15.01.2010 | | Autor: | pythagora |
Hallo,
ich habe gerade noch eine Hilfestellung erhalten (vom Aufgabensteller), und zwar:
Welche Teilinformation bestimmt eine solche Abbildung bereits vollständig?
ist damit [mm] \IR^\IR [/mm] gemeint??
oder vielleicht, dass [mm] |\IR^\IR |=|\IR| ^{|\IR |} [/mm] gilt ???
Ich bin trotzdem weiterhin ratlos und weiß nicht, ob ich mit meiner Vermutung richtig liege!?!?!
LG
pythagora
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> Hallo,
> ist die Menge aller Abbildungen von [mm]\IR[/mm] nach [mm]\IR[/mm]
> vielleicht [mm]\IR^\IR???[/mm]
Ja, das verbigt sich hinter der Schreibweise [mm] \IR^\IR.
[/mm]
> Aber wie zeige ich das??
Gar nicht. [mm] \IR^\IR [/mm] ist doch bloß die Bezeichnung für die Menge aller Abbildungen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR.
[/mm]
Du sollst diese Frage beantworten:
wenn [mm] f:\IR \to \IR [/mm] eine lineare Abbildung ist, wie sieht die dann aus?
[mm] f(x):=4x^2+5 [/mm] zum Beispiel ist keine.
Gruß v. Angela
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> Hallo,
>
> > jede lineare Abbildung von [mm]\IR^n\to\IR^m[/mm] kann dargestellt
> > werden durch:
> >
> > [mm]f(x)=Ax[/mm]
> und kannst du mir sagen, warum das gilt??
Hallo,
das sollte in der Vorlesung drangewesen sein. (Man kann es überall nachlesen.)
Wenn nicht, was ich aufgrund Deiner Reaktion vermute, dann mußt Du einen anderen Weg suchen
> > Dabei ist [mm]A[/mm] eine [mm]m\times n[/mm]-Matrix.
> >
> > Wie sieht dann jede lineare Abbildung von [mm]\IR^{\red{1}}\to \IR^{\red{1}}[/mm]
> > aus?
> f(x) wäre dann doch = Ax, wobei A eine 1x1 Matrix ist,
> also die "einheitsmatrix" mit "nur" einer einzigen 1 als
> Zeile bzw. Spalte?!??
Nein. A wäre irgendeine 1x1-Matrix, also irgendeinene Zahl a. A=(a)
>
> Handelt es sich bei der Abbildung um eine bijektion,
Für a=0 nicht.
soll
> ich das zeigen??
Nein. Die wollen nur von Dir wissen, wie dieses Abbildungen aussehen, und das wissen wir jetzt: f(x)=ax.
Gruß v. Angela
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> Bestimmen sie die Menge aller [mm]\IR[/mm] -linearen Abbildungen von
> [mm]\IR[/mm] nach [mm]\IR[/mm] (jeweils als Vektorraum über [mm]\IR).[/mm]
> Hallo ihr lieben,
> ich habe bei der oben stehenden Frage überhaupt keine
> Idee was ich da zeigen muss.
>
> Ich weiß, dass ich für lineare Abbildungen die 2
> Kriterien:
> (i) f(a+b)=f(a)+f(b) für alle a,b aus V
> [mm](ii)f(\alpha[/mm] a) = [mm]\alpha[/mm] f(a) für alle [mm]\alpha[/mm] aus V und a
> aus V
> zeigen muss, aber wie mache ich das mit [mm]\IR???[/mm]
Hallo,
zunächst mal erinnere Dich daran, (= lies das ggf. nach) daß jeder Körper K ein K-Vektorraum ist.
Es ist also [mm] \IR [/mm] ein [mm] \IR [/mm] Vektorraum über sich selbst.
So, nun stellen wir uns vor, daß wir eine lineare Abbildung f haben, welche aus dem VR [mm] \IR [/mm] in den VR [mm] \IR [/mm] abbildet.
Wir müssen also keine Linearität zeigen, sondern setzen sie voraus.
Gut. Wenn wir solch eine Funktion haben, dann hat sie an der Stelle 1 selbstverständlich einen Funktionswert. Wir nennen ihm mal m, also
f(1):=m.
Nun überlege Du Dir mithilfe der Linearität der Abbildung mal, wie Du mit dessen Hilfe f(5) und [mm] f(\bruch{47}{11}) [/mm] berechnen kannst.
Das sollte Dich dann zur Lösung führen.
Gruß v. Angela
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Guten morgen, danke für die Antwort.
> So, nun stellen wir uns vor, daß wir eine lineare
> Abbildung f haben, welche aus dem VR [mm]\IR[/mm] in den VR [mm]\IR[/mm]
> abbildet.
> Wir müssen also keine Linearität zeigen, sondern setzen
> sie voraus.
also weil in der Aufg-stellung gesagt wurde, dass es sich um eine [mm] \IR-lineare [/mm] Abbildung handelt, kann ich davon ausgehen, dass es die form f(x)=mx hat?? Das muss ich nicht irgendwie beweisen?? Sehe ich das so richtig?
> Gut. Wenn wir solch eine Funktion haben, dann hat sie an
> der Stelle 1 selbstverständlich einen Funktionswert. Wir
> nennen ihm mal m, also
>
> f(1):=m.
>
> Nun überlege Du Dir mithilfe der Linearität der Abbildung
> mal, wie Du mit dessen Hilfe f(5) und [mm]f(\bruch{47}{11})[/mm]
> berechnen kannst.
ok, bei f(1)=1*m (weil x=1)
bei f(5)=5*m
bei [mm] f(\bruch{47}{11})=\bruch{47}{11}*m
[/mm]
Und nun?? Bedeutet dass, dass m dann eine Konstante aus [mm] \IR [/mm] ist???
Es gilt f(x)=f(x*1)=??? (Hier komm ich nicht weiter, kann ich schreiben =f(x)* f(1), aber das bringt mich irgendwie ncht weiter....)
LG
pythagora
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> Guten morgen, danke für die Antwort.
>
> > So, nun stellen wir uns vor, daß wir eine lineare
> > Abbildung f haben, welche aus dem VR [mm]\IR[/mm] in den VR [mm]\IR[/mm]
> > abbildet.
> > Wir müssen also keine Linearität zeigen, sondern
> setzen
> > sie voraus.
> also weil in der Aufg-stellung gesagt wurde, dass es sich
> um eine [mm]\IR-lineare[/mm] Abbildung handelt, kann ich davon
> ausgehen, dass es die form f(x)=mx hat??
Hallo,
nein.
Der Gedanke geht so: wenn f linear ist, dann kann f nur die Gestalt f(x)=mx haben.
Du setzt also die Linearität voraus, und zeigst, daß sich hieraus obige Gestalt ergibt.
Was hast Du dann gewonnen? Du weißt, daß, sofern es von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] überhaupt lineare Abildungen gibt, sie diese Gestalt haben.
Danach rechnest Du noch nach, daß die Abbildungen dieser Machart tatsächlich linear sind.
Dann bist Du fertig.
Das muss ich nicht
> irgendwie beweisen?? Sehe ich das so richtig?
> > Gut. Wenn wir solch eine Funktion haben, dann hat sie an
> > der Stelle 1 selbstverständlich einen Funktionswert. Wir
> > nennen ihm mal m, also
> >
> > f(1):=m.
> >
> > Nun überlege Du Dir mithilfe der Linearität der Abbildung
> > mal, wie Du mit dessen Hilfe f(5) und [mm]f(\bruch{47}{11})[/mm]
> > berechnen kannst.
> ok, bei f(1)=1*m (weil x=1)
> bei f(5)=5*m
Warum?
Du weißt nicht anderes, als daß f(1)=m und f ist linear.
Bedenke: f(5)=f(5*1)= ... (2. Linearitätsbedingung)
> bei [mm]f(\bruch{47}{11})=\bruch{47}{11}*m[/mm]
Aus demselben Grund wie zuvor.
> Und nun?? Bedeutet dass, dass m dann eine Konstante aus
> [mm]\IR[/mm] ist???
Ja. Der Funktionswert an der Stelle 1, das hatten wir ja so definiert.
>
> Es gilt f(x)=f(x*1)=???
[mm] f(\underbrace{x}_{\in K=\IR}*\underbrace{1}_{\in V=\IR})= [/mm]
Linearität ausnutzen!
Gruß v. Angela
> (Hier komm ich nicht weiter, kann
> ich schreiben =f(x)* f(1), aber das bringt mich irgendwie
> ncht weiter....)
>
> LG
> pythagora
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Hallo,
ok, bin schon ein bisschen weiter gekommen
> > Guten morgen, danke für die Antwort.
> >
> > > So, nun stellen wir uns vor, daß wir eine lineare
> > > Abbildung f haben, welche aus dem VR [mm]\IR[/mm] in den VR [mm]\IR[/mm]
> > > abbildet.
> > > Wir müssen also keine Linearität zeigen, sondern
> > setzen
> > > sie voraus.
> > also weil in der Aufg-stellung gesagt wurde, dass es
> sich
> > um eine [mm]\IR-lineare[/mm] Abbildung handelt, kann ich davon
> > ausgehen, dass es die form f(x)=mx hat??
>
> Hallo,
>
> nein.
>
> Der Gedanke geht so: wenn f linear ist, dann kann f nur die
> Gestalt f(x)=mx haben.
>
> Du setzt also die Linearität voraus, und zeigst, daß sich
> hieraus obige Gestalt ergibt.
ok, ich glaube das habe ich jetzt richtig verstanden (ich habe meine Gedanken mal getippt in der zeit...)
>
> Was hast Du dann gewonnen? Du weißt, daß, sofern es von
> [mm]\IR[/mm] nach [mm]\IR[/mm] überhaupt lineare Abildungen gibt, sie diese
> Gestalt haben.
> Danach rechnest Du noch nach, daß die Abbildungen dieser
> Machart tatsächlich linear sind.
> Dann bist Du fertig.
>
>
>
> Das muss ich nicht
> > irgendwie beweisen?? Sehe ich das so richtig?
> > > Gut. Wenn wir solch eine Funktion haben, dann hat sie
> an
> > > der Stelle 1 selbstverständlich einen Funktionswert. Wir
> > > nennen ihm mal m, also
> > >
> > > f(1):=m.
> > >
> > > Nun überlege Du Dir mithilfe der Linearität der Abbildung
> > > mal, wie Du mit dessen Hilfe f(5) und [mm]f(\bruch{47}{11})[/mm]
> > > berechnen kannst.
> > ok, bei f(1)=1*m (weil x=1)
> > bei f(5)=5*m
>
> Warum?
> Du weißt nicht anderes, als daß f(1)=m und f ist
> linear.
>
> Bedenke: f(5)=f(5*1)= ... (2. Linearitätsbedingung)
aber hatte ich das den nicht richtig?? ich dachte das wäre so:
f(5)=f(5*1)=weil f(x)= m*x=m*(5*1)= m*5*1=(m*1)*5=m*5
--> f(5)=m*5 oder nicht??
> > bei [mm]f(\bruch{47}{11})=\bruch{47}{11}*m[/mm]
>
> Aus demselben Grund wie zuvor.
>
> > Und nun?? Bedeutet dass, dass m dann eine Konstante aus
> > [mm]\IR[/mm] ist???
>
> Ja. Der Funktionswert an der Stelle 1, das hatten wir ja so
> definiert.
>
> >
> > Es gilt f(x)=f(x*1)=???
>
> [mm]f(\underbrace{x}_{\in K=\IR}*\underbrace{1}_{\in V=\IR})=[/mm]
>
> Linearität ausnutzen!
ok, soweit so gut, ich hab nur noch eine (bzw zwei) fragen. Also bei dem 2. kriterium ist das ja mit [mm] \alpha [/mm] * x .... --> ist ist doch aus (V, also aus) [mm] \IR [/mm] und [mm] \alpha [/mm] ist auch aus [mm] \IR [/mm] (aus K kann ich ja wohl nicht schreiben oder???)
und nummer zwei, ich hab mein getipptes mal angehängt, so hab ich das momentan.... ich habe gezeigt, dass die Abbildung von R nach R die From f(x)=mx hat und dass die beiden kriterien gelten, war das dann alles?? oder fehlt noch was??
LG und vielen Dank
pythagora
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> > > > f(1):=m.
> > > >
> > > > Nun überlege Du Dir mithilfe der Linearität der Abbildung
> > > > mal, wie Du mit dessen Hilfe f(5) und [mm]f(\bruch{47}{11})[/mm]
> > > > berechnen kannst.
> > > ok, bei f(1)=1*m (weil x=1)
> > > bei f(5)=5*m
> >
> > Warum?
> > Du weißt nicht anderes, als daß f(1)=m und f ist
> > linear.
> >
> > Bedenke: f(5)=f(5*1)= ... (2. Linearitätsbedingung)
> aber hatte ich das den nicht richtig??
Hallo,
das Ergebnis war richtig, der Weg allerdings nicht zu erkennen.
ich dachte das
> wäre so:
> f(5)=f(5*1)=weil f(x)= m*x=m*(5*1)= m*5*1=(m*1)*5=m*5
> --> f(5)=m*5 oder nicht??
Nein. Da? f(x)=mx, wollen wir doch erst zeigen.
Du mußt bei f(5*1) die vorausgesetzte Linearität verwenden.
> > >
> > > Es gilt f(x)=f(x*1)=???
> >
> > [mm]f(\underbrace{x}_{\in K=\IR}*\underbrace{1}_{\in V=\IR})=[/mm]
> >
> > Linearität ausnutzen!
> ok, soweit so gut, ich hab nur noch eine (bzw zwei)
> fragen. Also bei dem 2. kriterium ist das ja mit [mm]\alpha[/mm] * x
> .... --> ist ist doch aus (V, also aus) [mm]\IR[/mm] und [mm]\alpha[/mm] ist
> auch aus [mm]\IR[/mm] (aus K kann ich ja wohl nicht schreiben
> oder???)
Die sind aus [mm] \IR. [/mm] Und [mm] \IR [/mm] kann man als Vektorraum über dem Skalarenkörper [mm] \IR [/mm] betrachten.
(In der VL oder Übung wurde sicher gezeigt: jeder Körper K ist ein VR über sich selbst.)
> und nummer zwei, ich hab mein getipptes mal angehängt, so
> hab ich das momentan.... ich habe gezeigt, dass die
> Abbildung von R nach R die From f(x)=mx hat und dass die
> beiden kriterien gelten, war das dann alles?? oder fehlt
> noch was??
Es ist weitgehend richtig, ich hätte nur kleinere Anmerkungen - welche ich in Deinem Dokument aber nicht plazieren kann.
Eine Frage bleibt nun auch mir: warum hast Du verschwiegen, daß Du die frage auch an anderer Stelle gestellt hast? (Beachte hierzu bitte die Forenregeln.)
Fast alles, was ich geschrieben habe, stand auch schon dort, hab' ich festgestellt. Da komme ich mir schon ein bißchen veralbert vor...
Gruß v. Angela
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Hey
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> > > > > f(1):=m.
> > > > >
> > > > > Nun überlege Du Dir mithilfe der Linearität der Abbildung
> > > > > mal, wie Du mit dessen Hilfe f(5) und [mm]f(\bruch{47}{11})[/mm]
> > > > > berechnen kannst.
> > > > ok, bei f(1)=1*m (weil x=1)
> > > > bei f(5)=5*m
> > >
> > > Warum?
> > > Du weißt nicht anderes, als daß f(1)=m und f ist
> > > linear.
> > >
> > > Bedenke: f(5)=f(5*1)= ... (2. Linearitätsbedingung)
> > aber hatte ich das den nicht richtig??
>
> Hallo,
>
> das Ergebnis war richtig, der Weg allerdings nicht zu
> erkennen.
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>
> ich dachte das
> > wäre so:
> > f(5)=f(5*1)=weil f(x)= m*x=m*(5*1)= m*5*1=(m*1)*5=m*5
> > --> f(5)=m*5 oder nicht??
>
> Nein. Da? f(x)=mx, wollen wir doch erst zeigen.
aber ich dachte, das hätte ich schon am anfang ganz algemein mit x gezeigt?? so:
f(x)=f(x*1)=f(x)*1
f(x)=f(x*1)=f(1)*x--> und daraus komme ich dann doch auf die Form f(x)=mx und dann kann ich damit doch die beiden kriterein nachweisen oder geht das so nicht???
> Du mußt bei f(5*1) die vorausgesetzte Linearität
> verwenden.
>
>
> > > >
> > > > Es gilt f(x)=f(x*1)=???
> > >
> > > [mm]f(\underbrace{x}_{\in K=\IR}*\underbrace{1}_{\in V=\IR})=[/mm]
> > >
> > > Linearität ausnutzen!
> > ok, soweit so gut, ich hab nur noch eine (bzw zwei)
> > fragen. Also bei dem 2. kriterium ist das ja mit [mm]\alpha[/mm] * x
> > .... --> ist ist doch aus (V, also aus) [mm]\IR[/mm] und [mm]\alpha[/mm] ist
> > auch aus [mm]\IR[/mm] (aus K kann ich ja wohl nicht schreiben
> > oder???)
>
> Die sind aus [mm]\IR.[/mm] Und [mm]\IR[/mm] kann man als Vektorraum über dem
> Skalarenkörper [mm]\IR[/mm] betrachten.
> (In der VL oder Übung wurde sicher gezeigt: jeder Körper
> K ist ein VR über sich selbst.)
>
>
> > und nummer zwei, ich hab mein getipptes mal angehängt, so
> > hab ich das momentan.... ich habe gezeigt, dass die
> > Abbildung von R nach R die From f(x)=mx hat und dass die
> > beiden kriterien gelten, war das dann alles?? oder fehlt
> > noch was??
>
> Es ist weitgehend richtig, ich hätte nur kleinere
> Anmerkungen - welche ich in Deinem Dokument aber nicht
> plazieren kann.
>
> Eine Frage bleibt nun auch mir: warum hast Du verschwiegen,
> daß Du die frage auch an anderer Stelle gestellt hast?
Tut mir leid, aber mir hatte gestern erst jemand geantwortet aber auch nur ein oder zwei mal und dann kam mehrere stunden lang nichts, und da ich schon den ganzen tag gewartet habe und einfach nicht weiter kam, dachte ich dass mir hier nicht geholfen wird. Ich hatte ja immerhin 3 fragen gestellt und auch abends hatte ich keine reaktion.... Und da hab ich halt noch mal woanders nach hilfe gesucht, ich dachte, dass mich das weiter bringt, aber du hast mir da eher geholfen, danke^^Hab dann wohl gestern im eifer des gefechts verpennt nochmal ne mitteilung unter die 3 fragen zu setzen... sorry.
LG
pythagora
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:39 Sa 16.01.2010 | | Autor: | pythagora |
Hey,
oki hatte die Forenregeln gar nicht mehr so im Kopf, grad noch mal gelesen danke für den Hinwei; wusse ich nicht....
hier der ![[]](/images/popup.gif) Link, und nochmals ein dickes SORRY, aber jetzt weiß ich ja bescheid, das ich das angeben muss.
LG
pythagora
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> > ich dachte das
> > > wäre so:
> > > f(5)=f(5*1)=weil f(x)= m*x=m*(5*1)=
> m*5*1=(m*1)*5=m*5
> > > --> f(5)=m*5 oder nicht??
> >
> > Nein. Daß f(x)=mx, wollen wir doch erst zeigen.
> aber ich dachte, das hätte ich schon am anfang ganz
> algemein mit x gezeigt??
Hallo,
ich weiß leider gerade nicht, vom Anfang eines welchen Posts Du sprichst.
Ich sprach jedenfalls von einem, in welchem f(x)=mx für ein [mm] m\in \IR [/mm] noch nicht gezeigt war.
so:
> f(x)=f(x*1)=f(x)*1
das stimt zwar irgendwie, erhellt aber nicht.
> f(x)=f(x*1)=f(1)*x-->
Wenn man die Linearitätsbedingungen und VR-Regeln 1:1 umsetzt, dann eher f(x)=x*f(1), weil wir im Körper rechnen, gilt das Umgekehrte natürlich auch.
> und daraus komme ich dann doch auf
> die Form f(x)=mx und dann kann ich damit doch die beiden
> kriterein nachweisen oder geht das so nicht???
Doch. so geht's.
Gruß v. Angela
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Hey, danke.
Also ist das ok, wenn ich das so mache:
die beiden kriterien für lin. Abb. sind nachzuweisen.
Nun suchen wir zuerst nach der Gestalt der linearen Abbildungen von R nach R. Es gilt (durch ii):
f(x)=f(x*1)=x*f(1) --> f(1) definiere ich als m. und m ist eine Konstante aus R. Die Funktion hat dager die R-lineare Form f(x)=mx
und dann die 2 Kriterien:
(i)
f(x+y)=m(y+x)=mx+my=f(x)+f(y)
(ii)
f(a*x)=m(a*x)=(m*x)*a=f(x)*a
So würde ich das jetzt machen. Ich bin davon eigenlich auch überzeugt. Aber fehlt da noch was?? Hab ich was übersehen??
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> Hey, danke.
> Also ist das ok, wenn ich das so mache:
> die beiden kriterien für lin. Abb. sind nachzuweisen.
Hallo,
nein. Zunächst ist vorausgesetzt, daß [mm] f:\IR\to \IR [/mm] linear ist.
> Nun suchen wir zuerst nach der Gestalt der linearen
> Abbildungen von R nach R.
Ja.
> Es gilt (durch ii):
> f(x)=f(x*1)=x*f(1)
Genau.
> --> f(1) definiere ich als m.
damit man nicht so viel schreiben muß.
> und m ist
> eine Konstante aus R.
"eine reelle Zahl " würde man dazu normalerweise sagen.
> Die Funktion hat kann daher nur die R-lineare
> Form f(x)=mx
mit [mm] m\in \IR [/mm] haben.
In der Tat ist für jedes [mm] m\in \IR [/mm] die durch f(x):=mx definierte Funktion f linear, denn es ist
> und dann die 2 Kriterien:
> (i)
> f(x+y)=m(y+x)=mx+my=f(x)+f(y)
> (ii)
> f(a*x)=m(a*x)=(m*x)*a=f(x)*a
In deinem Anhang hattest Du das als menge geschrieben, das würd' ich unbedingt als Fazit tun, da ja nach einer Menge gefragt ist.
Gruß v. Angela
> So würde ich das jetzt machen. Ich bin davon eigenlich
> auch überzeugt. Aber fehlt da noch was?? Hab ich was
> übersehen??
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:57 Sa 16.01.2010 | | Autor: | pythagora |
Vielen Dank!
pythagora
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