Menge der Häufungspunkte < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:03 Fr 19.07.2013 | | Autor: | Sin777 |
Hallo, ich schaue mich gerade den Beweis zu folgendem Satz an: Jede reelle beschränkte Zahlenfolge besitzt einen größten und einen kleinsten Häufungspunkt. Der Beweis, wie ich ihn hier habe, ist mir soweit klar. Bis auf eine Aussage: Die Menge aller Häufungspunkte ist beschränkt. Leider haben wir das nicht bewiesen und mich würde trotzdem interessieren, wie man das zeigen kann. Viele Grüße.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:41 Fr 19.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo, ich schaue mich gerade den Beweis zu folgendem Satz
> an: Jede reelle beschränkte Zahlenfolge besitzt einen
> größten und einen kleinsten Häufungspunkt. Der Beweis,
> wie ich ihn hier habe, ist mir soweit klar. Bis auf eine
> Aussage: Die Menge aller Häufungspunkte ist beschränkt.
> Leider haben wir das nicht bewiesen und mich würde
> trotzdem interessieren, wie man das zeigen kann. Viele
das ist ja schon fast eine rhetorische Frage. Beachte:
Ist $M [mm] \subseteq \IR$ [/mm] so, dass [mm] $m_1 \le [/mm] m [mm] \le m_2$ [/mm] für alle $m [mm] \in M\,,$ [/mm] wobei [mm] $m_1=\min [/mm] M$ und [mm] $m_2= \max M\,,$
[/mm]
so ist [mm] $M\,$ [/mm] beschränkt:
Für alle $m [mm] \in [/mm] M$ gilt dann doch $|m| [mm] \le \overline{m}:=\max\{|m_1|,\;|m_2|\}\,.$ [/mm]
Etwas allgemeiner kannst Du analog zeigen: Eine Menge $M [mm] \subseteq \IR$ [/mm] ist genau dann
beschränkt (im Sinne von $|m| [mm] \le [/mm] c$ für alle $m [mm] \in [/mm] M$ - für eine Konstante $c [mm] \ge [/mm] 0$),
wenn [mm] $M\,$ [/mm] sowohl nach oben beschränkt ist (also ein Supremum in [mm] $\IR$ [/mm] hat)
als auch nach unten beschränkt ist (also ein Infimum in [mm] $\IR$ [/mm] hat).
Beachte: [mm] $\infty \notin \IR$ [/mm] und [mm] $-\,\infty \notin \IR\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:42 Fr 19.07.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Hallo, ich schaue mich gerade den Beweis zu folgendem Satz
> an: Jede reelle beschränkte Zahlenfolge besitzt einen
> größten und einen kleinsten Häufungspunkt. Der Beweis,
> wie ich ihn hier habe, ist mir soweit klar. Bis auf eine
> Aussage: Die Menge aller Häufungspunkte ist beschränkt.
> Leider haben wir das nicht bewiesen
Wahrscheinlich deshalb, weil es sehr schnell einzusehen ist.
Die Menge der Häufungspunkte ist nach oben beschränkt, weil die Folge selbst es ist. Wenn alle $ [mm] a_n\le [/mm] M $ sind, so ist M auch eine obere Schranke der Häufungspunkte. Würde es nämlich einen Häufungspunkt h=M+c mit positivem c geben, so müssten unendlich viele Folgenglieder in der [mm] $\bruch{c}{2}$-Umgebung [/mm] von h liegen, also größer als [mm] M+\bruch{c}{2} [/mm] sein, das trifft aber auf kein einziges Folgenglied zu.
Entsprechend zeigt man die Existenz einer unteren Schranke.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:46 Fr 19.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sax,
> Hi,
>
> > Hallo, ich schaue mich gerade den Beweis zu folgendem Satz
> > an: Jede reelle beschränkte Zahlenfolge besitzt einen
> > größten und einen kleinsten Häufungspunkt. Der Beweis,
> > wie ich ihn hier habe, ist mir soweit klar. Bis auf eine
> > Aussage: Die Menge aller Häufungspunkte ist beschränkt.
> > Leider haben wir das nicht bewiesen
>
> Wahrscheinlich deshalb, weil es sehr schnell einzusehen
> ist.
> Die Menge der Häufungspunkte ist nach oben beschränkt,
> weil die Folge selbst es ist. Wenn alle [mm]a_n\le M[/mm] sind, so
> ist M auch eine obere Schranke der Häufungspunkte. Würde
> es nämlich einen Häufungspunkt h=M+c mit positivem c
> geben, so müssten unendlich viele Folgenglieder in der
> [mm]\bruch{c}{2}[/mm]-Umgebung von h liegen, also größer als
> [mm]M+\bruch{c}{2}[/mm] sein, das trifft aber auf kein einziges
> Folgenglied zu.
> Entsprechend zeigt man die Existenz einer unteren
> Schranke.
das ist richtig, aber unnötig kompliziert:
Eine Teilmenge $M [mm] \subseteq \IR\,,$ [/mm] deren Supremum [mm] $\not=\infty$ [/mm] und deren Infimum [mm] $\not=-\;\infty$
[/mm]
ist, ist wegen
[mm] $\forall [/mm] m [mm] \in M:\;\; [/mm] |m| [mm] \le \max\{|\inf M|,\;|\sup M|\} \in [0,\infty)$
[/mm]
beschränkt.
Hier: $M [mm] \subseteq \IR$ [/mm] besitzt sogar sowohl ein Minimum als auch ein Maximum! (Also
ist [mm] $\inf M=\min [/mm] M$ und [mm] $\sup M=\max M\,.$) [/mm]
(Genauer: Ist [mm] $(a_n)_n$ [/mm] eine in [mm] $\IR$ [/mm] beschränkte Folge, so ist, wenn [mm] $M=M((a_n)_n)$ [/mm] die
Folge der Häufungspunkte von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] bezeichne, mit einem Minimum und
einem Maximum ausgestattet: Dass er das weiß und akzeptiert, das hat
er ja zuvor selbst erwähnt!)
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:43 Fr 19.07.2013 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] (a_n) [/mm] beschränkt, etwa [mm] |a_n| \le [/mm] c für alle n.
Ist nun h ein Häufungspunkt von [mm] (a_n), [/mm] so ex. eine Teilfolge [mm] (a_{n_k}) [/mm] von [mm] (a_n) [/mm] mit:
[mm] a_{n_k} \to [/mm] h für k [mm] \to \infty.
[/mm]
Damit haben wir auch: [mm] |a_{n_k}| \to [/mm] |h| für k [mm] \to \infty.
[/mm]
Wegen [mm] |a_{n_k}| \le [/mm] c für alle k, folgt: |h| [mm] \le [/mm] c.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:40 Fr 19.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
ach, in der späten Nacht kann es natürlich sein, dass ich die Frage falsch
verstanden hatte. Wenn die Aussage, dass eine beschränkte Teilfolge eine
Menge von Häufungspunkten hat, die beschränkt ist, innerhalb des Beweises
benutzt wird, dann sollte man Freds oder Saxs Argumentation hernehmen.
Ich dachte, dass das eine davon losgelöste Frage wäre! (Irgendwie habe
ich das falsch gelesen heute Nacht...)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:02 Fr 19.07.2013 | | Autor: | Sin777 |
Vielen Dank für eure Bemühungen! Nun ist es mir klar.
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