Menge der Restklassen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:56 Di 01.11.2011 | | Autor: | Physy |
| Aufgabe | | Hallo, ich habe eine Aufgabe, in der ich angeben soll, unter welchen Voraussetzungen [mm] \IZ/m\IZ [/mm] mit [mm] \overline{r} [/mm] * [mm] \overline{s} [/mm] = [mm] \overline{r*s} [/mm] abelsch ist. |
Die Gruppenaxiome sind ja soweit alle erfüllt bis auf das Inverse. Die einzige Möglichkeit, die mir einfällt eine abelsche Gruppe daraus zu machen wäre, dass man nur noch eine Teilmenge von [mm] \IZ/m\IZ [/mm] nimmt, nämlich [mm] \{\overline{1},\overline{-1}\}. [/mm] Gibt es noch andere Möglichkeiten?
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:05 Di 01.11.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
[mm] $\IZ/m\IZ$ [/mm] ist mit der Verknüpfung [mm] "$\cdot$" [/mm] keine Gruppe. [mm] $\IZ/m\IZ\backslash\{\overline{0}\}$ [/mm] ist eine multiplikative Gruppe für m prim.
Kommutativität bzgl der Multiplikation gilt aber immer, die verebt sich direkt aus [mm] $\IZ$: [/mm] Seien [mm] $\overline{r}, \overline{s} \in \IZ/m\IZ \Rightarrow \overline{r}\cdot\overline{s} [/mm] = [mm] \overline{r\cdot s} [/mm] = [mm] \overline{s \cdot r} [/mm] = [mm] \overline{s} \cdot \overline{r}$.
[/mm]
Grüße, Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Di 01.11.2011 | | Autor: | Physy |
Für m prim? Mal angenommen, m wäre 7 => [mm] \IZ/7\IZ [/mm] \ [mm] \{0\} [/mm] = [mm] \{\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4},\overline{5},\overline{6}\}. [/mm] Was wäre denn nun das Inverse [mm] \overline{x} [/mm] zu [mm] \overline{5}?
[/mm]
[mm] \overline{5*x}=\overline{1} [/mm] => [mm] \overline{x} [/mm] = [mm] \overline{1/5} \not\in \IZ/7\IZ [/mm] \ [mm] \{0\}.
[/mm]
Wahrscheinlich habe ich deine Antwort falsch verstanden, könntest Du mich aufklären?
Danke soweit :)
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Hallo Physy,
> Für m prim? Mal angenommen, m wäre 7 => [mm]\IZ/7\IZ[/mm] \ [mm]\{0\}[/mm]
Konsequenterweise [mm]\setminus\{\overline 0\}[/mm]
> =
> [mm]\{\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4},\overline{5},\overline{6}\}.[/mm]
> Was wäre denn nun das Inverse [mm]\overline{x}[/mm] zu
> [mm]\overline{5}?[/mm]
> [mm]\overline{5*x}=\overline{1}[/mm] => [mm]\overline{x}[/mm] =
> [mm]\overline{1/5} \not\in \IZ/7\IZ[/mm] \ [mm]\{0\}.[/mm]
In Restklassenschreibweise (ich schreibe es ohne Balken) ist [mm]\frac{1}{5}[/mm] kein Bruch !!
Das Inverse zu [mm]5[/mm] in [mm]\IZ/7\IZ\setminus\{0\}[/mm] ist 3, denn [mm]5\cdot{}3=15\equiv 1 \ \ \operatorname{mod}(7)[/mm]
>
> Wahrscheinlich habe ich deine Antwort falsch verstanden,
> könntest Du mich aufklären?
>
> Danke soweit :)
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Di 01.11.2011 | | Autor: | Physy |
Habt ihr einen Hinweis, wie ich zeigen kann, dass m prim sein muss?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Di 01.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo beisiel m=6
2*3=0 mod 6
das allgemein formuliert!
Gruss leduart
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