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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:42 Mo 04.05.2009 | | Autor: | Doemmi |
| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden Mengen (Das archimedische Prinzip könnte helfen.).
(i) [mm] \bigcup_{n \in \IN} [\bruch{1}{n},1]
[/mm]
(ii) [mm] \bigcap_{n \in \IN} [-\bruch{1}{n},\bruch{1}{n}[ [/mm] |
Hi!
Ich habe leider keine Idee, wie ich an diese Aufgabe rangehen muss.
Ich verstehe das doch richtig, dass ich die Menge aller Vereinigungen/Schnitte des Intervalls angeben muss?
Wahrscheinlich ist es total simpel, aber ich weiß echt nicht, wie es funktioniert und vor allem nicht, was es mit dem archimedischen Prinzo zu tun hat.
Danke!
LG Tommy
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Zu dem ersten müsste man zeigen dass es sich dabei um ]0, 1] aus den rationalen Zahlen handelt, da die rationalen Zahlen [mm] ${\IQ : \bruch{a}{b}, a \in \IN, b \in \IZ}$ [/mm] sind.
Das wäre mein Ziel bei dem Beweis.
Bei dem zweiten bin ich mir unschlüssig. Es dürften nur die negativen rationalen Zahlen übrig bleiben [-1, 0[
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:33 Di 05.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Zu dem ersten müsste man zeigen dass es sich dabei um ]0,
> 1] aus den rationalen Zahlen handelt,
Unfug !!
> da die rationalen
> Zahlen [mm]{\IQ : \bruch{a}{b}, a \in \IN, b \in \IZ}[/mm] sind.
> Das wäre mein Ziel bei dem Beweis.
>
> Bei dem zweiten bin ich mir unschlüssig. Es dürften nur die
> negativen rationalen Zahlen übrig bleiben [-1, 0[
Ebenfalls Unfug !!
FRED
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:41 Di 05.05.2009 | | Autor: | fred97 |
(i) Sei V = $ [mm] \bigcup_{n \in \IN} [\bruch{1}{n},1] [/mm] $
Dann: V = (0,1]
Beweis: [mm] "\subseteq" [/mm] dürfte klar sein.
[mm] "\supseteq": [/mm] Sei [mm] x_0 \in [/mm] (0,1]. Nach dem archimedischen Prinzip ex. ein n [mm] \in \IN [/mm] mit
$1/n < [mm] x_0$, [/mm] also [mm] x_0 \in [/mm] [1/n, 1], somit [mm] x_0 \in [/mm] V.
(ii) Sei D = $ [mm] \bigcap_{n \in \IN} [-\bruch{1}{n},\bruch{1}{n}[ [/mm] $
Dann : D = {0}
Beweis:
[mm] "\supseteq" [/mm] dürfte klar sein.
[mm] "\subseteq": [/mm] Sei [mm] x_0 \in [/mm] D, also $-1/n [mm] \le x_0 [/mm] < 1/n$ für jedes n [mm] \in \IN, [/mm] somit
[mm] $|x_0| \le [/mm] 1/n$ für jedes n [mm] \in \IN.
[/mm]
Nach dem archimedischen Prinzip ist [mm] x_0 [/mm] = 0
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:02 Di 05.05.2009 | | Autor: | Doemmi |
Vielen Dank für die schnellen Antworten. Hat mir wirklich weiter geholfen. Ich hab mich länger damit auseinander gesetzt und habe die Beweisführung verstanden.
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> Berechnen Sie die folgenden Mengen (Das archimedische
> Prinzip könnte helfen.).
>
> (i) [mm]\bigcup_{n \in \IN} [\bruch{1}{n},1][/mm]
>
> (ii) [mm]\bigcap_{n \in \IN} [-\bruch{1}{n},\bruch{1}{n}[[/mm]
> Hi!
> Ich habe leider keine Idee, wie ich an diese Aufgabe
> rangehen muss.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wie's letztendlich geht, hat Dir Fred ja schon gesagt.
Ich möchte etwas zu dem sagen, was zu tun ist, bevor es ans Beweisen geht:
Hast Du Dir schon klargemacht, welche Mengen zu vereinigen bzw. zu schneiden sind?
Wenn ich nicht weiterwüßte, dann würde ich mir das erstmal ganz naiv so aufschreiben:
[mm] \bigcup_{n \in \IN} [\bruch{1}{n},1]= [\bruch{1}{1},1] \cup [\bruch{1}{2},1]\ [/mm] cup [mm] [\bruch{1}{3},1]\cup [\bruch{1}{4},1]\cup [\bruch{1}{5},1]\cup [\bruch{1}{6},1]\cup... [/mm] = ???
Falls meine Vorstellungskraft sehr schwach wäre, würde ich mir die Mengen vielleicht auch mal auf dem Zahlenstrahl markieren.
So bekommt man nämlich eine Idee, was man am Ende überhaupt zeigen möchte. Das sollte man nämlich schon wissen, bevor man mit dem Beweis beginnt und sich über die Tricks, die man verwenden möchte, Gedanken macht.
Für den Schnitt entsprechend.
Generell: immer erst versuchen, die Zutaten, die verwendeten Zeichen, Mengen, ggf. Funktionen oder was auch immer zu verstehen. Vorher braucht man sich keine Gedanken über einen Beweis zu machen, es wäre verschwendete Zeit - und davon hat man am Studienanfang ja nicht so viel.
Gruß v. Angela
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