Menge komplex. Z. Vektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:03 Di 15.01.2008 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Für eine komplexe Zahl z [mm] \in [/mm] C sei Q(z) die MEnge aller komplexen Zahlen, die sich in der Form
a0 + a1z + [mm] a2z^2+.... anz^n [/mm] mit n [mm] \in [/mm] N und a0,...an [mm] \in [/mm] Q
schreiben lassen.
a) Zeigen Sie, dass Q(z) ein Vektorraum über Q ist, wobei Q als Unterkörper von C auffassen.
b) Bestimmen Sie die Dimension von [mm] Q(\wurzel{2}). [/mm]
Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass [mm] \wurzel{2} [/mm] nicht rational ist.
c) Ist [mm] Q(\wurzel{2}) [/mm] ein Körper? Ist [mm] Q(\wurzel[3]{2}) [/mm] ein Körper?
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Moin,
habe keine Ahnung wie ich hier vorgehen soll / kann.
a) Im Prinzip müsste ich dazu die 8 Vektorraumeigenschaften prüfen. Oder kann ich wg. der Eigenschaft, dass Q ein Unterkörper von C ist, die Beweisführung abkürzen... ?
b) ???
c) Müsste hier wiederum die Körperaxiome prüfen? Wie würdet ihr vorgehen? Ist es ggf. einfacher Gegenbeispiele zu finden?
Vielen Dank für eure Hilfe!!
Gruß
Wolfgang
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> Für eine komplexe Zahl z [mm]\in[/mm] C sei Q(z) die MEnge aller
> komplexen Zahlen, die sich in der Form
>
> a0 + a1z + [mm]a2z^2+.... anz^n[/mm] mit n [mm]\in[/mm] N und a0,...an [mm]\in[/mm] Q
>
> schreiben lassen.
>
> a) Zeigen Sie, dass Q(z) ein Vektorraum über Q ist, wobei Q
> als Unterkörper von C auffassen.
>
> b) Bestimmen Sie die Dimension von [mm]Q(\wurzel{2}).[/mm]
> Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass [mm]\wurzel{2}[/mm] nicht
> rational ist.
>
> c) Ist [mm]Q(\wurzel{2})[/mm] ein Körper? Ist [mm]Q(\wurzel[3]{2})[/mm] ein
> Körper?
>
> Moin,
>
> habe keine Ahnung wie ich hier vorgehen soll / kann.
>
> a) Im Prinzip müsste ich dazu die 8 Vektorraumeigenschaften
> prüfen. Oder kann ich wg. der Eigenschaft, dass Q ein
> Unterkörper von C ist, die Beweisführung abkürzen... ?
Hallo,
wenn Ihr gezeigt habt, daß [mm] \IC [/mm] über [mm] \IQ [/mm] ein VR ist, würde ich hier die Unterraumeigenschaft zeigen, denn [mm] \IQ(z) [/mm] ist ja eine Teilmenge von [mm] \IC.
[/mm]
>
> b) ???
Das läuft darauf hinaus, daß Du eine Basis suchst. Daß [mm] ((\wurzel{2})^i [/mm] | i=0,1,2,3,...) ein Erzeugendensystem ist, dürfte ja klar sein. Du benötigst, um den Raum zu erzeugen und a
> c) Müsste hier wiederum die Körperaxiome prüfen? Wie würdet
> ihr vorgehen? Ist es ggf. einfacher Gegenbeispiele zu
> finden?
Beide Mengen sind ja Teilmengen von [mm] \IC, [/mm] daher würde ich schauen, ob die Unterkörpereigenschaften erfüllt sind.
Wenn nicht: Gegenbeispiel.
Gruß v. Angela
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