Menge offen bzgl. Metrik < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:37 Di 31.05.2011 | | Autor: | kalifat |
| Aufgabe | | Ich möchte gerne zeigen, dass eine Menge genau dann offen bzgl. einer Metrik [mm] d_1 [/mm] ist, wenn sie bzgl. [mm] d_2 [/mm] offen ist. |
Also der einfachste Fall ist in [mm] \IR, d_1(x,y)=|x-y|, d_2(x,y)=min [/mm] {|x-y|,1}. Da sieht man ja sofort das die Äquivalenz gilt. Aber ich möchte zeigen, dass das auch in [mm] \IR^2,..., \IR^s [/mm] gilt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:10 Di 31.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich möchte gerne zeigen, dass eine Menge genau dann offen
> bzgl. einer Metrik [mm]d_1[/mm] ist, wenn sie bzgl. [mm]d_2[/mm] offen ist.
> Also der einfachste Fall ist in [mm]\IR, d_1(x,y)=|x-y|, d_2(x,y)=min[/mm]
> {|x-y|,1}. Da sieht man ja sofort das die Äquivalenz gilt.
> Aber ich möchte zeigen, dass das auch in [mm]\IR^2,..., \IR^s[/mm]
> gilt.
Von welchen Metriken im [mm] \IR^2 [/mm] ist denn die Rede ? Für bel. Metriken ist die Äquivalenz sicher nicht richtig
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Di 31.05.2011 | | Autor: | kalifat |
Von den folgenden: [mm] d_1(x,y)=\wurzel{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}, d_2(x,y)= [/mm] max { [mm] |x_1-y_1|,|x_2,y_2| [/mm] }
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Di 31.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Von den folgenden:
> [mm]d_1(x,y)=\wurzel{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}, d_2(x,y)=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
max {
> [mm]|x_1-y_1|,|x_2,y_2|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
Du meinst sicher
$d_2(x,y)=max \{ |x_1-y_1|,|x_2-y_2|\}$
Dazu überlege Dir, dass für (a,b) \in \IR^2 gilt:
$max \{|a|,|b|\} \le \wurzel{a^2+b^2} \le \wurzel{2}*max \{|a|,|b|\}$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Di 31.05.2011 | | Autor: | kalifat |
Ok, mit der Abschätzung sieht man sofort das [mm] d_2(x,y)\le d_1(x,y), [/mm] aber damit bin ich ja noch nicht fertig?
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Moin,
> Ok, mit der Abschätzung sieht man sofort das [mm]d_2(x,y)\le d_1(x,y),[/mm]
> aber damit bin ich ja noch nicht fertig?
Nun, du musst ein bisschen weiterdenken.
Wie gezeigt wurde, existieren Konstanten c, C>0, sodass
[mm] c*d_1(x,y)\leq d_2(x,y) \leq C*d_1(x,y)
[/mm]
Was folgt damit für die offenen Kugeln von [mm] d_1 [/mm] und [mm] d_2?
[/mm]
Es gelten gewisse Inklusionsbeziehungen zwischen offenen Kugeln bzgl [mm] d_1 [/mm] und [mm] d_2. [/mm] In jeder offenen Kugel bzgl [mm] d_1 [/mm] ist eine offene Kugel bzgl [mm] d_2 [/mm] enthalten und andersrum.
Erinnere dich daran, dass die offenen Mengen diejenigen sind, die Umgebung aller ihrer Punkte sind. Das wiederum heißt, dass um jeden Punkt x einer offenen Menge M noch Platz ist, d. h. es existiert r>0 mit [mm] U_r(x)\subset [/mm] M.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Di 31.05.2011 | | Autor: | kalifat |
Ok, wir haben also gezeigt das die offene Kugel bzgl. [mm] d_2 [/mm] in der offenen Kugel bzgl. [mm] d_1 [/mm] enthalten und andersrum. Damit bin aber dann fertig, weil ich ja beide Richtungen von
[mm] \forall x\in U\exists\varepsilon>0 [/mm] : [mm] U_{(\varepsilon,d_1)}(x)\subset [/mm] U [mm] \gdw\forall x\in U\exists\varepsilon>0 [/mm] : [mm] U_{(\varepsilon,d_2)}(x)\subset [/mm] U
gezeigt habe.
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> Ok, wir haben also gezeigt das die offene Kugel bzgl. [mm]d_2[/mm]
> in der offenen Kugel bzgl. [mm]d_1[/mm] enthalten und andersrum.
Das ist missverständlich formuliert. Dann wären sie ja identisch.
Die Aussage war, es gibt eine offene Kugel bzgl [mm] d_1, [/mm] die in einer vorgegebenen offenen Kugel bzgl [mm] d_2 [/mm] enthalten ist (und andersrum gibt es eine offene Kugel bzgl [mm] d_2, [/mm] die in einer vorgegebenen Kugel bzgl [mm] d_1 [/mm] enthalten ist).
> Damit bin aber dann fertig, weil ich ja beide Richtungen
> von
>
> [mm]\forall x\in U\exists\varepsilon>0[/mm] : [mm]U_{(\varepsilon,d_1)}(x)\subset[/mm] U [mm]\gdw\forall x\in U\exists\varepsilon>0[/mm] : [mm]U_{(\varepsilon,d_2)}(x)\subset[/mm] U
>
> gezeigt habe.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Di 31.05.2011 | | Autor: | kalifat |
Ok, Danke für eure Antworten. Eine Frage habe ich noch, angenommen wir befinden uns wieder im [mm] \IR^2, [/mm] diesmal ist die Metrik aber wiefolgt definiert:
[mm] d(x,y)=\begin{cases} max \{ |x_1-y_1|,1\} & \mbox{falls } x_2=y_2 \\ 1, & \mbox{für } x_2\not= y_2 \end{cases}
[/mm]
Ich soll zeigen, dass [mm] \IR\times\IQ [/mm] bzgl. der Metrik offen und abgeschlossen ist, andersrum aber weder offen noch abgeschlossen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 Di 31.05.2011 | | Autor: | Blech |
Jo,
mal abgesehen von der Tatsache, daß die Aufgabenstellung so ziemlich sicher falsch ist (min statt max?), könntest Du jetzt zeigen, was Du in dem thread gelernt hast, und ein paar eigene Gedanken posten. =)
ciao
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:09 Mi 01.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ok, Danke für eure Antworten. Eine Frage habe ich noch,
> angenommen wir befinden uns wieder im [mm]\IR^2,[/mm] diesmal ist
> die Metrik aber wiefolgt definiert:
>
> [mm]d(x,y)=\begin{cases} max \{ |x_1-y_1|,1\} & \mbox{falls } x_2=y_2 \\ 1, & \mbox{für } x_2\not= y_2 \end{cases}[/mm]
Blech hat recht. Bei Dir ist stets d(x,y) [mm] \ge [/mm] 1, also auch d(x,x) [mm] \ge [/mm] 1. Obiges d ist keine Metrik !
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> Ich soll zeigen, dass [mm]\IR\times\IQ[/mm] bzgl. der Metrik offen
> und abgeschlossen ist, andersrum aber weder offen noch
> abgeschlossen.
Was soll denn das bedeuten ? "andersrum" ?
FRED
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